Entre un impair et l'impair suivant, ça monte, ou ça descend.
Ca monte quand on divise une seule fois par 2, et ça descend quand on divise plusieurs fois par 2.
Il y a un cas particulier, c'est quand on retombe sur le nombre de départ, en divisant 2 fois par 2. Mais ce cas est 'hors-périmètre', puisque c'est la cas 1-4-2-1.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Ici, je suppose que comme d'habitude, ton p(n) ne prend pas en compte les étapes entre le dernier impair (souvent 5) et 1. Donc on devrait ajouter 4, voire un peu plus puisque le dernier impair n'est pas toujours 5.
Donc disons i(n)=94, et p(n) = 188 en moyenne.
Avec cette correction, on retrouve p(n) = le double de i(n) , en moyenne.
Ce qui est un résultat connu, démontré.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
@lourran
je suis surtout intéressé par la pente p(n) : elle est toujours proche de 2.
27 qui est peut-être un des cas les moins favorables a une pente de 1.5, et les plus favorables dépassent 3.
Donc on pourrait parler de manière précise d'une convergence forte. L'entier qui ne convergerait pas serait donc doté d'une propriété totalement différente des milliards de milliards d'entiers qui ont été testés.
On peut associer à chaque couple $i(n),p(n)$ un facteur de convergence. Tout chemin étant exprimable par les valeurs $i(n),p(n)$ , on peut aussi exprimer un chemin par une suite de facteurs de convergence. S'il peut paraitre "impressionnant" de voir certains chemins monter à des "altitudes" assez grandes par rapport à la valeur de départ, les variations de facteurs de convergence sont certainement faibles pour la bonne raison qu'il n'existe aucun entier dont le facteur de convergence serait inférieur à 1.
Il y a une question intéressante dans l'hypothèse d'une suite divergente : y aurait-il plus d'entiers qui convergeraient vers 1 que d'entiers qui rejoindraient la suite divergente ?
@nodgim
j'ai une réponse mais je me plante peut-être
Disons que je tire par hasard un n divergent. Je ne peux le savoir que parce que le calcul de sa suite ne s'arrête pas. De fait toutes les étapes que je vois défiler pendant le calcul de cette suite sont aussi des n divergents. Donc il suffit d'en trouver un seul pour en avoir une infinité.
Ce n est quand même bien particulier. Non seulement personne ne l'a jamais trouvé, mais les étapes de son chemin sont inconnues aussi.
De là à dire qu'il n'existe pas, je n'en sais rien... Mais c'est un drôle d'oiseau quand même.
En fait, c'est une vue de l'esprit qu'il faut écarter, il faudrait que je fasse un petit topo là dessus. On joue sur le fait que multiplier séparément 2 nombres, n et 1, un certain nombre de fois par 3, conserve le rapport entre ces 2 nombres. Cependant, si on ajoute un petit quelque chose à 1 à chaque multiplication par 3, fatalement celui-ci rattrapera le n multiplié le même nombre de fois par 3. Le 1 de départ rattrapera le n. Ce petit quelque chose est évidemment le +1 de l'algorithme. Il se trouve aussi que le nombre 1 multiplié un certain nombre de fois par 3 est précisément le complémentaire partiel, coté poids faible en base 2, du multiplié de n par le même nombre de fois par 3. De sorte que l'addition du n multiplié un certain nombre de fois par 3 et du 1 multiplié le même nombre de fois par 3, auquel on ajoute un petit quelque chose, donne une puissance de 2.
PMF
Ton coefficient 2.3466 est suspect ; Je persiste à penser qu'un coefficient 2 serait plus exact.
Ici, les gros points bleus semblent répartis : exactement 1 point point pour chaque valeur de i(n). Autrement dit, tu as fait en sorte d'avoir 1 valeur p(n) pour chaque i(n). Et c'est cette manipulation malhonnète qui te donne ce résultat faux.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
l'addition du n multiplié un certain nombre de fois par 3 et du 1 multiplié le même nombre de fois par 3, auquel on ajoute un petit quelque chose, donne une puissance de 2.
Si tu prouves ça, tu as prouvé la conjecture. Tout chemin finit par un $D(n)$ ,dernière étape impaire avant 1, tel que le 3x+1 de ce $D(n)$ est une puissance de 2 : 5-->16, 21-->64, 85-->256....
Pour revenir sur le terrain des probabilités qui me semble essentiel pour cette conjecture.
Commençons par pile ou face. Il est impossible pratiquement de tirer une série infinie de pile pou de face. Mais théoriquement on pourrait dire qu'il existe une probabilité infiniment petite de le faire : $\large\frac{1}{2^{\infty}}$ Une probabilité qui de fait n'existe pas.
La seule chose que l'on peut faire pratiquement c'est battre le record de la série la plus longue. On commence par une certaine longueur et avec de la patience on arrivera toujours à la dépasser. Mais ce sera juste une longueur plus ou moins longue, pas infinie.
Pour la conjecture, c'est presque du pile ou face. La suite qui serait divergente serait telle qu'un nombre infini de 3x+1 divisé par 2 donnerait toujours un nombre impair. Donc la valeur initiale augmenterait d'environ 1.5 à chaque étape et divergerait. On peut toujours se dire que théoriquement cette suite pourrait exister avec une probabilité infiniment petite, mais pratiquement la seule chose que l'on peut faire c'est trouver un "bout de suite" qui serait la plus longue possible, d'en faire un record et de s'amuser à le battre...
Donc peut-on invoquer un "principe de réalité" pour les entiers ? La probabilité infiniment petite de trouver une suite infinie de divisions uniques par 2 est une probabilité nulle.
Deux statistiques pour les suites en tirant 1000 fois les suites de Syracuse d'un n impair entre 10^6 et 10^14 :
1) nombre de divisions par 2 après ce n avant la première étape impaire.
2) nombre d'étapes impaires parmi les 100 premières étapes du chemin
Ces deux graphiques montre que :
1) S'il y a une chance sur deux qu'il y ait une seule division par 2 après 3x+1, il y a aussi une chance sur deux qu'il y ait au moins 2 divisions par 2, et donc aussi des chances qu'il y ait plus de 2 divisions par 2 (max 7 dans cet échantillon). Le nombre de divisions par 2 s'impose clairement au 3x+1 dans le bilan "montée/descente". La suite ne peut que converger vers 1.
2) il est impossible de trouver une longue suite d'étapes impaires séparées d'une seule division par 2. Si elle existait, on devrait trouver 50 étapes impaires parmi les 100 premières étapes du chemin. Or on voit ici que sur 1000 tirages la valeur maxi a atteint 40 dans quelques rares cas.
La convergence de la suite de Syracuse s'impose en terme de probabilité. Même s'il ne s'agit que de sondages, ces chiffres ne changeront pas sur des données massives.
Admettons qu'on prenne cette approche probabiliste.
On a une probabilité quasi nulle ... mais on répète l'expérience une infinité de fois. (une fois pour chaque entier). Or , 0 multiplié par l'infini, c'est une forme indéterminée ; selon les cas, ça donne 0, ou un nombre fini, ou l'infini.
2ème point qu'il faut préciser.
On ne cherche pas un entier qui donnerait précisément : Impair Pair Impair Pair ... répété à l'infini.
Un entier qui donnerait Impair Pair Impair Pair Impair Pair Pair Impair Pair Impair Pair Pair , et ceci répété à l'infini , ça nous convient aussi.
On peut très bien avoir une série de 15 descentes successives, si auparavant, on a un une cinquantaine de montées/Descentes.
En fait, cette approche 'probabiliste' sert juste à dire : on a vraiment l'impression que pour tout entier , la chaine finit au cycle (1,4,2). Elle renforce la conviction, mais ça reste une conviction, pas une preuve.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
@lourran
Quand je teste le nombre d'impairs sur 100 étapes, cela revient à chercher la plus grande concentration possible : le maximum théorique étant 50 soit un sur deux.
On peut peut-être passer 40 avec bcp d'essais mais cela restera encore largement convergent.
En fait comme on ne tire que des suites convergentes, même la suite qui aurait disons plus de 40 étapes retomberait sur une valeur qui travers 1.
Conclusion : on a la conviction très forte que partant de n'importe quel nombre, on arrivera à 1.
Tu pourrais publier un truc là-dessus. Et tu appellerais cela 'la conjecture de Syracuse'.
Et peut-être que dans un siècle, il y aurait encore des gens qui chercheraient à démontrer si oui ou non, il y a des contre-exemples à cette conjecture.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Concernant le diagramme en (ou à) barres représentant la répartition du nombre de termes impairs, je te propose le même ci-dessous. Pour l'obtenir j'ai recherché toutes les suites compressées de longueur 28 et ensuite compté dans combien d'entre elles figuraient 3, 4, 5, ... termes impairs. Tu peux voir que la répartition est la même.
Si tu crées un grand nombre de suites et que tu calcules leur longueur moyenne, en comptant le nombre de termes impairs dans chacune des suites de cette longueur-là tu obtiendras exactement la même répartition. C'est comme ça qu'il faut interpréter ce diagramme.
PS : si tu comptais le nombre de termes pairs au lieu des termes impairs, tu obtiendrais le même diagramme.
@lourran
ce n'est pas si simple que ça, à mon humble avis. Si on pointe du doigt une impossibilité matérielle de réaliser quelque chose, pourquoi envisager théoriquement qu'on peut le faire ?
Est-ce que je peux tirer 100 fois pile de suite ? Il y une chance sur 1 million d'arriver à 20, une chance sur mille milliards d'arriver à 40...
Comment garantir qu'une expérience y arrivera ? Est-ce vraiment possible ?
Mais pour la conjecture c'est encore pire que le pile ou face. On a fait tous les calculs possibles depuis des années. OK les entiers sont infinis, mais ils sont aussi infiniment pareils... On a quand même touché du doigt sur ce fil deux ou trois trucs qui montrent une structure globale et un comportement collectif (les clusters, le graphe).
Je pense que pour tout impair il en existe un autre, plus petit ou plus grand, qui a une étape impaire de moins et au moins une étape paire de moins. Et que pour une même liaison, on va mettre une infinité d'entiers dedans. L'ensemble des entiers entre dans l'ensemble des clusters, l'ensemble des liaisons est entièrement connecté, il n'y a pas un sommet non relié à un autre. Je n'ai peut-être rien démontré mais c'est comme ça que ça marche.
Tu penses que bla bla,
Tu conjectures que bla bla...
Moi aussi, je pense que bla bla
Collatz lui-même pensait la même chose. Lui aussi était convaincu que pour tout entier, on arrivait à 1. Donc quand tu dis que toi aussi, tu es convaincu que tout entier arrive à 1, tu ne fais que répéter l'énoncé du problème. Tu ne donnes pas la solution, tu recopies l'énoncé.
@lourran
il faut tenir compte des observations. Que nous en expliquions ou pas la raison, les entiers dans les suites de Syracuse ont un comportement particulier et il y a bcp d'autres choses notables que la convergence vers 1, qui est d'ailleurs une FORTE convergence.
La vidéo de présentation, l'une des dernières phrases : " il faudrait prouver qu'il existe un nombre dont on ne connaitrait pas le devenir pour authentifier le caractère indécidable du problème " . J'ai l'impression que c'est faux, et que la preuve de l'indécidabilité est bien compliquée que ça.....
video sympa pour une première découverte, mais qui n'apporte pas bcp d'info hormis pour J.H. Conway et la possibilité qu'il existerait une suite dont il serait impossible de savoir la longueur sans prouver qu'elle serait non plus interminable.
Il y a un énorme problème (pour des gens comme moi) sur cet aspect divergent (ou pseudo-divergent dans l'esprit de Conway). On ne peut pas en faire l'expérience, ni aujourd'hui ni dans le futur, tout en se disant que c'est théoriquement possible. J'ai déjà dit que si cette suite existe, tous les entiers qui en sont les termes sont eux-mêmes divergents... si cette suite est infinie (il faut qu'elle le soit), on a de fait deux infinité d'entiers : ceux qui convergent et ceux qui divergent.
C'est franchement illogique. L'ensemble des entiers ne peut pas obéir à deux logiques différentes.
Donc tu es convaincu que forcément, tous les nombres aboutissent à 1.
Parfait, très bien. 99% des mathématiciens sont comme toi, (et moi aussi). On est tous convaincus que tous les nombres aboutissent à 1.
Mais le fait d'être convaincu, ça ne prouve rien.
Une preuve mathématique, une démonstration, ça obéit à certaines règles. Et parmi tous les messages qu'on a pu échanger, il n'y a rien qui constitue le début d'une piste pour une démonstration.
Collatz lui-même, quand il a partagé ses réflexions, il a beaucoup cogité sur la question, il a dit qu'il était convaincu que tous les nombres aboutissaient à 1, mais il était parfaitement conscient que toutes ses convictions, ça ne constituait pas une démonstration.
L'ensemble des entiers ne peut pas obéir à deux logiques différentes : qui parle de 2 logiques différentes ?
Regardons la suite définie par f(x) = x/2 si x est pair, et f(x)=2x sinon.
Certains entiers repassent par le point de départ, et d'autres ne repassent pas par le point de départ. ... On a bien 2 logiques différentes.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
On dirait les discussions de la première des 15 pages de ce très long fil. Toujours cette incompréhension de la très grande diversité des entiers, cette croyance que ce qui est vrai pour quelques cas est obligatoirement vrai pour tous les cas ("L'ensemble des entiers ne peut pas obéir à deux logiques différentes").
15 pages pour rien ...
il faut surtout une vrai stratégie où avec le petit théorème de [large]F[/large]ermat on a x^3 = x mod 3 qui doit être x mod 3 +1 avec le théorème des restes chinois on se trouverait avec un système de congruence .
On pourrait fixer une limite supérieure comme avec la méthode du cercle.
Dans mon exemple on pourrait voir un rapprochement avec les p-adiques ou bien de [large]C[/large]ollatz avec une conjecture des équations diophantiennes pour apporter quelque chose.
[Pierre de Fermat (1601-1665) et Lothar Collatz (1910-1990) prennent toujours une majuscule. AD]
Regardons la suite définie par f(x) = x/2 si x est pair, et f(x)=2x sinon....
Je ne vois pas deux logiques ici mais une seule propriété de cette suite qui finit toujours par un cycle n impair = n' pair /2
Mais je comprends ton point sur la démonstration. Je ne conteste pas sur ce point.
Il y aura toujours un souci avec cette démonstration parce que l'on ne peut pas expérimenter un n divergent avec les suites de Collatz. Cette non-existence pratique est un sérieux problème parce qu'on ne peut même pas donner un modèle à ce nombre, lui donner une propriété. Donc on suppute quand même dans le vide.
D'ailleurs on est plutôt à dire que "La conjecture est "presque" vraie pour "presque" tous les entiers."
10^20 nombres sur une infinité, ça fait quel pourcentage ?
PMF, tu es tellement content de ce que tu fais que tu ne te rends pas compte à quel point tu es loin des maths, des preuves. On pourrait croire que tu n'as jamais essayé de compter "jusqu'au bout", que tu ne conçoit pas que les nombres que tu utilises sont des "tout petits entiers". On peut, avec des logiciels courants, calculer avec des nombres 10^100 fois plus grands que tes plus grands nombres, ou même encore 10^100 fois plus grands (ça ne fait encore que des nombres à 220 chiffres maximum, alors qu'il n'y a besoin d'aucune intelligence pour comprendre qu'il y a des nombres avec autant de chiffres qu'on veut, avec des nombres de chiffres tellement grands qu'on est incapable de les écrire.
C'est le domaine des matheux, plus des expérimentateurs sur tableur. Manifestement, tu n'es pazs capabnle de comprendre cette réflexion accessible à un collégien ...
Au fait, je t'ai dit ça dans la première des 15 pages, tu m'as répondu que tu ne cherchais pas la preuve ... Maintenant, tu commences à croire que tes petits calculs ont prouvé !! L'illusion du convaincu ("c'est mon avis et je le partage")
Tu peux penser ce que tu veux de moi, mais ne dis pas de contre-vérités, ç'est pas dans l'esprit des maths.
Je ne prétends pas démontrer quoi que ce soit. L'idée est de faire des expériences, et d'observer ce qui se passe avec cette conjecture. Dans une rubrique comme le shtam, je dirais : "why not ?" Et recourir à des logiciels qui peuvent faire des visualisations particulières comme RStudio n'est pas non plus une infamie mathématique. C'est juste un problème d'ouverture d'esprit.
Je rappelle aussi que certains des tests sur ce fil ont été faits sur Python avec des nombres "assez grands". Mon modèle SXF dit que l'on peut prévoir que l'entier calculable par "print(4**10000*203+(2**(10000*2)-1)//3)" est dans le cluster 12_20023_5_20039.... cad que ce nombre a un temps de vol de 20.039... avant d'arriver à 1 en passant par 5 avec 12 étapes impaires et 20023 étapes paires... Et donnant une valeur k encore plus grande, on pourrait donner un n franchement grand, dont la suite n'est pas forcément calculable ni d'ailleurs calculée à ce jour,
Enfin si on cherche à mettre une structure en évidence, cela ne sert à pas grand chose d'aller chercher les grands nombres. Le graphe qui montre les connections $i(n),p(n)$ est tout autant intéressant à étudier que s'il avait été bâti avec des entiers plus grands. On se doute que sa structure va se déployer. On peut déjà essayer de comprendre ce qui se passe à cette échelle.
tu n'as pas prétendu résoudre la conjecture, tu as seulement affirmé qu'elle ne peut pas être fausse, avec l'argument idiot "OK les entiers sont infinis, mais ils sont aussi infiniment pareils..."
Et toujours ta croyance que ce que tu as vu sur le tout petits nombres (celui dont tu parles est aussi un tout petit nombre; tout nombre est un tout petit nombre puisqu'il y a des nombres qui ont 10 fois, 100 fois plus de chiffres) est général : On a quand même touché du doigt sur ce fil deux ou trois trucs qui montrent une structure globale et un comportement collectif (les clusters, le graphe).
Mais il n'y a pire sourd que celui qui ne veut pas entendre ...
Allez, continue à faire tes châteaux de sable sur la plage ...
video sympa pour une première découverte, mais qui n'apporte pas bcp d'info
Est-ce que dans les 15 pages de cette discussion, il y aurait des informations utiles et pas reprises dans cette vidéo ?
Est-ce que ça vaut le coup de contacter l'auteur de cette vidéo, pour lui soumettre ces informations ?
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
On commence à faire des mathématiques dès que l'on observe ou soupçonne un résultat général mais le résultat conjecturé n'est établi que si l'on produit une démonstration.
Puisque les critiques pleuvent sur l'inanité de ce fil (lourran) ou sur les "petits nombres" qui ne seraient que des exemples rabougris (gerard0), je recentre sur la base du modèle et ce qu'il permet d'affirmer.
Les entiers se répartissent dans des clusters $i(n),p(n), D(n)$. On peut associer à un $i(n)$ un $(p(n)$ aussi grand que l'on veut : $p(n)= p(n)_{min}+2k$ et connaitre la valeur d'un $n$ qui fera partie de ce cluster : $\large 4^k*n_{seed}+\frac{2^{2k}-1}{3}$
Il existe 2 valeurs minimales $p(n)$ pour tout $i(n)$ (une paire et une impaire), et les $n_{seed}$ sont les minorants de ces deux clusters.
Par exemple pour $i(n)=12, D(n)=5$ 105 et 203 sont les $n_{seed}$ pour les $p(n)_{min}$ 22 et 23. De nombreuses vérifications ont été faites sous Python (script de Raoul.S) avec des k "assez grands". Les $n_{seed}$ ont été calculés pour 140 premiers $i(n)$ et cette liste est très facilement extensible.
On rappelle aussi qu'un cluster contient un ou plusieurs membres. Par exemple le cluster $28, 58, 5$ contient 1028 membres. On a aussi vu que les membres d'un cluster ont des valeurs proches (lourran ayant d'ailleurs proposé un facteur)
Le modèle a donc un avantage évident : k pouvant être aussi grand que l'on veut, on peut proposer un nombre qui dépassera largement les limites des suites calculées à ce jour. Et ce n, même si aucun ordinateur ne pourra en calculer la suite, existe et on en connait exactement le cluster $i(n),p(n), D(n)$. Donc on peut fabriquer une quasi-infinité de ces n infiniment grands en jouant sur k et en cherchant des $n_{seed}$ pour des $i(n)$ de plus en plus grands.
On peut donc définir des n aussi grands que l'on veut et être surs qu'ils convergent, et ce avec des informations précises sur leur chemin puisque l'on connait leurs clusters. Et on sait que ces n aussi grands que l'on veut sont "entourés" par d'autres n de valeur proche dans leur cluster, et qu'il y en a certainement un très grand nombre.
L'infinité des entiers est donc infiniment peuplée de n convergents. Si quelqu'un donne la démonstration de ce modèle, cette affirmation sera vraie. J'anticipe aussi qu'il n'y aura pas de "trous" dans cette infinité qui feraient place à des n divergents, c'est-à-dire que l'ensemble des clusters recoupera toujours l'ensemble des entiers. Mais ce point est surement plus difficile à démontrer.
L'infinité des entiers est donc infiniment peuplée de n convergents. Si quelqu'un donne la démonstration de ce modèle, cette affirmation sera vraie. J'anticipe aussi qu'il n'y aura pas de "trous" dans cette infinité qui feraient place à des n divergents, c'est-à-dire que l'ensemble des clusters recoupera toujours l'ensemble des entiers. Mais ce point est surement plus difficile à démontrer.
C'est ce genre de phrase qui pose problème.
1ère partie : Si quelqu'un donne la démonstration de ce modèle, cette affirmation sera vraie.
Cette démonstration est évidente, basique. 4 lignes.
2ème partie : Mais ce point est surement plus difficile à démontrer.
Et là, on passe sur un 2ème point, mais pour lequel on n'a pas le moindre début de piste, et aucun mathématicien au monde n'a le moindre début de piste.
Dans ta phrase, les 2 points sont quasiment mis sur le même niveau... alors qu'il y a un monde entre ces 2 étapes. Une est évidente, et l'autre est 'insoluble'.
Jouer à faire des chateaux de sable, tant qu'on est conscient qu'on s'amuse, ça ne pose pas problème (j'y joue beaucoup avec toi). Ce qui pose problème, c'est quand on croit qu'on fait des maths ou qu'on fait de la recherche sur la conjecture de Syracuse.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
@lourran
il faut partir du 1er point, c'est la base, et tenter de construire le maillage complet, c'est le but.
1er point : on peut connaitre au moins un membre d'un cluster où qu'il soit dans l'infinité des entiers. Si tu dis que c'est facilement démontrable tant mieux. On a la base.
2ème point : il est facile d'observer les clusters dans les "petits nombres" et cela donne une idée de la manière dont ils constituent leur maillage, puisque chaque entier est un point de ce maillage. Il manque la ou les formules pour déterminer plus de membres de ces clusters. C'est ça le début de piste, il faut trouver d'autres formules.
En tous cas un point est sûr pour les mathématiques : il n'y a nulle part dans les entiers où on ne pourrait pas trouver un membre d'un cluster, donc un n convergeant. Et quand on trouve un membre il y en a d'autres dans son voisinage. Ce qui complique forcément l'existence du n divergeant qui n'a pas si on veut un domaine réservé.
Les mots changent, mais la musique est la même : tu as la conviction que tous les entiers convergent vers 1, tu conjectures que tous les entiers convergent vers 1.
Tu répètes donc ce que disait Collatz : je pense que pour tout entier de départ, la suite aboutit à 1, mais je n'ai pas le début d'une démonstration.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
un peu pessimiste mon cher lourran : tu as une formule qui te donne au moins un n qui est toujours convergent, sans limite de taille, ni besoin de calculer le chemin. Et dont tu me dis que la démonstration prend 4 lignes...
Il y a donc une infinité d'entiers convergents mais qui ne recoupe pas tous les entiers. C'est une démonstration partielle certes, mais le point est à la convergence : on peut définir un n toujours convergent mais on ne sait le faire pour un n divergeant.
Ce n'est pas du pessimisme, mais du réalisme.
Tu dis que la formule permet de règler le cas d'une infinité d'entier. Oui. à partir d'un entier impair, on sait 'propager' cet entier à une infinité d'entiers.
A partir de plein d'entiers, on répète cette opération de 'propagation', et on couvre plein d'entiers.
Pour info, tous les entiers en question on tous un certain point commun, et avec cette méthode, on atteint au mieux la moitié des entiers impairs.
Mais peu importe.
Admettons qu'avec cette méthode, on couvre non pas 49% des entiers mais 99.999% des entiers impairs. Admettons. Hypothèse totalement optimiste.
99.999%, ce n'est pas 100%
Même si on atteignait 99.999%, alors on en serait toujours au point de départ.
L'objectif, ce n'est pas de démontrer que pour 99.999% des entiers, on aboutit vers 1. Ce résultat là, il est acquis depuis des décennies.
L'objectif, c'est de démontrer que pour 100% des entiers, on aboutit vers 1.
Et là, ni toi ni moi, nous n'avons de piste.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Réfléchissons un peu et retournons le problème. Nous avons la conviction qu'il existerait une possibilité qu'un entier pourrait ne pas revenir à 1. Pourquoi? Parce que la suite peut passer par des valeurs supérieures à celle de départ. Et que le vol prend de la l'altitude, et qu'il monte, et qu'il monte encore. Et cela nous impressionne. Et on en fait des records de vol en altitude. Oh la la ! il est monté bien haut celui-là... Et on finit par croire qu'il y en a un qui va bien finir par ne pas redescendre !
C'est une illusion. L'illusion de la divergence. Pour n'importe quel $n$ qui s'envole, il existe toujours un $n'$ quelques étapes plus loin qui sera plus petit que lui. Tout le problème de la conjecture est peut-être de ne pas chercher au bon endroit. De se focaliser sur 1. J'ai déjà dit que ce n'était pas 1 qui était important mais le $D(n)$ dont l'étape suivante est une puissance de 2, le sésame du retour vers 1. Cela permet déjà de voir les choses autrement mais ce n'est pas suffisant face à cette illusion.
Il faut mettre en brèche l'illusion de la divergence. On voit dans les graphes qui utilisent le couple $i(n),p(n)$ - qui a l'avantage de masquer la valeur de n - qu'il n'y a qu'une pente vers $1,0$ et qu'elle est juste plus ou moins longue, qu'elle passe juste parfois par des itinéraires rares au lieu des grandes autoroutes que la majorité des chemins choisissent de prendre.
Il y a donc plusieurs choses à faire s'il on veut démontrer que la divergence est une illusion.
a) Dans le graphe des $i(n),p(n)$ on peut montrer qu'il a toujours pour un $i(n),p(n)$ un autre sommet pour le connecter en direction de $1,0$.
b) Dans les chemins des étapes impaires, on montre que pour tout $n$ il existe un $n'$ plus petit que lui quelques étapes plus loin.
Ma vision est que $n$ ne diverge jamais même quand il fait semblant de s'envoler. Je pense qu'il suit simplement son chemin vers 1 et que cela n'a aucune importance si les étapes de ce chemin passent par des valeurs supérieures un certain nombre de fois.
On note $\large i_{x}<i_{0}$ où $i_0$ est l'impair de départ d'une séquence qui aboutit à un $i_x$ plus petit et $x$ le nombre détapes de cette séquence. Il faut arriver à montrer qu'il y a toujours une solution en $x$ étapes. L'intérêt est que c'est bcp plus local que l'ensemble du vol. On ne parle plus de la convergence vers 1 mais du fait que si $\large i_{x}<i_{0}$ alors aucune divergence n'est possible.
L'avantage du dernier impair par rapport à 1, il est infiniment petit, il n'existe pas. Pourquoi le dernier impair, plutôt que l'avant-dernier ?
C'est ridicule.
Dans le graphe des i(n),p(n) etc etc ....
Dans ce graphe, tu peux trouver toutes les relations du monde , tu peux faire plein de traitements, ça te permettra de dire : Les nombres pour lesquels on sait calculer i(n) et p(n) sont comme-ci et comme-ça
Tu peux montrer que ton $i_x< i_0$ (je ne sais pas ce que ça représente, mais peu importe), ça te dira que les entiers pour lesquels on sait calculer i(n) et p(n) convergent vers 1. Admettons.
Et alors ? Est-ce qu'on sera plus avancé ?
Non !
Si tu sais calculer i(n) et p(n) pour un entier, c'est qu'il converge vers 1. Déjà, avant de commencer, tu t'intéresses uniquement aux entiers qui convergent, et tu cherches à montrer qu'ils convergent. C'est ridicule.
Par construction, les entiers qui sont dans des clusters , ils convergent. Ils convergent vers 1 ou vers D(n) ... peu importe !
Puisque tu veux absolument ramener ça à des i(n) et des p(n), la question, c'est : y-a-t-il des entiers pour lesquels on ne peut pas calculer i(n) et p(n).
Je te repose la question.
Tu disais que la video était une petite introduction gentille.
Est-ce qu'il y a dans cette discussion des résultats utiles qui devraient être repris dans cette video ?
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Nous avons la conviction qu'il existerait une possibilité qu'un entier pourrait ne pas revenir à 1. Pourquoi? Parce que la suite peut passer par des valeurs supérieures à celle de départ. Et que le vol prend de la l'altitude, et qu'il monte, et qu'il monte encore. Et cela nous impressionne...Et on finit par croire qu'il y en a un qui va bien finir par ne pas redescendre !
Tu oublies le problème des cycles également. Il se peut qu'il existe un cycle non trivial : ton nombre de départ revient sur lui-même au bout d'un certain nombre d'étapes.
Il y a plusieurs mois j'avais posté l'image ci-dessous pour illustrer le fait qu'il ne peut pas exister de cycle autre que le cycle trivial.
En vertu du fait que l'algorithme de Collatz est déterministe, $p_r$ (impair) ne peut pas être le prédécesseur d'un autre terme impair que $n_1$. Pourtant, certains prétendent que pour une raison inconnue, après être passée par $n_2$ puis $n_3$ la suite retournerait soudainement en $n_1$ au lieu de continuer en $n_4$ !!!
Cette situation est impossible pour la raison que je répète : $p_r$ n'est pas le prédécesseur de $n_3$ mais de $n_1$, donc $n_3$ ne peut en aucun cas figurer après $p_r$.
@Wilfrid si je comprends bien ton raisonnement, tu dis qu'un cycle semblable à celui que tu as posté dans l'image ci-dessus est impossible car $n_1$ se retrouverait avec deux prédécesseurs : $p_r$ et $n_3$ et ceci est évidemment impossible pour une suite de Syracuse.
Je suis tout à fait d'accord, mais ce n'est pas de cette situation à laquelle on pense lorsque l'on parle de cycle...
@Wilfrid ok j'ai compris ton argument. Sauf que là tu ne considères que les cycles de longueur 3. Or on sait qu'il n'existe que le cycle trivial qui a une longueur de 3. Mais on ne sait pas s'il existe des cycles avec beaucoup plus d'éléments.
Comme blague, c'est excellent.
Comme explication, ou démonstration, c'est risible.
la communauté mathématique n'est pas au courant de ta découverte.
La question de savoir s'il y a des cycles dans cette conjecture de Syracuse est toujours d'actualité.
On sait que s'il y a des cycles, (autres que le cycle trivial) alors ces cycles comporteront au moins 17 Milliards de nombres.
Mais c'est tout.
Personne ne sait à ce jour s'il y a des cycles autres que le cycle (1,4,2).
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
A l'origine du cycle trivial il y a le fait que 1 est à la fois son propre prédécesseur et propre successeur. Comme il ne partage cette propriété avec aucun autre entier naturel impair, aucun autre cycle ne peut se former.
Ceux qui prétendent le contraire oublient (ou ne connaissent pas) cette propriété particulière de 1.
Bien sûr, on peut évoquer le cas où il existerait un cycle plus long que le cycle trivial. Mais là on retombe sur le schéma que j'ai posté plus haut, et la question est : comment $n_3$ ou tout autre terme venant après $n_1$ pourrait-il devenir le successeur de $p$ ? Peut-on démontrer que c'est possible ?
Réponses
Ca monte quand on divise une seule fois par 2, et ça descend quand on divise plusieurs fois par 2.
Il y a un cas particulier, c'est quand on retombe sur le nombre de départ, en divisant 2 fois par 2. Mais ce cas est 'hors-périmètre', puisque c'est la cas 1-4-2-1.
Lorsque l'on regarde la courbe $i(n),p(n)$ sur un ensemble de chemins, il apparait que le p(n) décroit bien plus vite que le i(n)
Un chemin avec un i(n) moyen de 94 a un p(n) moyen de 183 (test aléatoire de 100 n entre 10^3 et 10^12)
La pente p(n) est de moyenne 2 avec un mini à 1.7 et un maxi à 3,2
Le 27 qui est un cas limite a une pente de 1.54
On en parle pas souvent mais il faut noter que la convergence est forte.
Donc disons i(n)=94, et p(n) = 188 en moyenne.
Avec cette correction, on retrouve p(n) = le double de i(n) , en moyenne.
Ce qui est un résultat connu, démontré.
je suis surtout intéressé par la pente p(n) : elle est toujours proche de 2.
27 qui est peut-être un des cas les moins favorables a une pente de 1.5, et les plus favorables dépassent 3.
Donc on pourrait parler de manière précise d'une convergence forte. L'entier qui ne convergerait pas serait donc doté d'une propriété totalement différente des milliards de milliards d'entiers qui ont été testés.
On peut associer à chaque couple $i(n),p(n)$ un facteur de convergence. Tout chemin étant exprimable par les valeurs $i(n),p(n)$ , on peut aussi exprimer un chemin par une suite de facteurs de convergence. S'il peut paraitre "impressionnant" de voir certains chemins monter à des "altitudes" assez grandes par rapport à la valeur de départ, les variations de facteurs de convergence sont certainement faibles pour la bonne raison qu'il n'existe aucun entier dont le facteur de convergence serait inférieur à 1.
Je n'ai pas la réponse.
j'ai une réponse mais je me plante peut-être
Disons que je tire par hasard un n divergent. Je ne peux le savoir que parce que le calcul de sa suite ne s'arrête pas. De fait toutes les étapes que je vois défiler pendant le calcul de cette suite sont aussi des n divergents. Donc il suffit d'en trouver un seul pour en avoir une infinité.
Ce n est quand même bien particulier. Non seulement personne ne l'a jamais trouvé, mais les étapes de son chemin sont inconnues aussi.
De là à dire qu'il n'existe pas, je n'en sais rien... Mais c'est un drôle d'oiseau quand même.
pfff, j'ai fait du Thomas Bernhard, là....
Ton coefficient 2.3466 est suspect ; Je persiste à penser qu'un coefficient 2 serait plus exact.
Ici, les gros points bleus semblent répartis : exactement 1 point point pour chaque valeur de i(n). Autrement dit, tu as fait en sorte d'avoir 1 valeur p(n) pour chaque i(n). Et c'est cette manipulation malhonnète qui te donne ce résultat faux.
ouh la la il n'y a rien de malhonnête dans mon petit graphique ! il représente un chemin tiré au hasard ayant une cinquantaine d'étapes impaires et 120 étapes paires. Le but du jeu était juste de montrer une pente.
les observations statistiques sont là : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2058452,2111128#msg-2111128
Si tu prouves ça, tu as prouvé la conjecture. Tout chemin finit par un $D(n)$ ,dernière étape impaire avant 1, tel que le 3x+1 de ce $D(n)$ est une puissance de 2 : 5-->16, 21-->64, 85-->256....
Commençons par pile ou face. Il est impossible pratiquement de tirer une série infinie de pile pou de face. Mais théoriquement on pourrait dire qu'il existe une probabilité infiniment petite de le faire : $\large\frac{1}{2^{\infty}}$ Une probabilité qui de fait n'existe pas.
La seule chose que l'on peut faire pratiquement c'est battre le record de la série la plus longue. On commence par une certaine longueur et avec de la patience on arrivera toujours à la dépasser. Mais ce sera juste une longueur plus ou moins longue, pas infinie.
Pour la conjecture, c'est presque du pile ou face. La suite qui serait divergente serait telle qu'un nombre infini de 3x+1 divisé par 2 donnerait toujours un nombre impair. Donc la valeur initiale augmenterait d'environ 1.5 à chaque étape et divergerait. On peut toujours se dire que théoriquement cette suite pourrait exister avec une probabilité infiniment petite, mais pratiquement la seule chose que l'on peut faire c'est trouver un "bout de suite" qui serait la plus longue possible, d'en faire un record et de s'amuser à le battre...
Donc peut-on invoquer un "principe de réalité" pour les entiers ? La probabilité infiniment petite de trouver une suite infinie de divisions uniques par 2 est une probabilité nulle.
1) nombre de divisions par 2 après ce n avant la première étape impaire.
2) nombre d'étapes impaires parmi les 100 premières étapes du chemin
Ces deux graphiques montre que :
1) S'il y a une chance sur deux qu'il y ait une seule division par 2 après 3x+1, il y a aussi une chance sur deux qu'il y ait au moins 2 divisions par 2, et donc aussi des chances qu'il y ait plus de 2 divisions par 2 (max 7 dans cet échantillon). Le nombre de divisions par 2 s'impose clairement au 3x+1 dans le bilan "montée/descente". La suite ne peut que converger vers 1.
2) il est impossible de trouver une longue suite d'étapes impaires séparées d'une seule division par 2. Si elle existait, on devrait trouver 50 étapes impaires parmi les 100 premières étapes du chemin. Or on voit ici que sur 1000 tirages la valeur maxi a atteint 40 dans quelques rares cas.
La convergence de la suite de Syracuse s'impose en terme de probabilité. Même s'il ne s'agit que de sondages, ces chiffres ne changeront pas sur des données massives.
On a une probabilité quasi nulle ... mais on répète l'expérience une infinité de fois. (une fois pour chaque entier). Or , 0 multiplié par l'infini, c'est une forme indéterminée ; selon les cas, ça donne 0, ou un nombre fini, ou l'infini.
2ème point qu'il faut préciser.
On ne cherche pas un entier qui donnerait précisément : Impair Pair Impair Pair ... répété à l'infini.
Un entier qui donnerait Impair Pair Impair Pair Impair Pair Pair Impair Pair Impair Pair Pair , et ceci répété à l'infini , ça nous convient aussi.
On peut très bien avoir une série de 15 descentes successives, si auparavant, on a un une cinquantaine de montées/Descentes.
En fait, cette approche 'probabiliste' sert juste à dire : on a vraiment l'impression que pour tout entier , la chaine finit au cycle (1,4,2). Elle renforce la conviction, mais ça reste une conviction, pas une preuve.
Quand je teste le nombre d'impairs sur 100 étapes, cela revient à chercher la plus grande concentration possible : le maximum théorique étant 50 soit un sur deux.
On peut peut-être passer 40 avec bcp d'essais mais cela restera encore largement convergent.
En fait comme on ne tire que des suites convergentes, même la suite qui aurait disons plus de 40 étapes retomberait sur une valeur qui travers 1.
Tu pourrais publier un truc là-dessus. Et tu appellerais cela 'la conjecture de Syracuse'.
Et peut-être que dans un siècle, il y aurait encore des gens qui chercheraient à démontrer si oui ou non, il y a des contre-exemples à cette conjecture.
Concernant le diagramme en (ou à) barres représentant la répartition du nombre de termes impairs, je te propose le même ci-dessous. Pour l'obtenir j'ai recherché toutes les suites compressées de longueur 28 et ensuite compté dans combien d'entre elles figuraient 3, 4, 5, ... termes impairs. Tu peux voir que la répartition est la même.
Si tu crées un grand nombre de suites et que tu calcules leur longueur moyenne, en comptant le nombre de termes impairs dans chacune des suites de cette longueur-là tu obtiendras exactement la même répartition. C'est comme ça qu'il faut interpréter ce diagramme.
PS : si tu comptais le nombre de termes pairs au lieu des termes impairs, tu obtiendrais le même diagramme.
ce n'est pas si simple que ça, à mon humble avis. Si on pointe du doigt une impossibilité matérielle de réaliser quelque chose, pourquoi envisager théoriquement qu'on peut le faire ?
Est-ce que je peux tirer 100 fois pile de suite ? Il y une chance sur 1 million d'arriver à 20, une chance sur mille milliards d'arriver à 40...
Comment garantir qu'une expérience y arrivera ? Est-ce vraiment possible ?
Mais pour la conjecture c'est encore pire que le pile ou face. On a fait tous les calculs possibles depuis des années. OK les entiers sont infinis, mais ils sont aussi infiniment pareils... On a quand même touché du doigt sur ce fil deux ou trois trucs qui montrent une structure globale et un comportement collectif (les clusters, le graphe).
Je pense que pour tout impair il en existe un autre, plus petit ou plus grand, qui a une étape impaire de moins et au moins une étape paire de moins. Et que pour une même liaison, on va mettre une infinité d'entiers dedans. L'ensemble des entiers entre dans l'ensemble des clusters, l'ensemble des liaisons est entièrement connecté, il n'y a pas un sommet non relié à un autre. Je n'ai peut-être rien démontré mais c'est comme ça que ça marche.
Tu conjectures que bla bla...
Moi aussi, je pense que bla bla
Collatz lui-même pensait la même chose. Lui aussi était convaincu que pour tout entier, on arrivait à 1. Donc quand tu dis que toi aussi, tu es convaincu que tout entier arrive à 1, tu ne fais que répéter l'énoncé du problème. Tu ne donnes pas la solution, tu recopies l'énoncé.
Regarde cette vidéo : video
il faut tenir compte des observations. Que nous en expliquions ou pas la raison, les entiers dans les suites de Syracuse ont un comportement particulier et il y a bcp d'autres choses notables que la convergence vers 1, qui est d'ailleurs une FORTE convergence.
Ah ?? et pourquoi pas une SOLIDE convergence, ou une ROBUSTE convergence ?
Tu peux ajouter des adjectifs pour faire pompeux, ce n'est pas ça qui va prouver la conjecture.
video sympa pour une première découverte, mais qui n'apporte pas bcp d'info hormis pour J.H. Conway et la possibilité qu'il existerait une suite dont il serait impossible de savoir la longueur sans prouver qu'elle serait non plus interminable.
Il y a un énorme problème (pour des gens comme moi) sur cet aspect divergent (ou pseudo-divergent dans l'esprit de Conway). On ne peut pas en faire l'expérience, ni aujourd'hui ni dans le futur, tout en se disant que c'est théoriquement possible. J'ai déjà dit que si cette suite existe, tous les entiers qui en sont les termes sont eux-mêmes divergents... si cette suite est infinie (il faut qu'elle le soit), on a de fait deux infinité d'entiers : ceux qui convergent et ceux qui divergent.
C'est franchement illogique. L'ensemble des entiers ne peut pas obéir à deux logiques différentes.
Parfait, très bien. 99% des mathématiciens sont comme toi, (et moi aussi). On est tous convaincus que tous les nombres aboutissent à 1.
Mais le fait d'être convaincu, ça ne prouve rien.
Une preuve mathématique, une démonstration, ça obéit à certaines règles. Et parmi tous les messages qu'on a pu échanger, il n'y a rien qui constitue le début d'une piste pour une démonstration.
Collatz lui-même, quand il a partagé ses réflexions, il a beaucoup cogité sur la question, il a dit qu'il était convaincu que tous les nombres aboutissaient à 1, mais il était parfaitement conscient que toutes ses convictions, ça ne constituait pas une démonstration.
L'ensemble des entiers ne peut pas obéir à deux logiques différentes : qui parle de 2 logiques différentes ?
Regardons la suite définie par f(x) = x/2 si x est pair, et f(x)=2x sinon.
Certains entiers repassent par le point de départ, et d'autres ne repassent pas par le point de départ. ... On a bien 2 logiques différentes.
On dirait les discussions de la première des 15 pages de ce très long fil. Toujours cette incompréhension de la très grande diversité des entiers, cette croyance que ce qui est vrai pour quelques cas est obligatoirement vrai pour tous les cas ("L'ensemble des entiers ne peut pas obéir à deux logiques différentes").
15 pages pour rien ...
tu rigoles là ? quelques cas !???
On pourrait fixer une limite supérieure comme avec la méthode du cercle.
Dans mon exemple on pourrait voir un rapprochement avec les p-adiques ou bien de [large]C[/large]ollatz avec une conjecture des équations diophantiennes pour apporter quelque chose.
[Pierre de Fermat (1601-1665) et Lothar Collatz (1910-1990) prennent toujours une majuscule. AD]
Mais je comprends ton point sur la démonstration. Je ne conteste pas sur ce point.
Il y aura toujours un souci avec cette démonstration parce que l'on ne peut pas expérimenter un n divergent avec les suites de Collatz. Cette non-existence pratique est un sérieux problème parce qu'on ne peut même pas donner un modèle à ce nombre, lui donner une propriété. Donc on suppute quand même dans le vide.
D'ailleurs on est plutôt à dire que "La conjecture est "presque" vraie pour "presque" tous les entiers."
PMF, tu es tellement content de ce que tu fais que tu ne te rends pas compte à quel point tu es loin des maths, des preuves. On pourrait croire que tu n'as jamais essayé de compter "jusqu'au bout", que tu ne conçoit pas que les nombres que tu utilises sont des "tout petits entiers". On peut, avec des logiciels courants, calculer avec des nombres 10^100 fois plus grands que tes plus grands nombres, ou même encore 10^100 fois plus grands (ça ne fait encore que des nombres à 220 chiffres maximum, alors qu'il n'y a besoin d'aucune intelligence pour comprendre qu'il y a des nombres avec autant de chiffres qu'on veut, avec des nombres de chiffres tellement grands qu'on est incapable de les écrire.
C'est le domaine des matheux, plus des expérimentateurs sur tableur. Manifestement, tu n'es pazs capabnle de comprendre cette réflexion accessible à un collégien ...
Au fait, je t'ai dit ça dans la première des 15 pages, tu m'as répondu que tu ne cherchais pas la preuve ... Maintenant, tu commences à croire que tes petits calculs ont prouvé !! L'illusion du convaincu ("c'est mon avis et je le partage")
Tu peux penser ce que tu veux de moi, mais ne dis pas de contre-vérités, ç'est pas dans l'esprit des maths.
Je ne prétends pas démontrer quoi que ce soit. L'idée est de faire des expériences, et d'observer ce qui se passe avec cette conjecture. Dans une rubrique comme le shtam, je dirais : "why not ?" Et recourir à des logiciels qui peuvent faire des visualisations particulières comme RStudio n'est pas non plus une infamie mathématique. C'est juste un problème d'ouverture d'esprit.
Je rappelle aussi que certains des tests sur ce fil ont été faits sur Python avec des nombres "assez grands". Mon modèle SXF dit que l'on peut prévoir que l'entier calculable par "print(4**10000*203+(2**(10000*2)-1)//3)" est dans le cluster 12_20023_5_20039.... cad que ce nombre a un temps de vol de 20.039... avant d'arriver à 1 en passant par 5 avec 12 étapes impaires et 20023 étapes paires... Et donnant une valeur k encore plus grande, on pourrait donner un n franchement grand, dont la suite n'est pas forcément calculable ni d'ailleurs calculée à ce jour,
Enfin si on cherche à mettre une structure en évidence, cela ne sert à pas grand chose d'aller chercher les grands nombres. Le graphe qui montre les connections $i(n),p(n)$ est tout autant intéressant à étudier que s'il avait été bâti avec des entiers plus grands. On se doute que sa structure va se déployer. On peut déjà essayer de comprendre ce qui se passe à cette échelle.
tu n'as pas prétendu résoudre la conjecture, tu as seulement affirmé qu'elle ne peut pas être fausse, avec l'argument idiot "OK les entiers sont infinis, mais ils sont aussi infiniment pareils..."
Et toujours ta croyance que ce que tu as vu sur le tout petits nombres (celui dont tu parles est aussi un tout petit nombre; tout nombre est un tout petit nombre puisqu'il y a des nombres qui ont 10 fois, 100 fois plus de chiffres) est général : On a quand même touché du doigt sur ce fil deux ou trois trucs qui montrent une structure globale et un comportement collectif (les clusters, le graphe).
Mais il n'y a pire sourd que celui qui ne veut pas entendre ...
Allez, continue à faire tes châteaux de sable sur la plage ...
Est-ce que dans les 15 pages de cette discussion, il y aurait des informations utiles et pas reprises dans cette vidéo ?
Est-ce que ça vaut le coup de contacter l'auteur de cette vidéo, pour lui soumettre ces informations ?
Est-ce que tu ne confondrais pas mathématiques et mathématisme ?
Les entiers se répartissent dans des clusters $i(n),p(n), D(n)$. On peut associer à un $i(n)$ un $(p(n)$ aussi grand que l'on veut : $p(n)= p(n)_{min}+2k$ et connaitre la valeur d'un $n$ qui fera partie de ce cluster : $\large 4^k*n_{seed}+\frac{2^{2k}-1}{3}$
Il existe 2 valeurs minimales $p(n)$ pour tout $i(n)$ (une paire et une impaire), et les $n_{seed}$ sont les minorants de ces deux clusters.
Par exemple pour $i(n)=12, D(n)=5$ 105 et 203 sont les $n_{seed}$ pour les $p(n)_{min}$ 22 et 23. De nombreuses vérifications ont été faites sous Python (script de Raoul.S) avec des k "assez grands". Les $n_{seed}$ ont été calculés pour 140 premiers $i(n)$ et cette liste est très facilement extensible.
On rappelle aussi qu'un cluster contient un ou plusieurs membres. Par exemple le cluster $28, 58, 5$ contient 1028 membres. On a aussi vu que les membres d'un cluster ont des valeurs proches (lourran ayant d'ailleurs proposé un facteur)
Le modèle a donc un avantage évident : k pouvant être aussi grand que l'on veut, on peut proposer un nombre qui dépassera largement les limites des suites calculées à ce jour. Et ce n, même si aucun ordinateur ne pourra en calculer la suite, existe et on en connait exactement le cluster $i(n),p(n), D(n)$. Donc on peut fabriquer une quasi-infinité de ces n infiniment grands en jouant sur k et en cherchant des $n_{seed}$ pour des $i(n)$ de plus en plus grands.
On peut donc définir des n aussi grands que l'on veut et être surs qu'ils convergent, et ce avec des informations précises sur leur chemin puisque l'on connait leurs clusters. Et on sait que ces n aussi grands que l'on veut sont "entourés" par d'autres n de valeur proche dans leur cluster, et qu'il y en a certainement un très grand nombre.
L'infinité des entiers est donc infiniment peuplée de n convergents. Si quelqu'un donne la démonstration de ce modèle, cette affirmation sera vraie. J'anticipe aussi qu'il n'y aura pas de "trous" dans cette infinité qui feraient place à des n divergents, c'est-à-dire que l'ensemble des clusters recoupera toujours l'ensemble des entiers. Mais ce point est surement plus difficile à démontrer.
1ère partie : Si quelqu'un donne la démonstration de ce modèle, cette affirmation sera vraie.
Cette démonstration est évidente, basique. 4 lignes.
2ème partie : Mais ce point est surement plus difficile à démontrer.
Et là, on passe sur un 2ème point, mais pour lequel on n'a pas le moindre début de piste, et aucun mathématicien au monde n'a le moindre début de piste.
Dans ta phrase, les 2 points sont quasiment mis sur le même niveau... alors qu'il y a un monde entre ces 2 étapes. Une est évidente, et l'autre est 'insoluble'.
Jouer à faire des chateaux de sable, tant qu'on est conscient qu'on s'amuse, ça ne pose pas problème (j'y joue beaucoup avec toi). Ce qui pose problème, c'est quand on croit qu'on fait des maths ou qu'on fait de la recherche sur la conjecture de Syracuse.
il faut partir du 1er point, c'est la base, et tenter de construire le maillage complet, c'est le but.
1er point : on peut connaitre au moins un membre d'un cluster où qu'il soit dans l'infinité des entiers. Si tu dis que c'est facilement démontrable tant mieux. On a la base.
2ème point : il est facile d'observer les clusters dans les "petits nombres" et cela donne une idée de la manière dont ils constituent leur maillage, puisque chaque entier est un point de ce maillage. Il manque la ou les formules pour déterminer plus de membres de ces clusters. C'est ça le début de piste, il faut trouver d'autres formules.
En tous cas un point est sûr pour les mathématiques : il n'y a nulle part dans les entiers où on ne pourrait pas trouver un membre d'un cluster, donc un n convergeant. Et quand on trouve un membre il y en a d'autres dans son voisinage. Ce qui complique forcément l'existence du n divergeant qui n'a pas si on veut un domaine réservé.
Tu répètes donc ce que disait Collatz : je pense que pour tout entier de départ, la suite aboutit à 1, mais je n'ai pas le début d'une démonstration.
Il y a donc une infinité d'entiers convergents mais qui ne recoupe pas tous les entiers. C'est une démonstration partielle certes, mais le point est à la convergence : on peut définir un n toujours convergent mais on ne sait le faire pour un n divergeant.
Tu dis que la formule permet de règler le cas d'une infinité d'entier. Oui. à partir d'un entier impair, on sait 'propager' cet entier à une infinité d'entiers.
A partir de plein d'entiers, on répète cette opération de 'propagation', et on couvre plein d'entiers.
Pour info, tous les entiers en question on tous un certain point commun, et avec cette méthode, on atteint au mieux la moitié des entiers impairs.
Mais peu importe.
Admettons qu'avec cette méthode, on couvre non pas 49% des entiers mais 99.999% des entiers impairs. Admettons. Hypothèse totalement optimiste.
99.999%, ce n'est pas 100%
Même si on atteignait 99.999%, alors on en serait toujours au point de départ.
L'objectif, ce n'est pas de démontrer que pour 99.999% des entiers, on aboutit vers 1. Ce résultat là, il est acquis depuis des décennies.
L'objectif, c'est de démontrer que pour 100% des entiers, on aboutit vers 1.
Et là, ni toi ni moi, nous n'avons de piste.
Réfléchissons un peu et retournons le problème. Nous avons la conviction qu'il existerait une possibilité qu'un entier pourrait ne pas revenir à 1. Pourquoi? Parce que la suite peut passer par des valeurs supérieures à celle de départ. Et que le vol prend de la l'altitude, et qu'il monte, et qu'il monte encore. Et cela nous impressionne. Et on en fait des records de vol en altitude. Oh la la ! il est monté bien haut celui-là... Et on finit par croire qu'il y en a un qui va bien finir par ne pas redescendre !
C'est une illusion. L'illusion de la divergence. Pour n'importe quel $n$ qui s'envole, il existe toujours un $n'$ quelques étapes plus loin qui sera plus petit que lui. Tout le problème de la conjecture est peut-être de ne pas chercher au bon endroit. De se focaliser sur 1. J'ai déjà dit que ce n'était pas 1 qui était important mais le $D(n)$ dont l'étape suivante est une puissance de 2, le sésame du retour vers 1. Cela permet déjà de voir les choses autrement mais ce n'est pas suffisant face à cette illusion.
Il faut mettre en brèche l'illusion de la divergence. On voit dans les graphes qui utilisent le couple $i(n),p(n)$ - qui a l'avantage de masquer la valeur de n - qu'il n'y a qu'une pente vers $1,0$ et qu'elle est juste plus ou moins longue, qu'elle passe juste parfois par des itinéraires rares au lieu des grandes autoroutes que la majorité des chemins choisissent de prendre.
Il y a donc plusieurs choses à faire s'il on veut démontrer que la divergence est une illusion.
a) Dans le graphe des $i(n),p(n)$ on peut montrer qu'il a toujours pour un $i(n),p(n)$ un autre sommet pour le connecter en direction de $1,0$.
b) Dans les chemins des étapes impaires, on montre que pour tout $n$ il existe un $n'$ plus petit que lui quelques étapes plus loin.
Ma vision est que $n$ ne diverge jamais même quand il fait semblant de s'envoler. Je pense qu'il suit simplement son chemin vers 1 et que cela n'a aucune importance si les étapes de ce chemin passent par des valeurs supérieures un certain nombre de fois.
On note $\large i_{x}<i_{0}$ où $i_0$ est l'impair de départ d'une séquence qui aboutit à un $i_x$ plus petit et $x$ le nombre détapes de cette séquence. Il faut arriver à montrer qu'il y a toujours une solution en $x$ étapes. L'intérêt est que c'est bcp plus local que l'ensemble du vol. On ne parle plus de la convergence vers 1 mais du fait que si $\large i_{x}<i_{0}$ alors aucune divergence n'est possible.
L'avantage du dernier impair par rapport à 1, il est infiniment petit, il n'existe pas. Pourquoi le dernier impair, plutôt que l'avant-dernier ?
C'est ridicule.
Dans le graphe des i(n),p(n) etc etc ....
Dans ce graphe, tu peux trouver toutes les relations du monde , tu peux faire plein de traitements, ça te permettra de dire : Les nombres pour lesquels on sait calculer i(n) et p(n) sont comme-ci et comme-ça
Tu peux montrer que ton $i_x< i_0$ (je ne sais pas ce que ça représente, mais peu importe), ça te dira que les entiers pour lesquels on sait calculer i(n) et p(n) convergent vers 1. Admettons.
Et alors ? Est-ce qu'on sera plus avancé ?
Non !
Si tu sais calculer i(n) et p(n) pour un entier, c'est qu'il converge vers 1. Déjà, avant de commencer, tu t'intéresses uniquement aux entiers qui convergent, et tu cherches à montrer qu'ils convergent. C'est ridicule.
Par construction, les entiers qui sont dans des clusters , ils convergent. Ils convergent vers 1 ou vers D(n) ... peu importe !
Puisque tu veux absolument ramener ça à des i(n) et des p(n), la question, c'est : y-a-t-il des entiers pour lesquels on ne peut pas calculer i(n) et p(n).
Je te repose la question.
Tu disais que la video était une petite introduction gentille.
Est-ce qu'il y a dans cette discussion des résultats utiles qui devraient être repris dans cette video ?
Tu oublies le problème des cycles également. Il se peut qu'il existe un cycle non trivial : ton nombre de départ revient sur lui-même au bout d'un certain nombre d'étapes.
Il y a plusieurs mois j'avais posté l'image ci-dessous pour illustrer le fait qu'il ne peut pas exister de cycle autre que le cycle trivial.
En vertu du fait que l'algorithme de Collatz est déterministe, $p_r$ (impair) ne peut pas être le prédécesseur d'un autre terme impair que $n_1$. Pourtant, certains prétendent que pour une raison inconnue, après être passée par $n_2$ puis $n_3$ la suite retournerait soudainement en $n_1$ au lieu de continuer en $n_4$ !!!
Cette situation est impossible pour la raison que je répète : $p_r$ n'est pas le prédécesseur de $n_3$ mais de $n_1$, donc $n_3$ ne peut en aucun cas figurer après $p_r$.
Je suis tout à fait d'accord, mais ce n'est pas de cette situation à laquelle on pense lorsque l'on parle de cycle...
Alors on pense à quoi ?
Voir cet article pour plus de détails http://images.math.cnrs.fr/Le-probleme-3n-1-y-a-t-il-des-cycles-non-triviaux-III
Comme blague, c'est excellent.
Comme explication, ou démonstration, c'est risible.
la communauté mathématique n'est pas au courant de ta découverte.
La question de savoir s'il y a des cycles dans cette conjecture de Syracuse est toujours d'actualité.
On sait que s'il y a des cycles, (autres que le cycle trivial) alors ces cycles comporteront au moins 17 Milliards de nombres.
Mais c'est tout.
Personne ne sait à ce jour s'il y a des cycles autres que le cycle (1,4,2).
Prédécesseur : $n_{i-1}=(2^u\,n_i-1)/3\,$ avec $u_{min}=3-n_i\, \bmod 3$.
$n_i=1 \to u_{min}=2 \to n_{i-1}=(2^2 \cdot 1-1)/3=1$
Successeur : $n_{i+1}=(3\,n_i+1)/2^u$
$n_i=1 \to n_{i+1}=(3 \cdot 1+1)/2^2=1$
A l'origine du cycle trivial il y a le fait que 1 est à la fois son propre prédécesseur et propre successeur. Comme il ne partage cette propriété avec aucun autre entier naturel impair, aucun autre cycle ne peut se former.
Ceux qui prétendent le contraire oublient (ou ne connaissent pas) cette propriété particulière de 1.
Bien sûr, on peut évoquer le cas où il existerait un cycle plus long que le cycle trivial. Mais là on retombe sur le schéma que j'ai posté plus haut, et la question est : comment $n_3$ ou tout autre terme venant après $n_1$ pourrait-il devenir le successeur de $p$ ? Peut-on démontrer que c'est possible ?