Conjecture de M. Hoffman
dans Shtam
Bonjour à tous
Où puis-je trouver un cours détaillé sur la conjecture suivante, dite conjecture de M. Hoffman.
- Pour $ k $, $ s_1 , \dots , s_k $ sont des entiers positifs avec, $ s_1 \geq 2 $, on pose, $ \underline{s} = (s_1 , \dots , s_k ) $ et $$
\xi ( \underline{s} ) = \displaystyle \sum_{ n_{1} > n_{2} > \dots > n_{k} \geq 1 } \dfrac{1}{ n_{1}^{s_{1}} \dots n_{k}^{s_{k}} } .
$$ Soit $ \mathcal{Z}_p $ le $ \mathbb{Q} $-sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R} $ engendré par les nombres $ \xi ( \underline{s} ) $ pour $ \underline{s} = (s_1 , \dots , s_k ) $ de poids $ s_1 + \dots + s_k = p $, avec, $ \mathcal{Z}_0 = \mathbb{Q} $ et $ \mathcal{Z}_1 = \{ 0 \} $.
Conjecture de M. Hoffman.
Une base de $ \mathcal{Z}_p $ sur $ \mathbb{Q} $ est donnée par les nombres $ \xi ( s_1 , \dots , s_k ) $, où $ s_1 + \dots + s_k = p $, où chacun des $ s_i $ est soit $ 2 $ soit $ 3 $.
Merci d'avance pour votre aide.
Où puis-je trouver un cours détaillé sur la conjecture suivante, dite conjecture de M. Hoffman.
- Pour $ k $, $ s_1 , \dots , s_k $ sont des entiers positifs avec, $ s_1 \geq 2 $, on pose, $ \underline{s} = (s_1 , \dots , s_k ) $ et $$
\xi ( \underline{s} ) = \displaystyle \sum_{ n_{1} > n_{2} > \dots > n_{k} \geq 1 } \dfrac{1}{ n_{1}^{s_{1}} \dots n_{k}^{s_{k}} } .
$$ Soit $ \mathcal{Z}_p $ le $ \mathbb{Q} $-sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R} $ engendré par les nombres $ \xi ( \underline{s} ) $ pour $ \underline{s} = (s_1 , \dots , s_k ) $ de poids $ s_1 + \dots + s_k = p $, avec, $ \mathcal{Z}_0 = \mathbb{Q} $ et $ \mathcal{Z}_1 = \{ 0 \} $.
Conjecture de M. Hoffman.
Une base de $ \mathcal{Z}_p $ sur $ \mathbb{Q} $ est donnée par les nombres $ \xi ( s_1 , \dots , s_k ) $, où $ s_1 + \dots + s_k = p $, où chacun des $ s_i $ est soit $ 2 $ soit $ 3 $.
Merci d'avance pour votre aide.
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Réponses
J'ai comme l'impression qu'il y a équivalence entre la définition et la conjecture, ou bien qu'il suffit de dire qu'on peut exprimer tout nombre $p$ comme somme de $2$ et de $3$.
Si tu comprends mieux, fais moi signe.
Cordialement
Désolé du retard. ;-)
Non, il n y a pas d'équivalence entre la définition et la conjecture.
Par définition, $ \mathcal{Z}_p = \mathbb{Q} \langle L \rangle $ est le $ \mathbb{Q} $ - sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R} $ engendré par le système $ L $ des générateurs qui sont les nombres $ \xi ( \underline{s} ) $ pour
$ \underline{s} = (s_1 , \dots , s_k ) $ de poids $ s_1 + \dots + s_k = p $.
Soit, $ M \subset \mathcal{Z}_p $ formé par les nombres $ \xi ( s_1 , \dots , s_k ) $, où $ s_1 + \dots + s_k = p $, où chacun des $ s_i $ est soit $ 2 $ soit $ 3 $.
Pour montrer que, $ M $ est une $ \mathbb{Q} $ - base de $ \mathcal{Z}_p $, il faut montrer les deux choses suivantes,
- $ \mathbb{Q} \langle M \rangle = \mathbb{Q} \langle L \rangle $.
- $ M $ est $ \mathbb{Q} $ - libre.
Cordialement.
n_{1} > n_{2} > \dots > n_{k} \geq 1 } \dfrac{1}{
n_{1}^{s_{1}} \dots n_{k}^{s_{k}} } .
$$ Tu sommes comment ici ?
$ \mathcal{Z}_p = \mathbb{Q}\langle L \rangle $ est le $ \mathbb{Q} $ -sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R} $ engendrépar le système $ L $ des générateurs qui sont les nombres $ \xi ( \underline{s} ) $ pour $ \underline{s} = (s_1 , \dots , s_k ) $ de poids $ s_1 + \dots + s_k = p $.
Soit, $ M \subset \mathcal{Z}_p $ formé par lesnombres $ \xi ( s'_1 , \dots , s'_k ) $, où $ s'_1 + \dots + s'_k = p $, où chacun des $ s'_i $ est soit $ 2 $ soit $ 3 $
Pour moi, il suffit de remarquer que : $$
\dfrac{1}{
n_{1}^{s_{1}} \dots n_{k}^{s_{k}}} = \dfrac{n_{1}^{s'_{1}} \dots n_{k}^{s'_{k}}}{ n_{1}^{s_{1}} \dots n_{k}^{s_{k}}} \dfrac{1}{n_{1}^{s'_{1}} \dots n_{k}^{s'_{k}}},
$$ puisque $\dfrac{n_{1}^{s'_{1}} \dots n_{k}^{s'_{k}}}{ n_{1}^{s_{1}} \dots n_{k}^{s_{k}}}\,\in\,\mathbb{Q}$.