Question aux arithméticiens

Elle repose simplement sur le théorème fondamental de l'arithmétique, i.e. tout entier $\geqslant 2$ s'écrit comme produit de nombres premiers. Pour le détail, tu peux voir ce livre pages 49-50.

Salut,
$\displaystyle \sum_p \frac1p$ a même nature que $\displaystyle\sum_p -\ln\left(1-\frac1p\right) = \ln\left[\prod_p \frac1{1-p^{-1}}\right] = \ln(\zeta(1))=+\infty$ (à formaliser un peu, mais voilà l'idée). C'est faisable en MPSI (à LLG :-P).

noix de totos a écrit:

c'est une idée, effectivement, mais le $\zeta(1)$ fait mal aux yeux...

Oui :-D. Mais il suffit d'écrire $$\displaystyle\sum_{p\leqslant N} -\ln\left(1-\frac1p\right) = \ln\left[\prod_{p\leqslant N} \frac1{1-p^{-1}}\right] \geqslant \ln\left[\prod_{p\leqslant N} \sum_{k=0}^{N} \frac1{p^k}\right] \geqslant \ln\left[\sum_{n\leqslant N} \frac1n\right]\underset{N\to\infty}\longrightarrow+\infty$$ et voilà, c'est réglé en une ligne.

Tu trouveras quatre démonstrations niveau MPSI (dont celle donnée par Noix de Toto) dans mon bouquin https://www.amazon.fr/Une-année-colles-Math-MPSI/dp/2916352694/ref=pd_rhf_dp_p_img_3?_encoding=UTF8&psc=1&refRID=1YBHA3M6SWDXZ4QANJYN , page 727 et suivantes.

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Calli : c'est grosso modo la même chose que ce que j'ai écrit, mais il faut bien comprendre que, derrière tout ça, il n'y a ni plus ni moins que le théorème fondamental de l'arithmétique.

Plus généralement, on a, si $f$ est multiplicative positive
$$\sum_{n \leqslant x} \frac{f(n)}{n} \leqslant \sum_{P^+(n) \leqslant x} \frac{f(n)}{n} = \prod_{p \leqslant x} \left( 1 + \sum_{\alpha = 1}^\infty
\frac{f(p^\alpha)}{p^\alpha} \right)$$
où $P^+(n)$ désigne le plus grand facteur premier de $n$ avec la convention $P^+(1) = 1$, et ce toujours avec le théorème fondamental de l'arithmétique.

Gebrane : "c'est une preuve bien connue"... Oui, et ?

Bien sûr, qu'elle est connue, puisqu'elle vient d'Euler...

Voici un article du Monthly qui présente plusieurs démonstrations élémentaires.

noix de totos a écrit:

c'est grosso modo la même chose que ce que j'ai écrit

C'est vrai. Je l'ai écrit en plus rapide et plus simple.

noix de totos a écrit:

il faut bien comprendre que, derrière tout ça, il n'y a ni plus ni moins que le théorème fondamental de l'arithmétique.

Oui, j'avais bien compris la preuve que j'ai écrite. :-P

Maintenant que CC a pu s'approprier l'idée, on peut aller plus loin.

1. Égalité asymptotique. Comme l'a indiqué Poirot au-dessus, pour $x$ grand
$$\sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p} = \log \log x + B + O\left( \frac{1}{\log x} \right)$$
où $B := \gamma + \sum_{p} \left \{ \log (1-1/p)+1/p\right \}\approx 0,26149 \dotsc$ est la constante de Mertens.

À ce propos, il n'y a pas de notation officielle pour cette constante (contrairement à celle d'Euler), mais j'ai l'habitude d'utiliser $B$ en référence à l'article-phare de Rosser & Schœnfeld de 1962, dans lequel les premiers vrais calculs précis explicités ont été menés, en partie grâce aux ordinateurs.

Elle est nommée ainsi en l'honneur de Franciszek Mertens, mathématicien Autrichien-Polonais (il parlait couramment l'allemand et le polonais, sa femme étant elle-même polonaise) qui fut le premier, en particulier, à établir l'égalité asymptotique ci-dessus et à obtenir une valeur précise de $B$ en utilisant une série qui converge beaucoup plus rapidement que la série ci-dessus sur les nombres premiers qui définit $B$. C'était en 1874, donc AVANT le Théorème des Nombres Premiers.

2. Estimation explicite de la formule de Mertens. Il y en a plusieurs, mais j'en donne ici une toute récente (2017) : pour tout $x \geqslant 2$
$$\sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p} = \log \log x + B + O^\star \left( \frac{4}{(\log x)^3} \right).$$
Je rappelle que la notation $f(x) = O^\star (g(x))$ signifie $|f(x)| \leqslant g(x)$ dans la région considérée.

3. Premiers en progressions arithmétiques. Soient $1 \leqslant a \leqslant q$ entiers premiers entre eux. Pour $x$ grand
$$\sum_{\substack{p \leqslant x \\ p \equiv a \pmod q}} \frac{1}{p} = \frac{\log \log x}{\varphi(q)} + B_{q,a} + O\left( \frac{1}{\log x} \right)$$
où $B_{q,a}:= \frac{1}{\varphi(q)} \left( \gamma - \sum_p f(p) \log(1-1/p) \right) + \sum_{p \equiv a \pmod q} \left \{ \log (1-1/p)+1/p\right \}$ est la constante de Mertens-Meissel et $f(p) = \varphi(q)-1$ si $p \equiv a \pmod q$, $-1$ sinon.

4. Dans les corps de nombres. Soit $K$ un corps de nombres et on désigne par $\beta$ l'éventuel zéro de $\zeta_K$ dans une certaine région proche de $1$. Pour $x$ grand (plus précisément, pour $x \geqslant C_K$, où $C_K$ est une constante dépendant des invariants usuels de $K$), on a
$$\sum_{N_K(\mathfrak{p}) \leqslant x} \frac{1}{N_K(\mathfrak{p})} = \log \log x + \log \kappa_K + B_K + O_\beta \left( \frac{1}{\log x} \right)$$
où $N_K$ est la norme usuelle sur $K$, $\kappa_K$ est le résidu en $s=1$ de $\zeta_K(s)$ et $B_K:= \gamma + \sum_{\mathfrak{p}} \left \{ \log (1-1/N_K(\mathfrak{p}))+1/N_K(\mathfrak{p})\right \}$ est la constante de Mertens associée à $K$.

cc si j ai compris, tu cherches une preuve accessible en L1 sans utiliser qu'un entier s'écrit comme produit fini de nombres premiers ?

J'avoue ne pas comprendre

Je ne suis pas sûr de voir l'anachronisme. Stirling est connu depuis longtemps, l'estimation du reste en $O(N)$ est dûe à Tchebychev, une vingtaine d'années avant Mertens donc. Peut-être l'identité de convolution, mais je trouverais ça étonnant. Le seul anachronisme que je vois c'est d'appeler fonction de Von Mangoldt la fonction $\Lambda$, alors que ce nom lui a été attribué plus tard (après la démonstration du TNP il me semble d'ailleurs).

"von Mangoldt" est maintenant un terme usuel (certains auteurs omettent parfois le "von", ce qui a tendance à me défriser).

L'anachronisme, dans mon texte, bien sûr, est effectivement dans $\sum_{n \leqslant N} \Lambda(n) = O(N)$ : il aurait fallu le démontrer avant.