Résolution par radicaux de $x^5 - x - 1 = 0$
dans Shtam
Bonsoir à tous
Comment savoir si $ P(x) = x^5 - x - 1 $ et $ Q(x) = x^3 + 8 x^2 + 4 x + 2 $ ont un facteur en commun, de premier degré ?
J'ai trouvé que, une des racines du polynôme $ Q $ est une racine du polynôme $ P $. Or, je ne peux pas calculer explicitement et manipuler les racines de $ Q $, parce qu'elles sont très compliquées et robustes (voir ici : https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x^3+++8+x^2+++4+x+++2+=+0 ). Comment alors, vérifier que l'une des racines de $ Q $ est une racine de $ P $ ?
Merci pour votre aide.
Comment savoir si $ P(x) = x^5 - x - 1 $ et $ Q(x) = x^3 + 8 x^2 + 4 x + 2 $ ont un facteur en commun, de premier degré ?
J'ai trouvé que, une des racines du polynôme $ Q $ est une racine du polynôme $ P $. Or, je ne peux pas calculer explicitement et manipuler les racines de $ Q $, parce qu'elles sont très compliquées et robustes (voir ici : https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x^3+++8+x^2+++4+x+++2+=+0 ). Comment alors, vérifier que l'une des racines de $ Q $ est une racine de $ P $ ?
Merci pour votre aide.
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Réponses
https://www.wolframalpha.com/input/?i=polynomialgcd(x^5-x-1,x^3+8*x^2+4*x+2)
http://originedesmots.blogspot.com/2015/04/ca-matche.html?m=1
Existe-t-il un autre corps de caractéristique différente de $23$ où $P$ et $Q$ ont une racine commune ?
Après quelques calculs élémentaires, je trouve que $P$ et $Q$ ont une racine commune dans l'intervalle $\Big[- \dfrac{4096}{545}; - \dfrac{2048}{273}\Big]$.
Que faut-il en conclure plus clairement ?
$Resultant(P,Q)=19711\neq 0$.
Cordialement,
Rescassol
Edit: Erreur de saisie, merci Claude Quitte.
C'est encore pire que ça : ils n'ont pas de racine commune tout court. Pour le voir lis les messages précédents : les autres ont déjà montré que le résultant est non nul => par de facteur commun. Ils ont aussi montré que le pgcd de P et Q vaut 1 => pas de facteur commun.
Bref il n'y a pas de facteur commun et donc pas de racine commune.
Si tu postes tes calculs élémentaires peut-être que quelqu'un trouvera l'erreur.
J'attache 2 pages extraites de la thèse de Erwan Penchèvre ``Histoire de la théorie de l'élimination'' (Paris VII).
J'ajoute que sur $\Q$ le polynôme $X^5 - X -1$ est irréductible pour la bonne raison qu'il est irréductible modulo $3$. Est-il bon également de préciser que le pgcd de deux polynômes à coefficients dans un corps $K$ est à coefficients dans $K$ (un scoop).
Je termine, mais là on quitte l'algèbre linéaire élémentaire, en signalant que depuis Selmer, dans les années 1950, on sait que le polynôme $X^n - X - 1$ est irréductible sur $\Q$. Et enfin, on sait que le groupe de Galois de $X^n - X - 1$ sur $\Q$ est le groupe symétrique $\S_n$ tout entier. Je ne peux pas situer dans le temps, mais Serre en parle en bas de la page 42 de son Topics In Galois Theory in http://cm2vivi2002.free.fr/JPS-biblio/JPS-32.pdf.
Remarque : Comme le groupe de Galois est $\S_n$, c'est qu'il y a des premiers $p$ tels que $X^n - X - 1$ est irréductible modulo $p$. Et donc, en théorie, on pourrait montrer l'irréductibilité de ce polynôme modulo $p$ à condition de montrer qu'un tel $p$ existe (sans utiliser le résultat galoisien).
Merci Claude, j'ai corrigé mon message, j'avais pris $X^5-X+1$.
Cordialement,
Rescassol
Merci @raoul.S, en fait, j'avais omis une équation dans mon système d'équations (j'avais juste fait une méthode par identification) et j'avais pas vérifié avant de poster.
Mais je regrette pas de m’être trompé, car je m'y connais pas en théorie algébrique des nombres et appends avec le post de @Claude. Merci
Cordialement.
D'après ce vieux calcul de borde, que je salue, le discriminant de $P_n$ vaut $(-1)^{n-1} n^n + (-1)^n (1-n)^{n-1}$. Si on connaît l'indice de $\mathbb Z[\alpha]$ dans $\mathcal O_{K_n}$, où $\alpha$ est une racine de $P_n$, on obtient une borne effective sur le nombre premier recherché en utilisant la formule bien connue $d_{K_n} = d_{P_n} [\mathcal O_{K_n} : \mathbb Z[\alpha]]^2$.
Vu ... sauf que je disais cela sans conviction, cf le cas $n=257$.
La formule que tu donnes et que tu attribues à .. pour le discriminant de $P_n$ est fausse. Elle donne $23$ pour $X^3 - X - 1$ alors que le discriminant est $-23$. La formule, la bonne, pour le discriminant de $X^n + bX + c$ pour $n \ge 2$ est due à Swan, c'est celle que j'attache.
Merci à tous ceux qui m'ont répondu dans ce fil.
Je vous fais part de mes dernières nouvelles à propos de mes efforts que je déploie afin de factoriser l'équation $ x^5 - x - 1 = 0 $ rien qu'avec les radicaux,
Alors, si je réussis à résoudre l'équation cubique, définie par,
$$ (b_1 x + b_0 ) \big( a_1 x^2 + \big( a_1 + a_0 \big) x + \big( \dfrac{11}{6} a_1 + \dfrac{1}{6} a_0 \big) \big) = \big( \dfrac{71}{6} a_1 + \dfrac{1}{6} a_0 \big) x^3 + \big( \dfrac{47}{6} a_1 + \dfrac{37}{6} a_0 \big) x^2 + \big( a_1 -3a_0 \big) x + a_0 $$
en trouvant, $ b_1 , b_0 , a_1 $ et, $ a_0 $ dans $ \mathbb{C} $ la vérifiant, et qui ne s'expriment rien qu'avec les radicaux, l'équation $ x^5 -x - 1 = 0 $ est définitivement résolue par radicaux, ainsi que toutes les équations algébriques quintiques, en généralisant facilement la méthode de calcul.
Comment s'il vous plaît, résoudre cette équation ?
Merci d'avance.
Existe-t-il une méthode algébrique pour trouver $ a_0 , a_1 , b_0 , b_1 $ dans $ \mathbb{C} $ tels que
$$ (b_1 x + b_0 ) ( a_1 x + a_0 ) = \big( a_1 + 2 a_0 \big) x^2 + \big( 2 a_1 - 3 a_0 \big) x + \big( 3 a_1 - a_0 \big) \quad ?
$$ Merci d'avance.
Théorème:
Tout système équivalent à une équation non résoluble par radicaux est également non résoluble par radicaux.
Cordialement,
Rescassol
J'aimerais annoncer à l'ensemble du forum que j'ai trouvé la méthode de résolution par radicaux des équations algébriques de tout degré. Je vous jure que j'ai trouvé la méthode. J'ai compris pourquoi ma méthode précédente ne marchait pas, et je l'ai corrigé. J'aurai souhaité vous la montrer directement, en passant par l'équation $ x^5 - x - 1 = 0 $, mais il se trouve que le calcul est trop fastidieux. Je ne sais pas quoi faire.
Cordialement.
Curieux d'avoir un exposé de la méthode promise !
Sur $x^5 - 5x - 1 = 0$ please. (Je prends celui-là car "je sais" qu'il n'est pas résoluble par radicaux).
Et attention, quand on jure, si on ment, on va brûler en enfer.
.
Tu te sens un peu seul, certainement.
Courage.
Pardon.
As-tu déjà essayé de comprendre la preuve qui dit que ce n’est pas possible ?
Et à part ça la compta ça se passe bien ?
Pablo, il me semble que l'on en avait discuté il y a quelques temps.
Le mieux, avant de faire cette annonce, est de :
1) établir les solutions pour les équations que je t'avais proposées (c'est un minimum de vérifier sur des exemples connus).
2) proposer discrètement ton approche pour avis.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Pour la compta BTS, je ne suis pas allé aux examens cette année, je n'étais pas préparé pour les examens. 8-)
@Dreamer,
Si je réussirai à corriger l'erreur dans ma démonstration, je viendrai vous la montrer ici en l'appliquant à l'exemple $ x^5 - x - 1 = 0 $. :-)
Tu n’as pas répondu à ma question. C’est un droit.
Je tente à nouveau : as-tu essayé de te procurer la démonstration qui prouve que c’est impossible ?
Je me permets une nouvelle fois de vous annoncer avoir résolu aujourd'hui par radicaux, les équations algébriques de tout degré. Je suis sûr cette fois çi qu'il n y a pas d'erreurs dans ma méthode de résolution. :-)
Cordialement.
@Dom, Oui, je suis une des personnes qui sont familiers avec la théorie de Galois, depuis bientôt 15 ans.
2) familier avec la théorie de Galois ?
je n’en crois rien, tu sembles prouver le contraire à chaque message
3) comment être familier avec ça et réfuter un théorème qui met les pieds dedans ?
saurais-tu trouver une faille dans cette* preuve ?
*j’ignore s’il en existe plusieurs à vrai dire
NB : je ne suis pas familier du tout, moi.
4) résous donc l’équation de degré 5 proposé !
@Dom, si j'avais un peu de temps et de force et de motivation, je viendrais vous montrer grâce à cette méthode comment on résout par radicaux l'équation $ x^5 - x -1 = 0 $.
puisque tu ne veux pas montrer ta démonstration je ferme cette discussion. --JLT