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Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker

Envoyé par Bertrand T 
Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
16 juillet 2020, 03:01
[Il n'est pas correct d'effacer le message initial de la discussion dès lors que quelqu'un s'est donné la peine d'y répondre. AD]


Introduction
Je n'ai pas vu les ordinaux en cours...J'en ai entendu parlé la première fois en écoutant la chaîne YouTube Science4all en Octobre 2019:
Soit N est l'ensemble des entiers naturels qui peut se noter simplement dans système à un infini potentiel (unique)
N={0,1,2,...}*
ou
N=limn??{0,1,2,...n}
L'infini est pris en compte dans le cardinal de N, card(N)=? dénoté par Cantor ?0 :
card(N)=?=?0

*La notation ambigüe {0,1,2,...} est valide quand on précise que l'on travaille dans un système à infini unique.

Nota: ?=limn??n?N l'infini est inclus par définition dans l'ensemble des entiers naturels (tout comme dans l'axiome de l'infini de ZFC, où il existe un élément de l'ensemble qui est son propre successeur).

Soit N? l'ensemble des entiers naturels strictement supérieur à 0 et donc privé de l’élément {0}
N?=N ? {0}=limn??{1,2,...n}
N? est l’ensemble des ordinaux de n’importe quel ensemble infini en arithmétique à infini unique potentiel.
et unique.

Je n'ai rien contre les ordinaux, ils équivalent à la numérotation par indices d'une matrice ou d'un vecteur. Lorsque l'ordinal vaut 0, on tombe sur l'ensemble vide, qui équivaut à une matrice vide ou un vecteur vide respectivement de dimensions 0 x 0 ou 0. Comme les matrices infinies existent, on peut définir un vecteur infini VN sans aucune signification géométrique mais pour bénéficier du calcul matriciel de l'algèbre linéaire:
VN=limn??(012…n)T
Le vecteur VN? associé à l'ensemble des ordinaux VN? s'écrit :
VN?=limn??(12…n)T

On peut en déduire les propriétés suivantes :
Dim(VN?)=Dim(VN)?1=?=card(N)=card(N?)

La version normalisée de VN s'écrit ?N :
?N=VN(VTNVN)12

Elle n'a probablement aucune utilité géométrique, mais seraelle devrait être utile , à une constante près, pour le calcul intégral de Riemann par partitions infinies (à suivre versions suivantes si vous n'êtes pas trop dur avec moi, sinon je vous le laisse en exercice).

Doutes sur les transfinis
En revanche, l'existence supposée des nombres transfinis qui m’a été annoncée par l'excellente chaîne Science4all, m'a clairement choquée.
En regardant ça de plus près en Juin 2020, j'ai vu que c'était au programme de la licence de Mathématiques en France, et que la reconnaissance des nombres transfinis et la multiplicité des infinis étaient pour le moins controversées...

...ce qui est lié à l'interprétation erronée du théorème de la diagonale de Cantor qui fait l'objet d'une querelle plus que centenaire entre Léopold Kronecker et Georg Cantor. Georg Cantor semblait avoir remporté la partie après le soutien posthume de David Hilbert obtenu en 1925 jusqu'à nos jours.


En définitive, Georg Cantor n'a pas prouvé comment prolonger les ordinaux au dessus de N? et il ne pouvait le faire, puisqu'il n'y a jamais eu d’arithmétique à sa disposition pour compter d’autres ordinaux que ceux appartenant à N?. Comme lui a fait remarqué son ex-professeur et mentor Léopold Kronecker, l'existence des transfinis et des infinis multiples, est une mauvaise conclusion du théorème de la diagonale qui porte uniquement sur la supériorité numéraire entre 0 et 1, des nombres transcendentaux par rapport aux nombres algébriques dont le cardinal est infini.

La singularité de l'ordinal ? de Cantor

Avec Cantor l'infini potentiel et unique est remplacé par un infini qui est un ordinal appelé ? ou ? selon les livres.
Les cardinaux infinis sont multiples.

Le problème c'est que l'ordinal ?=limn??n=? est un entier très singulier, car il peut être à la fois:
1. pair: ?=limn??2 n
2. impair: ?=limn??2 n+1
3. multiple de n'importe quel entier positif: ?=limn??kn ?k?N et k>2
4. premier, non premier, ...
5. multiple de n'importe quel réel >0
6. puissance de n'importe quel réel >1


Prolongement Cantorien et choix de l'ensemble infini de référentiel minimumce pour la comparaison des cardinaux infinis
La fonction de compte des nombres premiers quantifie la plus faible densité des nombres premiers par rapport aux entiers naturels.

L’ensemble des nombres premiers est infini (Euler). Si que l'on prend comme référentiel minimum pour l'infini l'ensemble des nombres premiers désigne ici: P est infini selon un théorême d'Euler.
card(P)=?0.
Si on choisi P comme sous ensemble infini de référence pour la comparaison des cardinaux l'infini, alors qu'il est moins dense que le sous ensemble des nombres entiers non premiers, et appliquer un prolongement « Cantorien » », avec une arithmétique "Cantorienne" (outrepassement de l'infini unique) au delà de card(P)=?0, on peut montrer que $card(\mathbb{N})=\Omega\ log_e(\aleph_0), \aleph_0$, or .
En prenant un tel raisonnement on arrive à une contradiction, puisqu'il y a une bijection point à point entre P et N
La plus faible représentation des nombres premiers vis-à-vis des nombres entiers non-premiers N ? P ne prouve pas l’absence de bijection entre P et N
N.
1?pr(1)=2
2?pr(2)=3
3?pr(3)=5
4?pr(4)=7

$\o$\Omega \leftrightarrow pr(\omega)=\oOmegaLanotationpr(n)estlen^{ème}nombrepremier(oulenombrepremiercorrespondantàl?ordinaln)Lanotation\leftrightarrow$ signifiant « est en relation avec»

Selon ses versions de théorêmes, Cantor prend comme comme référentiel infini le cardinal des nombres algébriques qui est en ?0 (suite courriers avec Dedekind) mais parfois celui de N qui est également ?0

A partir de là comme il peut placer une infinité de transcendentaux entre les algébriques sur [0 1[, il en déduit que le card([0 1[) dépasse ?0 (nota: outrepassement non constructif de l'arithmétique des ordinaux à infini unique N? et conclus en l'absence de bijection entre N et [0 1[, mais cet argument me semble fragile
La bonne approche est de choisir l'ensemble infini le plus grand pour le calcul des cardinaux infinis. Dans notre cas il faut prendre N=?0, avec un calcul à infini potentiel unique on trouve:
card(P)=limn???(n)=limn??nloge(n)=?=?0

En arithmétique "Cantorienne" on retrouve un résultat identique:
card(P)=?0loge(?0)=?0



Théorème 1: Un prolongement "Cantorien" sur un sous ensemble infini moins dense, tel P, peut, en arithmétique "Cantorienne", entraîner un résultat erroné du cardinal de l'ensemble global card(N)=loge(?0),?0 de l'ensemble infini global.

Lemme 1:
Un prolongement "Cantorien" sur un sous ensemble infini moins dense ne prouve pas l'absence de bijection entre le sous ensemble et son ensemble global, dans notre cas il y a une bijection entre P et N.

Selon ses versions de théorèmes, Cantor prend comme comme référentiel infini le cardinal des nombres algébriques qui est en ?0 (suite courriers avec Dedekind) mais parfois celui de N qui est également ?0

A partir de là comme il peut placer une infinité de transcendentaux entre les algébriques sur [0 1[, il en déduit que le card([0 1[) dépasse ?0 (nota: outrepassement non constructif de l'arithmétique des ordinaux à infini unique N?) et conclus en l'absence de bijection entre N et [0 1[, mais cet argument me semble fragile compte tenu du lemme 1.

Conclusion
Si Cantor avait tout fait pour pour satisfaire son mentor Kronecker, il aurait respecter é l'arithmétique des ordinaux à infini unique N?, qui était la norme à son époque car compatible avec l'analyse, il aurait. En choisi le sous ssant l'ensemble infini le plus grand comme référentiel pour l’infini (référentiel maximum), c'est à dire il aurait fait ses comparaison à partir du sous ensemble calcul des trcardinaux, il se serait rendu compte que tout rentre danscendentaux pour écrire ?0:
$card(\mathbb{R}[0\ 1[)=\aleph_0$ et card(N)=??1=log2(?0)=?0
et card(N)=??1=log2([0 1[))=log2(?0)=?0 et on retrouverait plus de cohérence entre ZF et l'analyse.

Pour info: le paradoxe d'Oscar Perron
Je suis tombé sur ce paradoxe en étudiant l'intégrale Denjoy-Perron (Riemann généralisé).
Soit N le plus grand entier positif. Si N>1, alors N2>N, ce qui contredit la définition de N. Donc N=1.



Modifié 30 fois. Dernière modification le 21/07/2020 04:29 par AD.
Re: Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
18 juillet 2020, 02:06
Bonsoir,
Edit: bon ben, il y a eu encore une modification pendant que j'écrivais, cette histoire de soustraction de cardinal a disparu, ça rend mon message moins pertinent, je le laisse et suppose qu'on peut laisser une chance, mais je suis quand même un peu furax.

Il se trouve que je ne suis pas un pro, ni des maths ni de l'éducation, disons juste un passant, mais qui s'est initié il y a environ deux ans à la logique (parce que c'est trop de la balle! Après je ne suis pas allé trop loin, par exemple, je suppose que cet histoire de nombre transfini est liée à une définition d'opérations d'addition et de multiplication pour des cardinal via les cardinaux d'un genre d'union et du produit cartésien, mais en vrai, je n'en sais rien) qui a vu de la lumière et qui est entré. Il y a une place vide, je vais la combler en parlant d'un sujet qui me passionne: moi! Malgré tout, je rédige à la troisième personne, parce que pourquoi pas?

Alors voilà, c'est l'histoire de Titi, ça fait longtemps qu'il n'a pas fait de math alors qu'il aime bien ça, mais ce soir-là, il a du temps, le Titi. Alors Titi, il se dit: je vais allez sur les-mathematiques.net, parce que c'est chouette. Titi jette un œil à droite à gauche et arrivant en logique, il se dit:

-Palsambleu! Le pauvre biquet! Deux jours qu'il a jeté sa bouteille à la mer et aucun navire n'est venu lui porter secours.

À ce moment de la lecture, vous vous dites que, d'une part, que le Titi a sa façon bien à lui de causer et d'autre part, qu'il n'a aucun talent pour les métaphores filées. Parce qu'il ne faut pas abuser: le truc du naufragé pourrait peut-être vaguement se défendre, bien que ce soit chiant, mais le rapport avec le jeune caprin, ça ne le fait pas. Oui, ben c'est comme ça, désolé.

Alors là dessus, le Titi, il commence à lire. Il est tout émerveillé, il se dit:

- Oh! Comme c'est mimi! Le biquet il débute tout juste! Il n'a pas encore vécu le choc culturel de la démonstration, il fait trucs basé sur ce qu'il connais et adopte une vision algébrique des cardinaux... Regardez comme c'est beau, il en sait assez pour deviner que les espèces de loi de composition n'ont rien de régulières avec des cardinaux infinis mais il s'amuse quand même à définir une soustraction une division. Wahou! Il y a même un logarithme... Bordel! Je n'ai pas compris d'où il sortait celui-là. Bon, il faut qu'on fasse un truc pour lui, lui dire qu'il doit étudier doucement la théorie, le pousser vers ZFC un peu formel, il tentera de faire lui-même des bouts de démonstrations découvrira un nouveau monde et l'utilisera pour construire le sien. Il en a de la chance. Bon... contribuons à son érudition. (Là, ceux qui m'ont déjà croisé sur le forum s'inquiètent: si Titi s'occupe de son érudition, c'est que le biquet est vraiment très mal barré)

Le Titi est alors bien décidé a venir en aide à cette âme perdue (ouais! Désolé pour le biquet naufragé, disons brebis égarée, ce n'est pas la même espèce, pas la même situation, mais ça ressemble un peu et ça permet de raccrocher à des références culturelles) et se demande comment lui venir en aide. C'est là qu'on se dit que le Titi, il est vachement sympa, parce que le Titi, il a déjà constaté que le message, il a été modifié vingt fois et ça, ça indique qu'il est un peu chelou, le biquet. En plus il veut qu'on le contacte par mail, ça devrait rendre soupçonneux.
Donc le Titi, il commence à cliquer les liens, des articles longs comme un jour sans pain: moi, j'ai la flemme, je ne sais pas si le biquet est vachement courageux ou si il se fout de nos gueules, mais bon.
Puis le Titi, il clique sur ÇA et là, le Titi, il comprend, il voit rouge...

J'ai moi-même tendance à dire beaucoup de conneries, mais j'aime apprendre, corriger le tir, affiner ma pensée, j'aime l'idée que tout le monde puisse apprendre et ne veux pas jeter la pierre à ceux qui sont ignorant et tente des trucs. Mais là, c'est autre chose, tu as lu des trucs et n'a rien appris, tu es persuadé d'avoir raison et tu ne veux tellement pas changer tes avis et évoluer que tu en fait un projet genre start-up, quasiment une idéologie. J'ai une nouvelle définition de "simplification", ça consiste à s'accrocher principalement aux concepts qui te plaisent. Moralement, c'est moche, tout ce que je peux faire c'est t'inviter à faire le point. Je pense que si personne n'a réagi avant moi, c'est parce que beaucoup considère que les coups de gueules sont stériles.

Bon courage.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 18/07/2020 02:16 par Titi le curieux.
Re: Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
18 juillet 2020, 05:49
Désolé Titi Le Curieux pour les 23 révisions et la soustraction de cardinal infini qui a disparue, mais je commençais à monter à 5 pages, et j'ai trouvé de nouvelles choses qui nécessitaient beaucoup de définitions et ajoutaient 2 ou 3 pages, et je n'ai pas fini. J’ai confondu blog et first draft d’article pendant que j'ai cru que tout le monde était parti au soleil. Je ne le referais plus.

Je ne vois pas le « péché » en ce qui concerne la création d'une société privée pour faire des publications scientifiques. Ma société n'est pas une start-up, car je la paye de ma poche (£100), et elle n’est pas plus coûteuse annuellement, qu'une inscription à ACM ou IEEE, parce que je fais tout par moi-même avec des outils open sources sur mon temps de loisir.

Pourquoi je n'adhère pas a ZFC?
une fois que tu as trouvé une bijection entre N et les réels entre [0 1[ ... ça rend inutile la recherche de l’Hypothèse du Continu
Je n’appelle pas ça un coup de gueule stérile, ça ressemblerait plutôt a une découverte scientifique. Mais que je pourrais garder secrete si la réaction est trop hostile
Bien entendu, j’ai deux ou trois théorèmes inconnus qui en découle …
Le tout pourrait simplifier cette partie des maths, après on peut reprendre les axiomes de CZF (constructive), mais sans les transfinis, mais ça pourrait tout aussi bien déboucher sur une théorie de Maths pure certainement plus orientée Mathématiques Appliquées, mais rien n'est écrit, je suis seul et peux décider de changer de sujet du jour au lendemain.

Je vais cependant prendre le temps de lire la théorie des ensembles de Patrick Dehornoy, qui est la référence française en matière de ZFC

J’ai un autre projet long terme de simplification liée a la théorie de l’information (projet fondateur), mais qui devrait s'imbriquer dans le premier.
Comme tu as pu le voir je ne sais pas écrire des mathématiques complexes, bien sur c'est un handicap au départ, mais en final je pense que c’est une chance, dans le cadre d'un projet de simplification.

En quoi serait-ce mal de simplifier les mathématiques quand c’est possible?
Pourquoi vouloir complexifier les mathématiques quand on peut l’éviter ?

Le log venait de la fonction de compte des nombres premiers
C’ était pour montrer qu’un prolongement « Cantorien » appliqué a l’ensemble des nombres premiers infini (Euler) P moins denses que les nombres entiers non-premiers N \ P ne prouve pas l’absence de bijection entre P et N

C’était pour faire le parallèle entre le cardinal des transcendantaux "plus grands" (similaire aux entiers non-premiers) que celui des algébriques moins denses (similaire aux nombres premiers), qui ne prouve pas l'absence de « bijections » entre N et [0 1[ (celle que je connais)

Après j'ai vu que je tombais sur une notion de réduction type seuillage, qui rajoute 2 ou 3 pages, alors j'ai tout effacé et remis une petite couche d'introduction sur le calcul matriciel infini qui m'intéresse

En changeant de référentiel infini et en forçant le cardinal des réels a ne pas dépasser $\aleph_0$, pour faire passer ses parties d'ensembles (qui ne servent a rien pour les vrais nombres réels), Cantor aurait pu faire un changement de variable, et découvrir un autre cardinal style $\aleph_{-1}=log_2(\aleph_0)$, en tout cas ça m'arrangerait
Mais bon, une fois que j'aurais tout compris Patrick Dehornoy, ce sera plus facile de faire des propositions de déformation pour intégrer une ou 2 bijections canoniques entre N et [0 1[


Merci ta curiosité, pour ton retour et de me prévenir que je ne suis pas tout seul sur ce blog !



Modifié 5 fois. Dernière modification le 21/07/2020 04:42 par AD.
Re: Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
18 juillet 2020, 10:03
Pour ma part,

je me suis arrêté à "Remarque: l'infini est inclus dans l'ensemble des entiers naturels".
Comme c'est sans signification (le symbole $\infty$ n'est pas défini par BertandT) et que ça n'a rien à voir avec l'ensemble des entiers naturels employé par tous les mathématiciens et utilisateurs des maths, il n'y a plus rien à discuter : BertandT ne parle pas des maths. On ne sait pas de quoi il marle d'ailleurs, il se contente d'écrire des signes.
Quand je veux parler football, je ne commence pas par dire que "bien entendu, tous les joueurs peuvent prendre le ballon à la main".

Donc un intervenant de plus qui parle sans réfléchir !!
Re: Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
18 juillet 2020, 10:24
Je propose un travail collectif:

1/ quelqu'un de généreux me met le lien de BT au format ".txt" : [dlib.bc.edu]

2/ j'applique le traducteur de google grinning smiley et poste le résultat dans ce fil.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
18 juillet 2020, 11:48
avatar
Citation
BertrandT
Pourquoi je n'adhère pas a ZFC?
une fois que tu as trouvé une bijection entre $\mathbb{N}$ et les réels entre $[0\ 1[$ ... ça rend inutile la recherche de l’Hypothèse du Continu

Donc tu dis que tu as trouvé une bijection entre $\mathbb{N}$ et $[0\ 1[$ ?

Y-en a qui ont été déplacé dans SHTAM pour moins que ça... mais je crois que ça ne va pas tarder smiling bouncing smiley

PS. ah mince pendant que j'écrivais en plus, c'est rapide.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 18/07/2020 11:48 par raoul.S.
Re: Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
18 juillet 2020, 23:27
Supprimé



Modifié 3 fois. Dernière modification le 20/07/2020 19:01 par Bertrand T.
Re: Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
18 juillet 2020, 23:30
Voilà la traduction
[dlib.bc.edu]
Re: Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
18 juillet 2020, 23:32
Message supprimé



Modifié 1 fois. Dernière modification le 20/07/2020 19:04 par Bertrand T.
Re: Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
18 juillet 2020, 23:51
Supprimé



Modifié 2 fois. Dernière modification le 20/07/2020 19:01 par Bertrand T.
Re: Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
18 juillet 2020, 23:52
avatar
"SHTAM" Il faut le lire à l'envers...
Re: Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
19 juillet 2020, 00:53
Message supprimé



Modifié 7 fois. Dernière modification le 20/07/2020 19:03 par Bertrand T.
Re: Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
19 juillet 2020, 01:26
avatar
Je reprends une de tes affirmations :

Citation

Après, dans ZFC, l'axiome 7 de l'infini spécifie clairement qu'il existe un élément (classe d'équivalence à un nombre) tel que le suivant est lui-même et appartient à l'ensemble (infini).

Est-ce que tu peux réécrire cette phrase avec le langage de la théorie des ensembles ? Afin d'éviter des malentendus...
Re: Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
19 juillet 2020, 10:36
Faut-il encourager les délirants ?

Sur la plupart des forums, ce fil aurait déjà été fermé (rien à voir avec les maths).

J'ai bien rigolé sur le " les lecteurs trop scolaires vont s'arrêter sur des détails" !!

je suis seulement gêné que la qualité de "Les mathématiques.net" soit usurpée par un escroc qui veut faire croire qu'il parle de maths parce qu'il utilise les mots des maths.
Re: Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
19 juillet 2020, 10:53
@BT, [www.les-mathematiques.net]

non, il continue de s'afficher en anglais et format pdf chez moi.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
19 juillet 2020, 10:56
avatar
Quand le marketing et le business se mêlent aux mathématiques cela donne une belle bouillie!grinning smiley
Re: Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
19 juillet 2020, 15:14
Message supprimé



Modifié 1 fois. Dernière modification le 20/07/2020 19:03 par Bertrand T.
Re: Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker
19 juillet 2020, 23:51
Message supprimé
Désolé,vous ne pouvez pas répondre à cette discussion, elle est fermée.
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