Matrices aléatoires de Bernoulli

Pablo_de_retour · May 2020

Bonjour à tous
Soit $ \mathcal{B}_n ( \{ \pm 1 \} ) $ l'ensemble des matrices aléatoires de Bernoulli de taille $ n \times n $. Ce sont des matrices dont les coefficients ne prennent comme valeurs que les valeurs $ 1 $ et $ -1 $.
Soit $ \mathbb{Z} \big[ \mathcal{P}_n ( \{ 0 , 1 \} ) \big] $ le $ \mathbb{Z} $-module libre engendré par l'ensemble des matrices de permutation $ \mathcal{P}_n ( \{ 0 , 1 \} ) $ de taille $ n \times n $ qui ne prennent comme valeurs que les nombres $ 0 $ et $ 1 $.
Comment montrer que pour tout $ M \in \mathcal{B}_n ( \{ \pm 1 \} ) $, il existe au moins un élément $ N \in \mathbb{Z} \big[ \mathcal{P}_n ( \{ 0 , 1 \} ) \big] $ tel que, $ M = N $ ?

Merci d'avance.

Héhéhé · May 2020

$M$ et $N$ ne vivent pas dans les mêmes ensembles.

bisam · May 2020

Soit je surinterprète, soit la réponse est triviale.

Si $M$ a comme coefficients $1$ et $-1$ tu peux l'écrire comme la somme d'une matrice $N^+$ n'ayant que des $0$ et des $1$ et d'une autre $N^-$ n'ayant que des $0$ et des $-1$.
C'est donc aussi la différence de deux matrices n'ayant que des $0$ et des $1$... et donc, c'est fini !

Bien évidemment, j'ai supposé que Pablo s'est trompé en parlant de matrices de "permutation" qui ont d'autres caractéristiques que de n'être composées que de $0$ et de $1$.

Héhéhé · May 2020

Non mais une matrice aléatoire c'est une application mesurable d'un espace probabilisable $(\Omega,\mathcal A)$ dans $\mathcal M_n(\mathbb R)$.

Au même titre, une variable aléatoire réelle (comme une variable de Bernoulli) est une application mesurable de $(\Omega,\mathcal A)$ dans $\mathbb R$.

Demander si $M = N$ n'a pas de sens, à gauche on a une application et à droite une matrice.

C'est comme demander: si $X$ est une variable de Bernoulli, est-ce qu'il existe $a \in \{0,1\}$ tel que $X = a$? À gauche on a une application, à droite un nombre réel.

Bien sûr on peut interpréter la question comme: est-ce que $N$ est dans l'image de $M$, mais vu le niveau abyssal de Pablo, je pense qu'il est nécessaire de pinailler.

bisam · May 2020

Effectivement, je ne connaissais pas ce terme de "matrice aléatoire" et j'ai du coup pris sans le vouloir une "instance" de cette matrice.

Tu as bien fait de signaler la distinction nécessaire...

Pablo_de_retour · May 2020

Bonjour,
Une matrice aléatoire est de Bernoulli si elle n'est remplie que de $ -1 $ et de $ 1 $. C'est une matrice scalaire. Ce n'est pas une matrice fonctionnelle, contrairement à ce que prétend @Héhéhé.
@bisam,
Tu as seulement exprimé $ M $ en fonction de matrices à coefficients ne contenant comme valeurs que des $ 0 $ et des $ 1 $; Tu ne l'as pas écrit en fonction de matrices de permutations.
Cordialement.

bisam · May 2020

@Pablo : Pourrais-tu me donner une décomposition valable de la matrice $M=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$ ?

Pablo_de_retour · May 2020

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

@bisam,
Je sais exprimer $ M $ en fonction des matrices qui prennent la forme que tu proposes, comme suit, $$
M=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1& 0\\1&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0& 1\\0&0\end{pmatrix} ,
$$ mais pas en fonction des matrices de permutation.

JLT · May 2020

Comme d'habitude la question comporte beaucoup de zones de flou mais je tente de l'interpréter.

Une matrice de permutation est une matrice de la forme $P_\sigma=[\delta_{i,\sigma(j)}]_{i,j=1,\ldots n}$.

On se demande si toute matrice $A$ dont les coefficients valent $1$ ou $-1$ peut s'écrire sous la forme $\sum_\sigma \lambda_\sigma P_\sigma$ où les $\lambda_\sigma$ sont des entiers.

La réponse est non car pour tout $\sigma$, la somme des coefficients de $P_\sigma$ est un multiple de $n$, donc il en va de même pour $\sum_\sigma \lambda_\sigma P_\sigma$, mais ce n'est pas nécessairement vrai pour la matrice $A$.

Pablo_de_retour · May 2020

Ah oui, c'est très joli @JLT. Merci.
Tu as utilisé La contraposée de la propriété qui dit que,
$ B = C \ \ \Longrightarrow \ \ $ La somme des coefficients de $ B $ est égale à la somme des coefficients de $ C $.
C'est bien. ;-)

Pablo_de_retour · May 2020

Et si on remplace $ \mathbb{Z} $ par $ \mathbb{Q} $ ?

claude quitté · May 2020

Exercice : définir $m := 2(n-1)$ formes linéaires $\mu_i : M_n(\Z) \to \Z$, $1 \le i \le m$ telles que :
$$
\mu : \xymatrix @C = 2cm {
M_n(\Z) \ar[r]^-{[\mu_1, \cdots, \mu_m]} & \Z^m
} \text { soit surjectif}
\qquad\qquad
\ker\mu = \text{ le sous-module engendré par les matrices de permutation}
$$En déduire la dimension du sous-module, une base ...etc...

Pablo_de_retour · May 2020

Bonjour Claude Quité,
Pourquoi tu as considéré $ m = 2(n-1) $ ?
Merci.

claude quitté · May 2020

Codimension

Pablo_de_retour · May 2020

@CQ,
La codimension de $ \mathbb{Z} \big[ \mathcal{P}_n ( \{ 0 , 1 \} ) \big] $ devrait être ,
$ \mathrm{rg} \mathcal{M}_n ( \mathbb{Z} ) - \mathrm{rg} \ker \mu = n^2 - n^2 + 2(n-1) = n^2 - ( n^2 - 2n + 2 ) $.
Pourquoi alors, $ \mathrm{rg} \ker \mu = n^2 - 2n + 2 $ ?
Merci.

claude quitté · May 2020

Puisque tu avais parlé du $\Z$-module (en précisant libre) engendré par les matrices de permutation, j'ai cru que tu connaissais un peu ce sous-module de $M_n(\Z)$. A ce propos, je n'ai absolument pas compris quel était le sens de ta question et où tu voulais en venir. Mais peu importe.

De mon côté, je n'ai aucun mérite car le thème des matrices de permutation apparaît dans des domaines qui touchent à la convexité, la combinatoire et l'algèbre commutative ...etc.. Et il y a quelques années, j'ai regardé un peu cela. Ce qui demande du temps. Je n'ai pas hésité à faire $n = 3$ pour démarrer ...etc...

Les formes $\mu_i$ sont liées aux sommes sur les lignes (cela en fera débarquer $n-1$) et aux sommes sur les colonnes (ce qui en fera débarquer $n-1$ autres). Pour moi, cela ne peut pas se faire comme ça sur un forum mais en prenant un petit cahier. Enfin, chacun fait comme il veut. J'étais juste de PASSAGE.

Pablo_de_retour · May 2020

CQ a écrit:

Pour moi, cela ne peut pas se faire comme ça sur un forum mais en prenant un petit cahier. Enfin, chacun fait comme il veut. J'étais juste de PASSAGE.

@CQ,
Juste si tu as du temps, $ \ker \mu $ est l'image du span du groupe symétrique, $ \mathbb{Z} [\mathfrak{S}_n] $ ( Algèbre du groupe ) dans $ \mathcal{M}_n ( \mathbb{Z} ) $ par la représentation, $ \rho \ : \ \mathbb{Z} [ \mathfrak{S}_n ] \to \mathcal{M}_n ( \mathbb{Z} ) $. Non ?

Pablo_de_retour · May 2020

D'où, $ \ker \mu = \mathbb{Z} \oplus \mathcal{M}_{n-1} ( \mathbb{Z} ) $.
Par conséquent, $ \mathrm{dim} \ker \mu = (n-1)^2 + 1 = n^2 -2n +2 $. Non ?

Pablo_de_retour · May 2020

Comment est définie $ \mu $ Claude ?

Héhéhé · May 2020

Pablo tu as tort. Une matrice aléatoire est une matrice dont les éléments sont des variables aléatoires. C'est donc une application, contrairement à ce que dit Pablo qui raconte n'importe quoi comme d'habitude.

Une matrice de Bernoulli est une matrice aléatoire dont les éléments sont des variables de Bernoulli. Point.

Juste pour info, ce qui montre une nouvelle fois que tu n'y connais rien, une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans $\{-1,1\}$, c'est une variable de Rademacher. Une variable de Bernoulli prend ses valeurs dans $\{0,1\}$.