Un modèle pour Syracuse

http://swimmingthestyx.com/?p=447

@wilfrid

juste pour mon information : connais-tu le sens du mot "argutie" ?

Définition d'un cluster comme "hub" de jonctions"

Définir un cluster comme un "hub" de jonctions c'est simplement grouper tous les membres d'un même cluster en une seule jonction.

Les chemins de Syracuse passent par les étapes impaires que l'on numérote à partir du $D(n)$ considéré comme étape 1.

Dans l'étape 12 par exemple, on trouve tous les entiers ayant un $i(n)=12$ quelque soit leur $p(n)$ ou $D(n)$. Le propre d'un cluster étant de grouper les entiers s'ils ont les mêmes $(i(n),p(n),D(n)$ l'ensemble des entiers de l'étape 12 est donc aussi l'ensemble des clusters commençant par 12 (ou ayant un $i(n)=12$). Pour 56857 passages par l'étape 12 (bdd <=120.001) il n'y a que 38 clusters pour grouper les 1128 valeurs uniques trouvées en étape 12.

Le transport aérien utilise les hubs pour optimiser le nombre de vols nécessaires pour assurer le maximum de liaisons. Le vol direct Paris Los Angeles sera bien plus cher que le vol Paris-Chicago-Los Angeles tout simplement parce que la deuxième solution est bien plus rentable pour les compagnies aériennes.

Rasoir d'Occam ou chemin le plus court (ou le plus simple), on peut imaginer que l'organisation des chemins vers 1 tende vers un modèle optimisé plutôt qu'un fatras de solutions individuelles. La compagnie aérienne syracusienne garantit en quelque sorte que chaque entier aille vers 1 parce que le réseau de connections (hubs) est parfaitement organisé, et donc qu'il n'est pas trop compliqué.

On va donc vers 1 en allant de cluster-hub en cluster-hub, c'est-à-dire en passant d'un cluster $i(n)$ au suivant $i(n-1)$. Dans ma bdd par exemple le passage des étapes 13 à 11 le plus populaire est : 11_24_5_39_______12_25_5_41______13_28_5_45 (21764 passages).
Mais on peut trouver un passage vers 11_24_5_39 qui aura pris qu'un seul "passager" : 11_24_5_39______12_25_5_41_______13_34_5_51

Dans le pdf joint, il y a la liste des jonctions pour les étapes 13 à 11. Les exemples cités ci-dessus sont en page 3.

Si je pouvais utiliser un logiciel comme PLOTLY (typique du Big Data) il serait surement possible de faire une représentation telle que celle-ci
https://dash-gallery.plotly.host/dash-cytoscape-lda/
On verrait toutes les connections hub à hub et les plus fréquentées seraient visuellement les plus grosses. Les couleurs seraient utilisées pour les familles de $D(n)$.
Reste qu'il faut "un certain temps" pour apprivoiser cet outil...

@lourran
voici les versions des jonctions des clusters 11_12 et 12_13

pour faciliter la lecture les deux fichiers ont été classés selon l'ordre du cluster 12

Le nombre de jonctions est quasi identique : 160 vs 161 pour respectivement 56857 et 55924 passages par ces jonctions

Cher Wilfrid

Selon le principe des chemins vers 1 passant d'un cluster-hub à un autre, n'importe quelle suite va d'un hub à l'autre : c'est une simple permutation de l'ensemble des entiers impairs à l'ensemble des clusters. Tout impair appartenant à un cluster, ça marche tout le temps.

Normalement on trouve des clusters de plus en plus grands ou fur et à mesure que $i(n)$ grandit. Mais il existe aussi des clusters avec un seul entier. Le but du jeu est que tout de même l'ensemble des clusters est bien plus petit que l'ensemble des impairs.

@wilfrid
le but de ce fil est une observation du comportement des suites de Collatz sous l'angle des clusters
rien n'interdit de le faire...

normalement cela se fait avec R igraph ce genre de graphique
mais je n'ai pas fait de R depuis 10 ans

Le groupement des entiers en clusters est le plus naturel à concevoir parce qu'ils partagent des propriétés communes $i(n),p(n),D(n)$ et sont proches en valeur.

Il y a aussi évidence à mettre en valeur les étapes impaires. La raison en est simple : les clusters sont construits en fonction du $D(n)$ ce qui revient à dire que l'on considère la dernière étape impaire avant 1 comme destination finale (évidemment dès qu'un $D(n)$ est atteint, cela équivaut à arriver à 1). A partir de là, chaque étape impaire est une extension par filiation de l'étape 1 qui est celle des $D(n)$. Donc dans cette logique, la structure des suites via les clusters repose sur les impairs.

Les pairs ne sont pas oubliés pour autant : ils sont représentés par le $p(n)$ et nous allons voir plus loin que cette valeur à une grande importance.

Que ces clusters soient vus comme des hubs de jonction tombe moins sous le sens que le groupement des entiers en clusters, mais c'est aussi assez naturel. Si on substitue dans chaque étape impaire chaque valeur impaire par son cluster, on va avoir un nouvel arbre plus simple qui aura tendance à grouper les chemins. Et cet arbre peut être plus parlant pour la compréhension de l'organisation des chemins.

Un cluster va donc être à la fois un groupe d'entiers de mêmes propriétés mais aussi une boite de jonction ou un hub. On y rentre avec certaines propriétés et on en sort avec d'autres. Et là, il va y avoir une homogénéisation des chemins remarquable. Regardons par exemple le chemin du 27 : il monte et il descend en permanence, passant dans les étapes 14 à 11 par 1619, 2429, 911, et 1367. Mais si on regarde les clusters respectifs de ces entiers, l'ordre est retrouvé : 11_24_5_39<<_____<<12_25_5_41<<_____<<13_28_5_45<<_____<<14_29_5_47
car si on regarde les $p(n)$ de chaque cluster on a en allant vers 1 : 29>>>28>>>25>>>24.

On a donc une nouvelle propriété : un chemin via les clusters-hubs est toujours un chemin de $p(n)$ décroissant. Il peut être décroissant de 1 ou plus mais il n'est jamais ni égal ni supérieur. Pour une décroissance de 1 pour chaque $i(n)$, donc à chaque passage d'une étape impaire à l'autre en allant vers le $D(n)$, on décroit aussi le $p(n)$ d'au moins 1. (voir note de fin)

Donc les chemins sont des solutions pour toujours descendre la somme $i(n)+p(n)$ à chaque étape impaire et les tdv diminueront donc d'au moins 2 d'une étape à l'autre. Ce qu'il faut déduire de cela, c'est que les clusters font le job. L'ensemble des entiers impairs d'une étape impaire donnée n'est pas cohérent en tant que tel, mais les clusters que l'on peut attribuer à cette étape le sont ! Ils sont pour tous les clusters de l'étape précédente, la solution pour avoir un $p(n)$ plus petit avec le bon $D(n)$.

On arrive donc à une nouvelle définition d'un chemin dans les suites de Syracuse. Quelque soit la valeur de $n$ à une étape impaire donnée, quelle soit plus grande ou plus petite que la valeur impaire de l'étape précédente, le cluster correspondant à cette valeur a pour propriété d'avoir un $p(n)$ plus petit d'au moins 1 que le précédent. Et donc évidemment à la fin du processus, on arrive à un $i(n)=1$ et un $p(n)=0$ ce qui est la marque d'un $D(n)$ :
n__________t(n)_________i(n)________p(n)
5__________5__________1__________0
21_________7__________1__________0
85_________9__________1__________0
341________11_________1__________0
1365_______13_________1__________0
5461_______15_________1__________0
21845______17_________1__________0
87381______19_________1__________0

Note : la vérification intégrale de la bdd pour montrer la décroissance systématique des $p(n)$ est en cours mais les coups de sonde aléatoires le montrent déjà clairement. Image jointe pour le 27.

@wilfrid
Implicitement chaque ligne du pdf fourni est un ensemble de liaisons par paire qui se lit de droite à gauche :
D(n)________p(n)11_______p(n)12______p(n)13_______p(n)14
5__________20__________24__________28__________30
se lit ainsi :
Pour une ligne de D(n) = 5,
en partant du p(n)14 je relie :
30>28
puis 28>24
puis 24>20
et je dessine cette arborescence.

non tu as bien fait les liaisons mais on pourrait avoir un arbre plutôt comme celui qui est joint
à la "mano" je n'ai fait que les liaisons vers 20 en étape 11