Probabilité qu'un polynôme se factorise

Peut-être que l'univers pour l'exercice $ 1) $, est $ \mathbb{C}^6 $, et pour l'exercice $ 2) $, est $ \mathbb{C}^4 $. Donc, il faut utiliser le calcul intégral il me semble. Je ne sais pas.

Pour l'exercice $ 1) $, si tous les polynômes de $ \mathbb{C} [X,Y,Z] $ étaient factorisables, alors, on aurait, $ P(M) = \dfrac{ \displaystyle \int_{ \mathbb{C}^{6} } d^6 x }{ \displaystyle \int_{ \mathbb{C}^{6} } d^6 x } = 1 $.

Malheureusement, non pas tous les polynômes de $ \mathbb{C} [X,Y,Z] $ sont factorisables. On ne sait pas combien de polynômes dans cet anneau sont factorisables.

Et meme si on sait combien de polynômes dans cet anneau sont factorisables, ça devrait s'écrire proportionnellement au nombre de cas favorables, $ k \times \displaystyle \int_{ \mathbb{C}^{6} } d^6 x $ avec, $ k $ une proportion, pour avoir, $$ P(M) = \dfrac{ k \times \displaystyle \int_{ \mathbb{C}^{6} } d^6 x }{ \displaystyle \int_{ \mathbb{C}^{6} } d^6 x } = k \in ] 0,1 [ $$, car, $ \displaystyle \int_{ \mathbb{C}^{6} } d^6 x = \infty $.

Et vous, qu'est ce que vous pensez ?
Merci d'avance.

Non, j'ai dit des bêtises. Si on note $ X $ la variable aléatoire de l'exercice $ 1 ) $, alors, le nombre de cas possibles n'est pas $ \displaystyle \int_{ \mathbb{C}^{6} } d^6 x $, qui est infinie, non définie, mais, $ \displaystyle \int_{ \mathbb{C}^{6} } f(x_1 , \dots , x_n ) d^6 x $ qui est finie, dépendant de de la densité de probabilité $ f = f(x_1 , \dots , x_6 ) $. D'où, le nombre de cas favorables, n'est pas forcément, $ k \times \displaystyle \int_{ \mathbb{C}^{6} } d^6 x $ avec, $ k $ une proportion.

Donc, la question qui se pose, comment est définie la densité de probabilité $ f = f(x_1 , \dots , x_6 ) $ pour cet exercice ?

Merci d'avance.

Bonjour à tous,

On sait que, $ ( \mathbb{C} [X,Y,Z] , + , \times , . ) $ a une structure de $ \mathbb{C} $ - algèbre graduée, et en particulier une structure de $ \mathbb{C} $ - espace vectoriel gradué.
Soit, $$ \mathbb{C} [X,Y,Z]_{2,1} = \{ P(X,Y,Z) = m_6 X^2 + m_5 XY + m_4 Z^2 + m_3 ZY + m_2 Y^2 + m_1 YX \ | \ m_1 , \dots , m_6 \in \mathbb{C} \ \} $$ une sous algèbre graduée de $ \mathbb{C} [X,Y,Z] $ qui s'identifie à $ 0 \oplus 0 \oplus \mathbb{C} [X,Y,Z]_{2} \oplus 0 \oplus \dots $.
Donc, $ \mathbb{C} [X,Y,Z]_{2,1} $ est aussi un $ \mathbb{C} $ - espace vectoriel.
Soit, $$ \mathbb{C} [X,Y,Z]_{2,2} = \{ ( m_1 + 2 m_2 - 5 m_4+ m_5 + 2 m_6) X^2 + ( m_2 + 2 m_3 - 3 m_4 - 2m_5 ) XY $$ $$ + m_4 Z^2 + m_3 ZY + m_2 Y^2 + m_1 YX \ | \ m_1 , \dots , m_6 \mathbb{C} \ \} $$
une sous algèbre graduée de $ \mathbb{C} [X,Y,Z] $ qui s'identifie à $ 0 \oplus 0 \oplus \mathbb{C} [X,Y,Z]_{2} \oplus 0 \oplus \dots $.
Donc, $ \mathbb{C} [X,Y,Z]_{2,1} $ est aussi un $ \mathbb{C} $ - espace vectoriel.

Soit $ f \ : \ \mathbb{C} [X,Y,Z] \to \mathbb{C} [X,Y,Z] $ un endomorphisme gradué qui se met sous la forme, $ f = 0 \oplus 0 \oplus f_2 \oplus 0 \oplus \dots $ avec, $ f_2 \ : \ \mathbb{C}_2 [X,Y,Z]_{2,1} \to \mathbb{C} [X,Y,Z]_{2,2} $ définie par,
$ f_2 ( m_6 X^2 + m_5 XY + m_4 Z^2 + m_3 ZY + m_2 Y^2 + m_1 YX ) = ( m_1 + 2 m_2 - 5 m_4+ m_5 + 2 m_6) X^2 $
$ + ( m_2 + 2 m_3 - 3 m_4 - 2m_5 ) XY + m_4 Z^2 + m_3 ZY + m_2 Y^2 + m_1 YX $
de sorte que, $ f_2 ( X^2) = X^2 $ et $ f_2 (XY) = XY $, et $ f_2 ( Y^2 ) = Y^2 $ et $ f_2 ( YZ ) = YZ $ et $ f_2 (Z^2 ) = Z^2 $ et $ f_2 ( ZX ) = ZX $.
D'où, la matrice associée à $ f_2 $ est, $$ M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -5 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & -3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Il est clair que $ M $ est inversible, d'où, $ \mathbb{C} [X,Y,Z]_{2,1} $, et $ \mathbb{C} [X,Y,Z]_{2,2} $ sont isomorphes en tant que $ \mathbb{C} $ - espaces vectoriels.
Est ce que, c'est un isomorphisme de $ \mathbb{C} $ - algèbres, c'est à dire, est ce que, $ f_2 $ transforme une factorisation de deux polynômes linéaires, en factorisation de deux polynomes linéaires, puisque les éléments de $ \mathbb{C} [X,Y,Z]_2 $ sont quadratiques ?
Si la réponse est oui, alors, le nombre des polynômes factorisables dans $ \mathbb{C} [X,Y,Z]_{2,1} $ est le meme nombre de polynômes factorisables dans $ \mathbb{C} [X,Y,Z]_{2,2} $. Est ce que c'est vrai ?

Si oui, on montre ainsi que : $ P(M) = P(N) $. Il ne reste alors, qu'à résoudre le premier exercice, et non le deuxième. :-)

Merci d'avance.

CQ,
Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Algèbre_graduée

Corto,
Merci pour ton lien, je vais le consulter quant je prendrai un moment de répit et à tête reposée.

Aux autres,
Est ce que vous pouvez m'expliquez comment on définit la variable aléatoire de l'exercice $ 1) $, ainsi que sa fonction de répartition ?

Merci d'avance.

Pourquoi l'événement $ M $ n'est pas défini gerard0, si l'on croit à ce que tu dis ?

Dom,
Choisir au hasard un polynôme, implique qu'un mesurable n'est pas un événement certain.
Ne pas choisir au hasard un polynôme, implique qu'un mesurable est un événement certain.
Où est le problème ?

Voici comment je construis la variable aléatoire de l'exercice $ 1) $,

Soit $ X \ : \ \big( \Omega , \mathcal{A} , d \mathbb{P} \big) \to \big( \mathbb{C}^{6} , \mathcal{B} ( \mathbb{C}^6 ) , dz_1 \wedge \dots , \wedge dz_6 \big) $, la présumée variable aléatoire de l'exercice $ 1) $, avec,

- $ \Omega = \mathbb{C} [X,Y,Z]_2 $.
- $ \mathcal{A} = \mathcal{P} ( \mathbb{C} [X,Y,Z]_2 ) $.
- $ d \mathbb{P} = f dz_1 \wedge \dots \wedge dz_6 $ ( avec, $ f = f(z_1 , \dots , z_6) $ une densité de probabilité de la loi de $ X $, à déterminer ).

Voilà.

On pose, $ m = (m_1 , \dots , m_6) $.

On pose, $ P_m (X,Y,Z) = P_{(m_1, \dots m_6)} (X,Y,Z) $ se mettant sous la forme, $$ P_m (X,Y,Z) = m_6 X^2 + m_5 XY + m_4 Y^2 + m_3 YZ + m_2 Z^2 + m_1 ZX \in \mathbb{C} [X,Y,Z]_2 $$ Alors, $ X $ est définie par, $$ X \ : \ P_m \in \mathbb{C} [X,Y,Z] \to X(P_m) = m \in \mathbb{C}^6 $$
Est ce que c'est correct tout ça ?

Merci d'avance.

L’événement $ M $ de l'exercice $ 1) $, vérifie, $ M = M_1 \cap M_2 $, avec,
- $ M_1 $ est l'événement, : Choisir $ P_m $ tel que, $ M_1 = X^{-1} ( \mathbb{C}^6 ) $.
- $ M_2 $ est l'événement : Choisir $ P_m $ factorisable.
D'où, $ P(M) = P(M_1 \cap M_2 ) = P ( M_1 | M_2 ) P (M_2 ) $.
Or, je ne suis pas sûr qu'on puisse trouver $ P(M_2 ) $.
$ P(M_2) $ est un nombre universel, comme $ \pi $, il est canonique, et dépend uniquement de la graduation de $ \mathbb{C} [X,Y,Z] $.
Est ce que vous êtes d'accord ?

Bonsoir Corto,
Merci pour tes conseils. Oui, je parcourrai le document que tu m'as indiqué quant je ne serai pas trop occupé.
Tu dis dans un passage,

Corto a écrit:

Ta variable aléatoire ne sert à rien.

Mais bien sûr que ça sert à quelques choses :
$ X $ associe à tout polynôme $ P_m $ de $ \mathbb{C} [X,Y,Z] $, le lieu où se trouve ses coefficients $ m $ dans $ \mathbb{C}^6 $.
Bref, si, $ M \subset \mathbb{C} [X,Y,Z]_2 $ est un événement, tel que, $ X(M) = T \subset \mathbb{C}^6 $, alors, cet événement se traduit, par, l'existence d'une partie $ M $ des polynômes de $ \mathbb{C} [X,Y,Z] $, dont les coefficients se trouvent dans la région $ T $ de $ \mathbb{C}^6 $.
$ P(M) $ mesure donc, la probabilité que les coefficients des polynômes de $ M $ se trouvent dans la région $ T $ de $ \mathbb{C}^6 $. Non ?

J'ai dit que $ P_X (M_2 ) $ est universel, parce qu'il ne peut pas être décrit par sa densité de probabilité $ f_X $ ( Non ? ). C'est pourquoi il est indépendant de $ X $. Parce que, $ M_2 $, est la famille des polynômes factorisables dans $ \mathbb{C} [X,Y,Z]_2 $, et non une famille $ L $ de polynômes dans $ \mathbb{C} [X,Y,Z]_2 $, dont les coefficients se trouvent dans une région déterminée $ T $ de $ \mathbb{C} [X,Y,Z]_2 $, à moins si on sait quelle est ce $ L $ tel que $ M_2 = L $.
Quelle est alors, $ L $, tel que $ M_2 = L $, et quelle est $ f $ ?
Merci d'avance.

Edit : Croisement avec ton message JLT.

JLT,
Et si on remplace $ \mathbb{C}^6 $ par un ouvert ( objet local ) $ U $ de $ \mathbb{C}^6 $ ( C'est à dire, si on remplace, $ M $ par un $ S $ tel que, $ X(S) = U \subset \mathbb{C}^6 $ avec $ U $ un ouvert local ( c'est à dire, assez réduit en taille ) ) ?. Est ce que, dans ce cas là, $ P(F_U) = 0 $ ?
Merci d'avance.