Question aux arithméticiens
dans Shtam
Donc entre autre à Poirot qui a l'air calé et Noix de Toto.
Existe-t-il des preuves "faciles" et peu backgroundées que la somme des inverses des nombres premiers est infinie?
Merci d'avance!
Existe-t-il des preuves "faciles" et peu backgroundées que la somme des inverses des nombres premiers est infinie?
Merci d'avance!
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Réponses
$\displaystyle \sum_p \frac1p$ a même nature que $\displaystyle\sum_p -\ln\left(1-\frac1p\right) = \ln\left[\prod_p \frac1{1-p^{-1}}\right] = \ln(\zeta(1))=+\infty$ (à formaliser un peu, mais voilà l'idée). C'est faisable en MPSI (à LLG :-P).
Calli : c'est une idée, effectivement, mais le $\zeta(1)$ fait mal aux yeux...et pourquoi faire simple quand...
Revenons plutôt à Euler : de la série
$$\frac{1}{p(p-1)} = \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{p^k}$$
on tire
$$1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p(p-1)} = 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \dotsb$$
Quand on développe le produit $\prod_{p \leqslant n} \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \dotsb \right)$, d'après le théorème fondamental de l'arithmétique, on obtient la somme des inverses des entiers naturels $k$ dont le plus grand facteur premier est $\leqslant n$. Comme tout entier $\leqslant n$ vérifie cette condition, on a la majoration
$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \leqslant \prod_{p \leqslant n} \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p(p-1)} \right).$$
Le membre de gauche est $\geqslant \log n$, donc en passant aux logarithmes, il vient
$$\log \log n \leqslant \log \prod_{p \leqslant n} \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p(p-1)} \right) \leqslant \log \prod_{p \leqslant n} \exp \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{p(p-1)} \right) = \sum_{p \leqslant n} \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{p(p-1)} \right) \leqslant \sum_{p \leqslant n} \frac{1}{p} + 1$$
d'où la minoration donnée par Gebrane.
Oui :-D. Mais il suffit d'écrire $$\displaystyle\sum_{p\leqslant N} -\ln\left(1-\frac1p\right) = \ln\left[\prod_{p\leqslant N} \frac1{1-p^{-1}}\right] \geqslant \ln\left[\prod_{p\leqslant N} \sum_{k=0}^{N} \frac1{p^k}\right] \geqslant \ln\left[\sum_{n\leqslant N} \frac1n\right]\underset{N\to\infty}\longrightarrow+\infty$$ et voilà, c'est réglé en une ligne.
Bonne journée.
Fr. Ch.
[Activation du lien. AD]
Une preuve par l'absurde ici http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./s/serieprem.html qui ne demande pas de savoir grand chose
Plus généralement, on a, si $f$ est multiplicative positive
$$\sum_{n \leqslant x} \frac{f(n)}{n} \leqslant \sum_{P^+(n) \leqslant x} \frac{f(n)}{n} = \prod_{p \leqslant x} \left( 1 + \sum_{\alpha = 1}^\infty
\frac{f(p^\alpha)}{p^\alpha} \right)$$
où $P^+(n)$ désigne le plus grand facteur premier de $n$ avec la convention $P^+(1) = 1$, et ce toujours avec le théorème fondamental de l'arithmétique.
Gebrane : "c'est une preuve bien connue"... Oui, et ?
Bien sûr, qu'elle est connue, puisqu'elle vient d'Euler...
Je n'ai pas grand-chose de plus à dire ! ;-)
Peut-être un complément pour la culture, la minoration que tu donnes est en fait un équivalent : $$\sum_{p \leq x} \frac{1}{p} \underset{x \to +\infty}{\sim} \log \log x.$$ C'est par exemple un théorème bien connu de Mertens que $$\sum_{p \leq x} \frac{1}{p} = \log \log x + C + O\left(\frac{1}{\log x}\right).$$
Si on s'autorise le théorème des nombres premiers $\pi(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{x}{\log x}$, on retrouve facilement l'équivalent par sommation partielle : $$\sum_{p \leq x} \frac{1}{p} = \frac{\pi(x)}{x} + \int_2^x \frac{\pi(t)}{t^2} \,\mathrm{d}t$$ et par intégration des relations de comparaisons, on a $$\int_2^x \frac{\pi(t)}{t^2} \,\mathrm{d}t \underset{x \to +\infty}{\sim} \int_2^x \frac{\mathrm{d}t}{t \log t} = \log \log x - \log \log 2.$$
C'est vrai. Je l'ai écrit en plus rapide et plus simple.
Oui, j'avais bien compris la preuve que j'ai écrite. :-P
Je n'en doute pas...
Bien regarder aussi la généralisation que j'ai proposée ci-dessus, qui, l'air de rien, est quand même le $1$er outil d'estimation de sommes (logarithmiques) de fonctions multiplicatives positives (pas trop grandes).
Le lien de gebrane a l'air bien, mais flemme de lire la verbosité. Je n'ai pas tout regardé encore, par exemple n'ai pas pliqué sur les 4 preuves de Eric, ni sur Monghtly.
Mais comme je voulais des arguments simples et que la preuve de NdT rend ça "évident" en quelques lignes peu calculatoires pour moi.... Je suis convaincu.
Bon après, c'est un gout personnel, il se trouve que je sais et n'oublie pas la proximité entre $\sum 1/n$ et $log (n)$ (et sais le prouver facilement, malgré mon handicap anti-calculs).
A nouveau un très grand merci
PS: et il se trouve que je "sais" percevoir l'argument qui commence par
quand on développe $\prod_{p \leqslant n} \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \dotsb \right)$
du fait de sa proximité avec la logique et mes errements en anneaux (où on développe en sommes de monômes à la pelle sans écrire)
1. Égalité asymptotique. Comme l'a indiqué Poirot au-dessus, pour $x$ grand
$$\sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p} = \log \log x + B + O\left( \frac{1}{\log x} \right)$$
où $B := \gamma + \sum_{p} \left \{ \log (1-1/p)+1/p\right \}\approx 0,26149 \dotsc$ est la constante de Mertens.
À ce propos, il n'y a pas de notation officielle pour cette constante (contrairement à celle d'Euler), mais j'ai l'habitude d'utiliser $B$ en référence à l'article-phare de Rosser & Schœnfeld de 1962, dans lequel les premiers vrais calculs précis explicités ont été menés, en partie grâce aux ordinateurs.
Elle est nommée ainsi en l'honneur de Franciszek Mertens, mathématicien Autrichien-Polonais (il parlait couramment l'allemand et le polonais, sa femme étant elle-même polonaise) qui fut le premier, en particulier, à établir l'égalité asymptotique ci-dessus et à obtenir une valeur précise de $B$ en utilisant une série qui converge beaucoup plus rapidement que la série ci-dessus sur les nombres premiers qui définit $B$. C'était en 1874, donc AVANT le Théorème des Nombres Premiers.
2. Estimation explicite de la formule de Mertens. Il y en a plusieurs, mais j'en donne ici une toute récente (2017) : pour tout $x \geqslant 2$
$$\sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p} = \log \log x + B + O^\star \left( \frac{4}{(\log x)^3} \right).$$
Je rappelle que la notation $f(x) = O^\star (g(x))$ signifie $|f(x)| \leqslant g(x)$ dans la région considérée.
3. Premiers en progressions arithmétiques. Soient $1 \leqslant a \leqslant q$ entiers premiers entre eux. Pour $x$ grand
$$\sum_{\substack{p \leqslant x \\ p \equiv a \pmod q}} \frac{1}{p} = \frac{\log \log x}{\varphi(q)} + B_{q,a} + O\left( \frac{1}{\log x} \right)$$
où $B_{q,a}:= \frac{1}{\varphi(q)} \left( \gamma - \sum_p f(p) \log(1-1/p) \right) + \sum_{p \equiv a \pmod q} \left \{ \log (1-1/p)+1/p\right \}$ est la constante de Mertens-Meissel et $f(p) = \varphi(q)-1$ si $p \equiv a \pmod q$, $-1$ sinon.
4. Dans les corps de nombres. Soit $K$ un corps de nombres et on désigne par $\beta$ l'éventuel zéro de $\zeta_K$ dans une certaine région proche de $1$. Pour $x$ grand (plus précisément, pour $x \geqslant C_K$, où $C_K$ est une constante dépendant des invariants usuels de $K$), on a
$$\sum_{N_K(\mathfrak{p}) \leqslant x} \frac{1}{N_K(\mathfrak{p})} = \log \log x + \log \kappa_K + B_K + O_\beta \left( \frac{1}{\log x} \right)$$
où $N_K$ est la norme usuelle sur $K$, $\kappa_K$ est le résidu en $s=1$ de $\zeta_K(s)$ et $B_K:= \gamma + \sum_{\mathfrak{p}} \left \{ \log (1-1/N_K(\mathfrak{p}))+1/N_K(\mathfrak{p})\right \}$ est la constante de Mertens associée à $K$.
Alors, j'avais oublié de dire pourquoi je posais cette question:
Dans un fil récent, on a une conséquence de ce théorème qui est que pour toute ensemble fini $F$ de polynômes, chacun de degré au moins 2 et à coefficients rationnel, il existe un nombre premier $p$ tel que $\forall Q\in F\forall r\in \Q: Q(r)\neq p$.
Du coup:
1/ je voulais savoir si ce théorème (de ce fil est connue facile). Et donc j'ai la réponse : oui
2/ Peut-on en tirer un algorithme "non basé sur les infinis" qui nous sort rapidement un $p$ en fonction de $F$ vérifiant le théorème ci-dessus?
Bin, je ne n'ai pas la réponse, mais les méthodes asymptotiques étant "par définition" ce que j'appelle "basées sur les infinis", elles ne risquent pas de se traduire en algorithme "exact".
Pour info: il existe une stratégie infaillible ET RECURIVE "basée sur les infinis" qui permet à Lea de prouver toute formule arithmétique vraie dans un jeu à protocole dont l'apparence ne l'indique pas. C'est dû à la dénombrabilité ("on essaie tout et si ya, on s'arrête un jour").
J'étais surtout donc à la recherche d'un raisonnement "de Terminale-L1" évoquant des modulos, du Bezout-Gauss-Euclide.
La preuve de NdT semble indiquer qu'il n'est pas improbable qu'il en existe une. Disons que voilà mon ressenti. (La divergence de la somme des 1/n n'a pas besoin du recours à $ln$)
En fait, non, je cherche "exactement l'opposé", in some sense.
Une preuve qui ressemblerait à :
"Soit $P_1,..,P_6$ notre liste de polynômes. Prouvons que le plus petit diviseur premier de la puissance quatrième du produit de leur coefficient dominant n'a d'antécédent par aucun d'entre eux: blabla"
Les arguments de NdT que je remercie, donneraient plutôt à l'arrivée:
"On va prouver qu'il existe "quelque part" entre $10^{9^9}$ et tant un nombre premier qui n'a d'antécédent par aucun d'entre eux: blabla"
Si l'on veut éviter ce théorème (et encore), une manière de procéder est de déterminer une formule asymptotique pour
$$\sum_{n \leqslant N} \frac{\Lambda(n)}{n}$$
où $\Lambda$ est la fonction de von Mangoldt, puis de revenir à la somme de départ par sommation partielle.
Écrivons les détails.
1. La fonction de von Mangoldt est définie par $\Lambda(n) = \log p$ si $n=p^\alpha$ et $0$ sinon, et vérifie la convolution
$$\sum_{d \leqslant N} \Lambda(d) \left \lfloor \frac{N}{d} \right \rfloor = \log (N!).$$
En utilisant $\lfloor x \rfloor = x + O(1)$ dans la somme de gauche, on obtient donc
$$\log(N!) = N \sum_{d \leqslant N} \frac{\Lambda(d)}{d} + O \left( \sum_{d \leqslant N} \Lambda(d) \right) = N \sum_{d \leqslant N} \frac{\Lambda(d)}{d} + O (N)$$
tandis qu'une version simplifiée de la formule de Stirling indique que $\log(N!) = N \log N + O(N)$, d'où l'on obtient
$$\sum_{d \leqslant N} \frac{\Lambda(d)}{d} = \log N + O(1).$$
2. Dans la somme $\sum_{d \leqslant N} \frac{\Lambda(d)}{d} $, seuls les entiers $d=p^\alpha$ apportent une contribution non nulle. On sépare l'exposant $\alpha = 1$ des autres, ce qui donne
$$\sum_{d \leqslant N} \frac{\Lambda(d)}{d} = \sum_{p \leqslant N} \frac{\log p}{p} + \sum_{\substack{p^\alpha \leqslant N \\ \alpha \geqslant 2}} \frac{\log p}{p^\alpha}$$
et il n'est pas très difficile de voir que la $2$nde somme est bornée. En prenant le résultat obtenu à la $1$ère partie, il vient
$$\sum_{p \leqslant N} \frac{\log p}{p} = \log N + O(1).$$
3. Enfin, on termine avec une sommation partielle, outil qui est le pendant de l'IPP pour les sommes, ce qui donne
\begin{align*}
\sum_{p \leqslant N} \frac{1}{p} &= \sum_{p \leqslant N} \left( \frac{1}{\log p} \times \frac{\log p}{p} \right) \\
&= \frac{1}{\log N} \sum_{p \leqslant N} \frac{\log p}{p} + \int_2^N \frac{1}{t \log^2 t} \left( \sum_{p \leqslant t} \frac{\log p}{p} \right) \textrm{d}t \\
&= \frac{\log N + O(1)}{\log N} + \int_2^N \frac{\log t + O(1)}{t \log^2 t} \textrm{d}t \\
&= 1 + O \left( \frac{1}{\log N} \right) + \int_2^N \frac{\textrm{d}t}{t \log t} + O \left( \int_2^N \frac{\textrm{d}t}{t \log^2 t} \right) \\
&= \log \log N + O(1).
\end{align*}
Outre que cette méthode est bien plus longue, il y a dans la démonstration de la $1$ère étape un anachronisme. Exercice : quel est cet anachronisme ?
Je ne sais pas quoi te dire. J'ai l'impression d'avoir été aussi clair que possible, vu le flou du désir que je t'ai expliqué.
L'anachronisme, dans mon texte, bien sûr, est effectivement dans $\sum_{n \leqslant N} \Lambda(n) = O(N)$ : il aurait fallu le démontrer avant.