Trisection d'un angle
dans Shtam
Bonjour,
Je suis nouveau sur ce forum.
Je crois avoir trouvé une méthode pour diviser un angle par 3.
Mais je sais aussi qu'il a été démontré que c'était impossible.
Qu'en pensez-vous ?
Quelqu'un peut-il me dire où est l’erreur ?
1) Traçons la bissectrice OZ.
Traçons les cercles C1, C2, C3, de centre O et de rayons respectifs r, 2r, 3r (La valeur de r est arbitraire et quelconque).
Construisons EF identique à A B : même rayon = r, même longueur (NE et NF = MA).
Traçons OE et OF qui coupent C3 en G et H.
2) GH apparait comme une "projection" de EF sur C3.
Posons le postulat suivant : les arcs GH et EF ont la même longueur (même si on ne sait pas les mesurer).
3) En comparant les circonférences des cercles C1 (2 $\pi$ r) et C3 (2 $\pi$ 3r) nous en déduisons que l’arc KL est égal à 3 fois l’arc AB.
Donc GH, égal à EF et à AB, est le 1/3 de KL.
En raison de la symétrie de la construction par rapport à OZ, les arcs KG et HL sont égaux et valent chacun 1/3 de KL
Il en résulte que KG = GH =HL et que, par conséquent :
Les angles KOG, GOH , HOL sont égaux.
4) Le problème étant supposé résolu, quand GOH = $\alpha$ , AOB = 3 $\alpha$
Calculons les valeurs des arcs :
AB = EF = 2 $\pi$ r.3 $\alpha$ /360 GH = 2 $\pi$ 3r. $\alpha$ /360. Il y a bien égalité.
DIVISION D’UN ANGLE PAR n
Traçons les cercles C jusqu’au rang n, qui aura pour rayon nr.
Construisons les arcs EF et GH comme précédemment, au niveau de Cn.
Dans ce cas, l’arc KL est égal à n fois AB et GH.
Reportons cette longueur n fois sur Cn et relions O aux points obtenus.
Nous avons n angles égaux.
n peut prendre n’importe quelle valeur, sans limite théorique.
EDIT: mise en forme des caractères
Je suis nouveau sur ce forum.
Je crois avoir trouvé une méthode pour diviser un angle par 3.
Mais je sais aussi qu'il a été démontré que c'était impossible.
Qu'en pensez-vous ?
Quelqu'un peut-il me dire où est l’erreur ?
1) Traçons la bissectrice OZ.
Traçons les cercles C1, C2, C3, de centre O et de rayons respectifs r, 2r, 3r (La valeur de r est arbitraire et quelconque).
Construisons EF identique à A B : même rayon = r, même longueur (NE et NF = MA).
Traçons OE et OF qui coupent C3 en G et H.
2) GH apparait comme une "projection" de EF sur C3.
Posons le postulat suivant : les arcs GH et EF ont la même longueur (même si on ne sait pas les mesurer).
3) En comparant les circonférences des cercles C1 (2 $\pi$ r) et C3 (2 $\pi$ 3r) nous en déduisons que l’arc KL est égal à 3 fois l’arc AB.
Donc GH, égal à EF et à AB, est le 1/3 de KL.
En raison de la symétrie de la construction par rapport à OZ, les arcs KG et HL sont égaux et valent chacun 1/3 de KL
Il en résulte que KG = GH =HL et que, par conséquent :
Les angles KOG, GOH , HOL sont égaux.
4) Le problème étant supposé résolu, quand GOH = $\alpha$ , AOB = 3 $\alpha$
Calculons les valeurs des arcs :
AB = EF = 2 $\pi$ r.3 $\alpha$ /360 GH = 2 $\pi$ 3r. $\alpha$ /360. Il y a bien égalité.
DIVISION D’UN ANGLE PAR n
Traçons les cercles C jusqu’au rang n, qui aura pour rayon nr.
Construisons les arcs EF et GH comme précédemment, au niveau de Cn.
Dans ce cas, l’arc KL est égal à n fois AB et GH.
Reportons cette longueur n fois sur Cn et relions O aux points obtenus.
Nous avons n angles égaux.
n peut prendre n’importe quelle valeur, sans limite théorique.
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Réponses
En 2) vous postulez que les arcs EF et GH ont meme longueur.
En 3) vous tirez (correctement) les conclusions du postulat, et vous arrivez à quelque chose qui est reconnu comme faux.
Donc, l'erreur s'il y en a une, est dans le postulat.
Et une petite figure pour ceux qui en douteraient encore !
Mais je me permettrais de dire quand même "Nice try", au vu du résultat assez bien approché ...
Plus fondamentalement, comme le pointe i.zitoussi, l'erreur est dans le "postulat", car une translation n'est pas une homothétie ...
Bien cordialement
JLB
Il me semble qu'il suffit d'ouvrir outrageusement l'angle XOY pour voir que cela ne fonctionne pas.
https://books.google.fr/books/about/La_trisection_vaincue.html?id=KkCQnQEACAAJ&redir_esc=y