La Ferme des entiers naturels

Bonjour,
Après la classification des entiers naturels de jyboulay , c'est à mon tour de donner ma classification ! (:D Quelle émotion de lancer mon premier fil shtamique. (:P)

Définitions :

1. $n$ est dit supérieur à $m$ si $m$ divise $n$. On emploiera toujours "supérieur" et "inférieur" dans le sens défini ici. Deux entiers naturels sont dits comparables si l'un des deux est supérieur à l'autre.
2. Un entier naturel est un enfant s'il est inférieur à tous les entiers $n\geqslant 2$ auquels il est comparable (en gros, il est premier ou vaut $1$). Sinon, il est adulte.
3. Soient $n,m\in \Bbb N^*$. On dit que $n$ et $m$ sont dans la même famille si les nombres premiers qui apparaissent dans leurs décompositions en facteurs premiers sont identiques (sans compter les multiplicités).
4. Soit $n\in \Bbb N^*$. $k$ est un enfant de $n$ si c'est un enfant et s'il est inférieur à $n$.
5. $n$ et $m$ sont dits amis si $n-m$ est pair. Sinon, ils sont ennemis.

Théorème généalogique :

1. La relation de parenté familiale est une relation d'équivalence.
2. Soient $n,m\in \Bbb N ^*$. $n$ et $m$ sont dans la même famille si et seulement s'ils ont les mêmes enfants.

Théorème de l'amitié :

1. L'ami de mon ami est mon ami. Et l'ennemi de mon ennemi est mon ennemi ami (édit).
2. Les membres d'une même famille sont amis.

Théorème de la natalité : Quand $N$ tend vers l'infini, la proportion d'enfants dans $[\![1,N]\!]$ équivaut à $\frac1{\ln N}$.

Définitions :

1. Un entier naturel est dit riche s'il existe deux nombres premiers distincts qui le divisent. Sinon, il est pauvre.
2. Un entier naturel est dit puissant s'il peut être écrit sous forme d'une puissance $n^k$ avec $k\geqslant 2$ et $n\neq 1$.
3. Un entier naturel est dit noble s'il est divisible par $2$ et un autre nombre premier.
4. Un entier naturel est dit bourgeois s'il est riche et impair.
5. Un entier naturel est un domestique s'il est de la forme $2^k$ avec $k\in\Bbb N^*$.

Théorème des enfants : Les enfants ne sont ni puissants ni riches.

Théorème capitaliste : Soient $p$ un entier pauvre et $r$ un entier riche. Si $p$ et $r$ sont comparables, alors $r$ est supérieur à $p$.

Théorème autocratique : $0$ est supérieur à tous les autres nombres. C'est pourquoi, on l'appelle le roi. De plus, le roi est noble, riche et puissant.

Théorème de l'orphelin : $1$ est inférieur à tous les autres nombres. C'est pourquoi, on l'appelle l'orphelin. De plus, l'orphelin est un enfant pauvre et il est tout seul dans sa famille.

Théorème aristocratique :

1. Il y a deux types d'entiers riches : les nobles qui sont amis avec le roi, et les bourgeois qui sont ennemis du roi.
2. Il y a deux types d'entiers pauvres : les domestiques qui sont amis avec roi et la noblesse, et les autres pauvres sont ennemis du roi.

Théorème de la fatalité : Les membres d'une même famille sont soit tous pauvres, soit tous riches.

Mais attention ! :

Théorème révolutionnaire : Les adultes pauvres sont puissants.

Théorème du ruissellement : Quand $N$ tend vers l'infini, la proportion d'entiers pauvres dans $[\![1,N]\!]$ tend vers 0.

Preuve : C'est un corollaire du théorème de la natalité. Les pauvres sont de la forme $p^k$, avec $p$ premier. Si $p$ est supérieur à $N^{2/3}$, alors il est le seul pauvre de la forme $p^k$ dans $[\![1,N]\!]$ ($k>0$). Sinon, il engendre au plus $\log_p(N^{1/3}) \leqslant \log_2(N^{1/3})$ pauvres dans $[N^{2/3},N]$. Et il y a au plus $N^{2/3}$ pauvres dans $[1,N^{2/3}]$. Donc $[\![1,N]\!]$ contient au plus $\frac{N}{\ln(N)} + \frac{N^{2/3}}{\ln(N^{2/3})} \log_2(N^{1/3}) + N^{2/3} \underset{N\to \infty}= o(N)$ pauvres.

Amusez-vous bien