Résolution par radicaux de $x^5 - x - 1 = 0$

Autre possibilité: essayer tous les nombres algébriques dans [-2,2], et de degré au plus 3, jusqu'à ce que ça hit, ou pas.

$P$ et $Q$ n'ont pas de racine commune. Wolframalpha permet de calculer le PGCD avec la commande polynomialgcd, et trouve que le PGCD vaut 1.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=polynomialgcd(x^5-x-1,x^3+8*x^2+4*x+2)

Ça matche ?

http://originedesmots.blogspot.com/2015/04/ca-matche.html?m=1

Z/23Z ?

$\Z/857\Z$

Tu peux en conclure que tu t'es trompé quelque part

Bonsoir,

$Resultant(P,Q)=19711\neq 0$.

Cordialement,

Rescassol

Edit: Erreur de saisie, merci Claude Quitte.

En fait, vu que je ne vois pas mon erreur, est-ce que le calcul du pgcd voit les facteurs ''irrationnels'' ?

$\def\F{\mathbb F}\def\S{\mathfrak S}$Ce que l'on voit parfois sur le forum est absolument sidérant. Faut-il rappeler qu'il y a un gars de nom Sylvester (ce n'est pas un utilisateur du forum, il a vécu entre 1814 et 1897) qui à partir de $P,Q$ a construit une matrice carrée $S = S(P,Q)$ qui porte son nom

[color=#000000]> P := X^5 - X - 1 ;
> Q := X^3 + 8*X^2 + 4*X + 2 ;
> S := SylvesterMatrix(P,Q) ;
> S ;
[ 1  0  0  0 -1 -1  0  0]
[ 0  1  0  0  0 -1 -1  0]
[ 0  0  1  0  0  0 -1 -1]
[ 1  8  4  2  0  0  0  0]
[ 0  1  8  4  2  0  0  0]
[ 0  0  1  8  4  2  0  0]
[ 0  0  0  1  8  4  2  0]
[ 0  0  0  0  1  8  4  2]
> 
> r := Determinant(S) ;
> r ;
19711
> r eq 23 * 857 ;
true
[/color]

A partir de sa matrice $S$, il a construit deux polynômes $U,V$ tels que $\det(S) = UP + VQ$. Mais diable, comment a-t-il fait ?

[color=#000000]> U ;
3825*X^2 + 27225*X - 11041
> V ;
-3825*X^4 + 3375*X^3 - 659*X^2 - 578*X + 4335
> 
> U*P + V*Q ;
19711
[/color]

Si bien qu'une racine commune de $P,Q$ ``quelque part'' est une racine du polynôme constant $23 \times 857$ c.a.d. dans ce quelque part, on a $23 \times 857 = 0$. Par exemple dans les corps finis $\F_{23}$, $\F_{857}$, comme écrit par JLT et Gai-Requin. Mais certainement pas dans $\C$.

J'attache 2 pages extraites de la thèse de Erwan Penchèvre ``Histoire de la théorie de l'élimination'' (Paris VII).

J'ajoute que sur $\Q$ le polynôme $X^5 - X -1$ est irréductible pour la bonne raison qu'il est irréductible modulo $3$. Est-il bon également de préciser que le pgcd de deux polynômes à coefficients dans un corps $K$ est à coefficients dans $K$ (un scoop).

Je termine, mais là on quitte l'algèbre linéaire élémentaire, en signalant que depuis Selmer, dans les années 1950, on sait que le polynôme $X^n - X - 1$ est irréductible sur $\Q$. Et enfin, on sait que le groupe de Galois de $X^n - X - 1$ sur $\Q$ est le groupe symétrique $\S_n$ tout entier. Je ne peux pas situer dans le temps, mais Serre en parle en bas de la page 42 de son Topics In Galois Theory in http://cm2vivi2002.free.fr/JPS-biblio/JPS-32.pdf.

Remarque : Comme le groupe de Galois est $\S_n$, c'est qu'il y a des premiers $p$ tels que $X^n - X - 1$ est irréductible modulo $p$. Et donc, en théorie, on pourrait montrer l'irréductibilité de ce polynôme modulo $p$ à condition de montrer qu'un tel $p$ existe (sans utiliser le résultat galoisien).

Bonjour.

Merci @raoul.S, en fait, j'avais omis une équation dans mon système d'équations (j'avais juste fait une méthode par identification) et j'avais pas vérifié avant de poster.
Mais je regrette pas de m’être trompé, car je m'y connais pas en théorie algébrique des nombres et appends avec le post de @Claude. Merci

Cordialement.

Poirot
Vu ... sauf que je disais cela sans conviction, cf le cas $n=257$.

La formule que tu donnes et que tu attribues à .. pour le discriminant de $P_n$ est fausse. Elle donne $23$ pour $X^3 - X - 1$ alors que le discriminant est $-23$. La formule, la bonne, pour le discriminant de $X^n + bX + c$ pour $n \ge 2$ est due à Swan, c'est celle que j'attache.

C'est le retour du grand guignol ! (:D

Quel que soit x ? Tu connais depuis la classe de première !! Applique !!

Bonjour,

Théorème:
Tout système équivalent à une équation non résoluble par radicaux est également non résoluble par radicaux.

Cordialement,

Rescassol

Tu te sors les doigts si tu veux convaincre :-S

Mais enfin, Dom, quelle question ! Pour ça, il faudrait qu'il fasse des mathématiques...

Bonjour.

Pablo, il me semble que l'on en avait discuté il y a quelques temps.

Le mieux, avant de faire cette annonce, est de :

1) établir les solutions pour les équations que je t'avais proposées (c'est un minimum de vérifier sur des exemples connus).
2) proposer discrètement ton approche pour avis.

À bientôt.

Pablo,
Tu n’as pas répondu à ma question. C’est un droit.
Je tente à nouveau : as-tu essayé de te procurer la démonstration qui prouve que c’est impossible ?

1) c’est ton marronnier… tu y tiens

2) familier avec la théorie de Galois ?
je n’en crois rien, tu sembles prouver le contraire à chaque message

3) comment être familier avec ça et réfuter un théorème qui met les pieds dedans ?
saurais-tu trouver une faille dans cette* preuve ?

*j’ignore s’il en existe plusieurs à vrai dire

NB : je ne suis pas familier du tout, moi.

4) résous donc l’équation de degré 5 proposé !