Ordinaux infinis, Cantor et Kronecker

[Il n'est pas correct d'effacer le message initial de la discussion dès lors que quelqu'un s'est donné la peine d'y répondre. AD]
[size=x-large]Introduction[/size]
Je n'ai pas vu les ordinaux en cours...J'en ai entendu parlé la première fois en écoutant la chaîne YouTube Science4all en Octobre 2019:
Soit N est l'ensemble des entiers naturels qui peut se noter simplement dans système à un infini potentiel (unique)
N={0,1,2,...}*
ou
N=limn??{0,1,2,...n}
L'infini est pris en compte dans le cardinal de N, card(N)=? dénoté par Cantor ?0 :
card(N)=?=?0

*La notation ambigüe {0,1,2,...} est valide quand on précise que l'on travaille dans un système à infini unique.

Nota: ?=limn??n?N l'infini est inclus par définition dans l'ensemble des entiers naturels (tout comme dans l'axiome de l'infini de ZFC, où il existe un élément de l'ensemble qui est son propre successeur).

Soit N? l'ensemble des entiers naturels strictement supérieur à 0 et donc privé de l’élément {0}
N?=N ? {0}=limn??{1,2,...n}
N? est l’ensemble des ordinaux de n’importe quel ensemble infini en arithmétique à infini unique potentiel.
et unique.

Je n'ai rien contre les ordinaux, ils équivalent à la numérotation par indices d'une matrice ou d'un vecteur. Lorsque l'ordinal vaut 0, on tombe sur l'ensemble vide, qui équivaut à une matrice vide ou un vecteur vide respectivement de dimensions 0 x 0 ou 0. Comme les matrices infinies existent, on peut définir un vecteur infini VN sans aucune signification géométrique mais pour bénéficier du calcul matriciel de l'algèbre linéaire:
VN=limn??(012…n)T
Le vecteur VN? associé à l'ensemble des ordinaux VN? s'écrit :
VN?=limn??(12…n)T

On peut en déduire les propriétés suivantes :
Dim(VN?)=Dim(VN)?1=?=card(N)=card(N?)

La version normalisée de VN s'écrit ?N :
?N=VN(VTNVN)12

Elle n'a probablement aucune utilité géométrique, mais seraelle devrait être utile , à une constante près, pour le calcul intégral de Riemann par partitions infinies (à suivre versions suivantes si vous n'êtes pas trop dur avec moi, sinon je vous le laisse en exercice).

[size=x-large]Doutes sur les transfinis[/size]
En revanche, l'existence supposée des nombres transfinis qui m’a été annoncée par l'excellente chaîne Science4all, m'a clairement choquée.
En regardant ça de plus près en Juin 2020, j'ai vu que c'était au programme de la licence de Mathématiques en France, et que la reconnaissance des nombres transfinis et la multiplicité des infinis étaient pour le moins controversées...

...ce qui est lié à l'interprétation erronée du théorème de la diagonale de Cantor qui fait l'objet d'une querelle plus que centenaire entre Léopold Kronecker et Georg Cantor. Georg Cantor semblait avoir remporté la partie après le soutien posthume de David Hilbert obtenu en 1925 jusqu'à nos jours.


En définitive, Georg Cantor n'a pas prouvé comment prolonger les ordinaux au dessus de N? et il ne pouvait le faire, puisqu'il n'y a jamais eu d’arithmétique à sa disposition pour compter d’autres ordinaux que ceux appartenant à N?. Comme lui a fait remarqué son ex-professeur et mentor Léopold Kronecker, l'existence des transfinis et des infinis multiples, est une mauvaise conclusion du théorème de la diagonale qui porte uniquement sur la supériorité numéraire entre 0 et 1, des nombres transcendentaux par rapport aux nombres algébriques dont le cardinal est infini.

[size=x-large]La singularité de l'ordinal ? de Cantor[/size]

Avec Cantor l'infini potentiel et unique est remplacé par un infini qui est un ordinal appelé ? ou ? selon les livres.
Les cardinaux infinis sont multiples.

Le problème c'est que l'ordinal ?=limn??n=? est un entier très singulier, car il peut être à la fois:
1. pair: ?=limn??2 n
2. impair: ?=limn??2 n+1
3. multiple de n'importe quel entier positif: ?=limn??kn ?k?N et k>2
4. premier, non premier, ...
5. multiple de n'importe quel réel >0
6. puissance de n'importe quel réel >1


[size=x-large]Prolongement Cantorien et choix de l'ensemble infini de référentiel minimumce pour la comparaison des cardinaux infinis[/size]
La fonction de compte des nombres premiers quantifie la plus faible densité des nombres premiers par rapport aux entiers naturels.

L’ensemble des nombres premiers est infini (Euler). Si que l'on prend comme référentiel minimum pour l'infini l'ensemble des nombres premiers désigne ici: P est infini selon un théorême d'Euler.
card(P)=?0.
Si on choisi P comme sous ensemble infini de référence pour la comparaison des cardinaux l'infini, alors qu'il est moins dense que le sous ensemble des nombres entiers non premiers, et appliquer un prolongement « Cantorien » », avec une arithmétique "Cantorienne" (outrepassement de l'infini unique) au delà de card(P)=?0, on peut montrer que $card(\mathbb{N})=\Omega\ log_e(\aleph_0), \aleph_0$, or .
En prenant un tel raisonnement on arrive à une contradiction, puisqu'il y a une bijection point à point entre P et N
La plus faible représentation des nombres premiers vis-à-vis des nombres entiers non-premiers N ? P ne prouve pas l’absence de bijection entre P et N
N.
1?pr(1)=2
2?pr(2)=3
3?pr(3)=5
4?pr(4)=7
…
$\o$\Omega \leftrightarrow pr(\omega)=\oOmegaLanotationpr(n)estlen^{ème}nombrepremier(oulenombrepremiercorrespondantàl?ordinaln)Lanotation\leftrightarrow$ signifiant « est en relation avec»

Selon ses versions de théorêmes, Cantor prend comme comme référentiel infini le cardinal des nombres algébriques qui est en ?0 (suite courriers avec Dedekind) mais parfois celui de N qui est également ?0

A partir de là comme il peut placer une infinité de transcendentaux entre les algébriques sur [0 1[, il en déduit que le card([0 1[) dépasse ?0 (nota: outrepassement non constructif de l'arithmétique des ordinaux à infini unique N? et conclus en l'absence de bijection entre N et [0 1[, mais cet argument me semble fragile
La bonne approche est de choisir l'ensemble infini le plus grand pour le calcul des cardinaux infinis. Dans notre cas il faut prendre N=?0, avec un calcul à infini potentiel unique on trouve:
card(P)=limn???(n)=limn??nloge(n)=?=?0

En arithmétique "Cantorienne" on retrouve un résultat identique:
card(P)=?0loge(?0)=?0



Théorème 1: Un prolongement "Cantorien" sur un sous ensemble infini moins dense, tel P, peut, en arithmétique "Cantorienne", entraîner un résultat erroné du cardinal de l'ensemble global card(N)=loge(?0),?0 de l'ensemble infini global.

Lemme 1:
Un prolongement "Cantorien" sur un sous ensemble infini moins dense ne prouve pas l'absence de bijection entre le sous ensemble et son ensemble global, dans notre cas il y a une bijection entre P et N.

Selon ses versions de théorèmes, Cantor prend comme comme référentiel infini le cardinal des nombres algébriques qui est en ?0 (suite courriers avec Dedekind) mais parfois celui de N qui est également ?0

A partir de là comme il peut placer une infinité de transcendentaux entre les algébriques sur [0 1[, il en déduit que le card([0 1[) dépasse ?0 (nota: outrepassement non constructif de l'arithmétique des ordinaux à infini unique N?) et conclus en l'absence de bijection entre N et [0 1[, mais cet argument me semble fragile compte tenu du lemme 1.

[size=x-large]Conclusion[/size]
Si Cantor avait tout fait pour pour satisfaire son mentor Kronecker, il aurait respecter é l'arithmétique des ordinaux à infini unique N?, qui était la norme à son époque car compatible avec l'analyse, il aurait. En choisi le sous ssant l'ensemble infini le plus grand comme référentiel pour l’infini (référentiel maximum), c'est à dire il aurait fait ses comparaison à partir du sous ensemble calcul des trcardinaux, il se serait rendu compte que tout rentre danscendentaux pour écrire ?0:
$card(\mathbb{R}[0\ 1[)=\aleph_0$ et card(N)=??1=log2(?0)=?0
et card(N)=??1=log2([0 1[))=log2(?0)=?0 et on retrouverait plus de cohérence entre ZF et l'analyse.

[size=x-large]Pour info: le paradoxe d'Oscar Perron[/size]
Je suis tombé sur ce paradoxe en étudiant l'intégrale Denjoy-Perron (Riemann généralisé).
Soit N le plus grand entier positif. Si N>1, alors N2>N, ce qui contredit la définition de N. Donc N=1.