Preuve de la conjecture du coureur solitaire
Salut.
Je vous propose ici la démonstration élémentaire que j'ai faite de la conjecture du coureur solitaire.
La conjecture :
Considérons $k$ coureurs sur une piste circulaire de longueur 1. Au temps $t = 0$, tous les coureurs sont à la mème position et commmencent à courir à des vitesses deux à deux distinctes. Un coureur est dit solitaire au temps t, s'il est à une distance d'au moins $\frac{1}{k}$ de tous les autres coureurs. La conjecture du coureur solitaire affirme que chaque coureur sera solitaire à certains moments.
C'est ce que nous allons démontrer ici.
Rappelons que cette conjecture a été démontré jusqu'au cas $k = 7$.
Propriétés :
A priori, les vitesses sont des réels, mais on peut se restreindre sans perte de généralité à des rationnels ou des entiers.
On va alors ici se restreindre au cas où les vitesses sont des entiers, et proposer une démonstration dans le cas général.
$\textbf{PREUVE DE LA CONJECTURE}$
Soient $c_{1}, c_{2},\cdots, c_{k}$ les $k\geq 3$ coureurs et $v_{1}, v_{2},\cdots, v_{k}$, les vitesses respectives des coureurs, distinctes deux à deux et entiers naturels.
Prenons $c_{i_{0}}$, un des coureurs, de vitesse $v_{i_{0}}$.
$|v_{i_{0}} - v_{i}|$ est la vitesse de décalage entre $c_{i_{0}}$ et $c_{i}$ ($|x|$ est la valeur absolue de $x$). Ce décalage sur la piste circulaire est égal à $\frac{1}{k}$ pour la première fois à l'instant $\frac{\frac{1}{k}}{|v_{i_{0}} - v_{i}|} = \frac{1}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}$ et il reste supérieur à $\frac{1}{k}$ jusqu'à l'instant $\frac{1 - \frac{1}{k}}{|v_{i_{0}} - v_{i}|} = \frac{k - 1}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}$.
Donc les instants $\big[\frac{1}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|} ; \frac{k - 1}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\big]$ sont les premiers intervalles de temps où
$c_{i_{0}}$ est à une distance $\geq\frac{1}{k}$ de $c_{i}$.
Ces intervalles de temps convenables, je veux dire où $c_{i_{0}}$ est à une distance $\geq\frac{1}{k}$ de $c_{i}$, sont périodiques de période $\frac{1}{|v_{i_{0}} - v_{i}|}$ car à chaque instant $\frac{n}{|v_{i_{0}} - v_{i}|},\,n\in\mathbb{N}$ les coureurs $c_{i_{0}}$ et $c_{i}$ sont au mème endroit sur la piste circulaire (En effet $|v_{i_{0}}\cdot\frac{n}{|v_{i_{0}} - v_{i}|} - v_{i}\cdot\frac{n}{|v_{i_{0}} - v_{i}|}| = n$).
Les intervalles de la forme $\big[\frac{1 + nk}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\,;\,\frac{k - 1 + nk}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\big]$ sont alors des intervalles de temps où $c_{i_{0}}$ est à une distance $\geq\frac{1}{k}$ de $c_{i}$.
Un intervalle de temps où $c_{i_{0}}$ est à une distance $\geq\frac{1}{k}$ de chacun des $c_{i}$ est un intervalle non vide de la forme
$\bigcap_{i\in I, n_{i}\in \mathbb{N}}\big[\frac{1 + n_{i}k}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\,;\,\frac{k - 1 + n_{i}k}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\big]$
où les $n_{i}$ sont des entiers naturels et $I = [\![1, k]\!]\setminus\{i_{0}\}$.
Mais à l'instant $t = 1$ tous les $k$ coureurs se retrouvent au point de départ, chaque coureur $c_{i}$ aura fait $v_{i}$ tours, le mème processus entre les instants $0$ et $1$ se répète entre les instants $1$ et $2$, entre les instants $2$ et $3$, etc
Ceci conduit si on veut à chercher les $n_{i}$ convenables, je veux dire tels que $\bigcap_{i\in I, n_{i}\in \mathbb{N}}\big[\frac{1 + n_{i}k}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\,;\,\frac{k - 1 + n_{i}k}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\big]$ soit non vide, dans les intervalles $[\![0, |v_{i_{0}} - v_{i}| - 1]\!]$.
On peut aussi alors pour démontrer la conjecture, se limiter à chercher un instant $t_{i_{0}}$ où $c_{i_{0}}$ est à une distance $\geq\frac{1}{k}$ de chacun des $c_{i},\,i\in [\![1, k]\!]\setminus\{i_{0}\}$ dans l'intervalle de temps $[0; 1]$. C'est ce qu'on va faire dans la suite.
Notons bien que dans cet intervalle de temps $[0\,;\,1]$, les intervalles $\big[0; \frac{1}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\big[$, $\big]\frac{nk - 1}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\,;\,\frac{nk + 1}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\big[,\,n\in\mathbb{N^*}$ et $\big]\frac{k|v_{i_{0}} - v_{i}| - 1}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\,;\,1\big]$ sont les instants où $c_{i_{0}}$ est à une distance $<$ à $\frac{1}{k}$ de $c_{i},\,i\in [\![1, k]\!]\setminus\{i_{0}\}$.
Dans la suite, on reste dans l'intervalle de temps $[0\,;\,1]$, et pour alléger les notations, on pose $|v_{i_{0}} - v_{i}| = a_{i},\,\forall i\in I = [\![1, k]\!]\setminus\{i_{0}\}$, $min_{i\in I}a_{i}$ est le minimum des $a_{i}$, $i$ décrivant $I$ et $max_{i\in I}a_{i}$ est le maximum des $a_{i}$, $i$ décrivant $I$.
Remarquons qu'il peut y avoir des pairs de $a_i\,i\in I$ égaux, et constatons que si c'est le cas, l'étude se ramène à un nombre inférieur à $k$ coureurs. En effet, si par exemple $a_{i_{1}} = a_{i_{2}},\,\{i_{1},\,i_{2}\}\,\subset I$, alors les coureurs $c_{i_{1}}\,\textrm{et}\,c_{i_{2}},\,\{i_{1},\,i_{2}\}\,\subset I$ sont à une distance $\geq\,\frac{1}{k}$ de $c_{i_{0}}$ aux mêmes moments, et donc dans l'étude on pourra se dispenser de $a_{i_{1}}$ ou bien de $a_{i_{2}}$.
On cherche alors dans $[0\,;\,1]$ un instant $t_{i_{0}}$ où $c_{i_{0}}$ est solitaire.
Soit $p$ un entier naturel, on s'intéresse aux valeurs de $\alpha$ tels que :
$\frac{1}{k\times min_{i\in I}a_{i}}\leq\frac{\alpha}{p}\leq\frac{k\times min_{i\in I}a_{i} - 1}{k\times min_{i\in I}a_{i}}$.
Pour ces valeurs possibles de $\alpha$, $\frac{\alpha}{p}$ appartient à un intervalle de la forme $\big]\frac{n_{i}k - 1}{ka_{i}}\,;\,\frac{n_{i}k + 1}{ka_{i}}\big[,\,n_{i}\in [\![1, a_{i} - 1]\!]$ si et seulement si, il existe $x\in ]-1\,;\,1[$ tel que:
$\frac{n_{i}k + x}{ka_{i}} = \frac{\alpha}{p}\,\Leftrightarrow\,x = \frac{(a_{i}\alpha - n_{i}p)k}{p},\,n_{i}\in [\![1, a_{i} - 1]\!]$.
On peut poser $p = ak + m$ avec $a$ entier naturel et $m$ entier naturel inférieur ou égal à $k - 1$.
Alors $x\in ]-1\,;\,1[$ existe si et seulement si $\exists\,n_{i}\in [\![1, a_{i} - 1]\!]$ tel que $a_{i}\alpha - n_{i}p = 0\,\textrm{ou}\,\pm 1\,\textrm{ou}\,\pm 2\cdots\textrm{ou}\,\pm a$ (ou plus simplement $|a_{i}\alpha - n_{i}p|\leq a$. On atteint $\pm a$ si $m\neq 0$).
Rappelons que s'il existe dans $[\![1, p - 1]\!]$ une valeur de $\alpha$ telle que $a_{i}\alpha - n_{i}p = j$, $n_{i}\in [\![1, a_{i} - 1]\!]$ et $j$ nombre entier, alors il en existe qu'une seule car en règle générale, les valeurs de $u$ et $v$ telles que $a_{i}u - vp = j$ sont périodiques de périodes respectivement $p$ et $a_{i}$.
1) Si il existe $p\leq k$, premier avec tous les $a_{i},\, i\in I$.
On constate déjà que si on prend un entier $p$ premier avec tous les $a_{i},\, i\in I$, il n'existe pas d'entier naturel $n_{i}$ tel que $\frac{n_{i}k}{ka_{i}} = \frac{\alpha}{p}$ où $\alpha$ est tel que $\frac{1}{k\times min_{i\in I}a_{i}}\leq\frac{\alpha}{p}\leq\frac{k\times min_{i\in I}a_{i} - 1}{k\times min_{i\in I}a_{i}}$.
En effet $\frac{n_{i}k}{ka_{i}} = \frac{\alpha}{p}\,\Leftrightarrow\,n_{i}p = a_{i}\alpha$, ce qui est impossible car $p$ premier avec $a_{i}\alpha$. C'est-à-dire que $a_{i}\alpha - n_{i}p \neq 0,\,\forall i\in I$.
Si $p\leq k$ on a $\frac{1}{k\times min_{i\in I}a_{i}}\leq\frac{\alpha}{p}\leq\frac{k\times min_{i\in I}a_{i} - 1}{k\times min_{i\in I}a_{i}}$ pour tout $\alpha$ entier allant de $1$ à $p - 1$.
On a $\frac{|a_{i}\alpha - n_{i}p|k}{p}\geq 1,\,\forall i\in I$, car $a_{i}\alpha - n_{i}p \neq 0,\,\forall i\in I$ et $\frac{k}{p}\geq 1$, et ceci pour tout $\alpha$ allant de $1$ à $p - 1$. On ne trouve alors pas de valeur de $x\in ]-1 ; 1[$ comme ci-dessus définie, et ceci quelque soit $a_{i},\,i\in I$.
C'est dire que $\frac{\alpha}{p}$ est un instant où $c_{i_{0}}$ est solitaire pour tout $\alpha$ allant de $1$ à $p - 1$.
Donc pour $\alpha\in\,[\![1, p - 1]\!],\,t_{i_{0}} = \frac{\alpha}{p}$ convient.
$\textbf{lemme}$ : Avec les notations précédentes, Si $p\leq k$, est un entier naturel premier avec tous les $a_{i},\,i\in I$, alors pour tout
$\alpha\in\,[\![1, p - 1]\!],\,\frac{\alpha}{p}$ est un instant où $c_{i_{0}}$ est solitaire.
$\textbf{Remarque}$ : On peut étendre et montrer par le mème raisonnement que si $p\leq k$ n'est diviseur d'aucun $a_{i},\,i\in I$, $t_{i_{0}} = \frac{1}{p}$ convient.
En effet on a $a_{i} - n_{i}p \neq 0,\,\forall\,i\in I$.
2) Sinon :
Soit $q$ un nombre entier naturel premier avec tous les $a_{i},\,i\in I$. Alors on a $q\,>\,k$. On prend dans chaque $a_{i}\,i\in I$ un facteur $q_{i}$ et on pose $p = q\prod_{i\in I}{q_{i}}$.
On pose $p = ak + m$ avec $a\geq 1$ entier naturel et $m$ entier naturel inférieur ou égal à $k - 1$.
Cherchons le nombre d'entiers naturels $\alpha$ tels que $\frac{1}{k\times min_{i\in I}a_{i}}\leq\frac{\alpha}{p}\leq\frac{k\times min_{i\in I}a_{i} - 1}{k\times min_{i\in I}a_{i}}$, c'est-à-dire tels que $\frac{p}{k\times min_{i\in I}a_{i}}\leq\alpha\leq\frac{p(k\times min_{i\in I}a_{i} - 1)}{k\times min_{i\in I}a_{i}}$.
L'intervalle $A = \big[\frac{p}{k\times min_{i\in I}a_{i}}\,;\,\frac{p(k\times min_{i\in I}a_{i} - 1)}{k\times min_{i\in I}a_{i}}\big]$ est de longueur $L = \frac{p(k\times min_{i\in I}a_{i} - 2)}{k\times min_{i\in I}a_{i}} = p - \frac{2p}{k\times min_{i\in I}a_{i}} = ak + m - \frac{2a}{min_{i\in I}a_{i}} - \frac{2m}{k\times min_{i\in I}a_{i}}$.
$\bullet$) Si $min_{i\in I}a_{i} = 1$.
$L = ak + m - 2a - \frac{2m}{k} = (k - 2)a + m - \frac{2m}{k}$. Donc le nombre d'entiers naturels $\alpha$ cherché est $\geq$ à $(k - 2)a$.
$\bullet$) Si $\min_{i\in I}a_{i} \geq 2$.
$L\geq ak + m - a - \frac{m}{k} = (k - 1)a + m - \frac{m}{k}$. Donc le nombre d'entiers naturels $\alpha$ cherché est $\geq$ à $(k - 1)a$.
a) Soit $min_{i\in I}a_{i} = 1$.
Alors $min_{i\in I}a_{i} - 1 = 0$. Il n'existe pas d'entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 et inférieur ou égal à 0. Donc il n'existe pas un entier naturel $n$ convenable tel que pour une valeur de $\alpha$, $\alpha\min_{i\in I}a_{i} - np = 0\,\textrm{ou}\,\pm 1\,\textrm{ou}\,\pm 2\cdots\,\textrm{ou}\,\pm a$.
Pour les $k - 2$ termes $a_{i},\,i\in I$ restants, $\alpha a_{i} - n_{i}p$ prend au plus les valeurs $0,\,\pm q_{i},\,\pm 2q_{i},\cdots,\pm m_{i}q_{i}$ avec $m_{i}q_{i}\leq a$, c'est-à-dire $m_{i}$ entier $\leq \frac{a}{q_{i}}$.
Les $a_{i}$ étant deux à deux différents, les $q_{i}$ peuvent etre choisis deux à deux différents.
Donc les $k - 2$ termes $a_{i},\,i\in I$ prennent au plus $k - 2 + 2(\frac{a}{2} + \frac{a}{3} + \cdots + \frac{a}{k - 2})$ valeurs de $\alpha$ tels que $\alpha a_{i} - n_{i}p = 0\, \textrm{ou}\,\pm 1\,\textrm{ou}\,\pm 2\cdots\,\textrm{ou}\,\pm a$.
$k - 2 + 2(\frac{a}{2} + \frac{a}{3} + \cdots + \frac{a}{k - 2})\, =\, k - 2 + 2a(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k - 2})$
$=\,k - 2 + 2a(H_{k - 2} - 1)$, où $H_{k - 2}$ est la $(k - 2)$ième somme partielle de la série harmonique $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots$.
On a que $H_{k - 2} \leq 1 + \ln(k - 2)$ c'est-à-dire $H_{k - 2} - 1 \leq \ln(k - 2)$, et donc $k - 2 + 2a(H_{k - 2} - 1)\leq k - 2 + 2a\ln(k - 2)$.
Montrons que $k - 2 + 2a\ln(k - 2)\,<\,(k - 2)a$ si $k\geq 3$.
On a $k - 2 + 2a\ln(k - 2)\,<\,(k - 2)a\,\Leftrightarrow\,\frac{\ln(k - 2)}{k - 2}\,<\,\frac{a - 1}{2a}$.
La fonction $x\mapsto \frac{\ln (x)}{x}$ est décroissante sur $[e\,;\,+\infty[$ et la fonction $x\mapsto \frac{x - 1}{2x}$ est croissante sur $]0\,;\,+\infty[$.
Si $k\geq 5$, on a alors $a\geq 2\times 3\times 4 = 24$ et donc $\frac{a - 1}{2a}\geq \frac{23}{48}$. On a $\frac{\ln (3)}{3}\,<\,\frac{23}{48}$, alors pour tout $k\geq 5$, on a $\frac{\ln(k - 2)}{k - 2}\leq\frac{\ln (3)}{3}\,<\,\frac{23}{48}\leq \frac{a - 1}{2a}$, c'est-à-dire $k - 2 + 2a\ln(k - 2)\,<\,(k - 2)a$.
Si $k = 4$, on a alors $a\geq 2\times 3 = 6$, et donc $\frac{a - 1}{2a}\geq \frac{5}{12}$. On a $\frac{\ln (2)}{2}\,<\,\frac{5}{12}$, alors pour $k = 4$, on a aussi $\frac{\ln(k - 2)}{k - 2}\,<\,\frac{a - 1}{2a}$, c'est-à-dire $k - 2 + 2a\ln(k - 2)\,<\,(k - 2)a$.
Et si $k = 3$, on a alors $a\geq 2$, et donc $\frac{a - 1}{2a}\geq \frac{1}{4}$. On a $\frac{\ln (1)}{1}\,<\,\frac{1}{4}$, alors pour $k = 3$, on a aussi $\frac{\ln(k - 2)}{k - 2}\,<\,\frac{a - 1}{2a}$, c'est-à-dire, $k - 2 + 2a\ln(k - 2)\,<\,(k - 2)a$.
C'est dire que pour $k\geq 3$, on a $k - 2 + 2a\ln(k - 2)\,<\,(k - 2)a$.
Sachant qu'on a un nombre inférieur à $k - 2 + 2a\ln(k - 2)$ valeurs de $\alpha$ telles qu'il existe $(a_{i}, n_{i}),\,i\in I$ tel que $|\alpha a_{i} - n_{i}p|\leq a$, il existe alors au moins une valeur de $\alpha$, soit $\alpha_{0}$ telle que $|\alpha_{0} a_{i} - n_{i}p|\,>\,a,\,\forall i\in I$. Et donc à l'instant $\frac{\alpha_{0}}{p}$, $c_{i_{0}}$ est solitaire. $t_{i_{0}} = \frac{\alpha_{0}}{p}$ convient.
b) Soit $min_{i\in I}a_{i}\geq 2$.
On a montré que le nombre de valeurs de $\alpha$ est $\geq$ à $(k - 1)a$.
En tenant le mème raisonnement que ci-dessus, il arrive qu'il y a un nombre $\leq$ à $k - 1 + 2a\ln(k - 1)$ valeurs de $\alpha$ telles qu'il existe $(a_{i}, n_{i}),\,i\in I$ tel que $|\alpha a_{i} - n_{i}p|\leq a$.
On a aussi comme ci-dessus $k - 1 + 2a\ln(k - 1)\,<\,(k - 1)a$ si $k\geq 3$.
En effet si $k\geq 4$, on a $a\geq 2\times 3\times 4 = 24$, et donc $\frac{\ln(k - 1)}{k - 1}\leq \frac{\ln (3)}{3}\,<\,\frac{23}{48}\leq \frac{a - 1}{2a}$, d'après les remarques sur les deux fonctions définies ci-dessus.
Et si $k = 3$, on a alors $a\geq 2\times 3$ et donc $\frac{\ln (2)}{2}\,<\,\frac{5}{12}\leq \frac{a - 1}{2a}$, d'après la remarque sur la fonction $x\mapsto \frac{x - 1}{2x}$.
Et alors pour tout $k\geq 3$, on a $\frac{\ln(k - 1)}{k - 1}\,<\,\frac{a - 1}{2a}$, c'est-à-dire, $k - 1 + 2a\ln(k - 1)\,<\,(k - 1)a$.
Sachant qu'on a un nombre inférieur à $k - 1 + 2a\ln(k - 1)$ valeurs de $\alpha$ telles qu'il existe $(a_{i}, n_{i}),\,i\in I$ tel que $|\alpha a_{i} - n_{i}p|\leq a$, il existe alors au moins une valeur de $\alpha$, soit $\alpha_{0}$ telle que $|\alpha_{0} a_{i} - n_{i}p|\,>\,a,\,\forall i\in I$, c'est-à-dire telle que $\frac{\alpha_{0}}{p}$ est un instant où $c_{i_{0}}$ est solitaire. $t_{i_{0}} = \frac{\alpha_{0}}{p}$ convient.
On a ainsi démontré que pour $k\geq 3$, pour $i_{0}\in [\![1, k]\!]$, il existe $p\in \mathbb{N}$ et au moins un entier $\alpha_{0}\in [\![1, p - 1]\!]$ tels qu'aux instants $\frac{\alpha_{0}}{p},\,\frac{\alpha_{0}}{p} + 1,\,\frac{\alpha_{0}}{p} + 2,\,\cdots$, $c_{i_{0}}$ est à une distance $\geq\frac{1}{k}$ de tous les autres coureurs. Par conséquent :
$\textbf{Théorème}$ :
Considérons $k\geq 3$ coureurs sur une piste circulaire de longueur 1. Au temps $t = 0$, tous les coureurs sont à la mème position et commencent à courir à des vitesses (entiers naturels) deux à deux distinctes.
Alors chaque coureur sera à une distance d'au moins $\frac{1}{k}$ de tous les autres coureurs à certains moments.
$\textbf{Conséquence}$ : Pour tout nombre de coureurs $k$, la conjecture est vraie.
Je vous propose ici la démonstration élémentaire que j'ai faite de la conjecture du coureur solitaire.
La conjecture :
Considérons $k$ coureurs sur une piste circulaire de longueur 1. Au temps $t = 0$, tous les coureurs sont à la mème position et commmencent à courir à des vitesses deux à deux distinctes. Un coureur est dit solitaire au temps t, s'il est à une distance d'au moins $\frac{1}{k}$ de tous les autres coureurs. La conjecture du coureur solitaire affirme que chaque coureur sera solitaire à certains moments.
C'est ce que nous allons démontrer ici.
Rappelons que cette conjecture a été démontré jusqu'au cas $k = 7$.
Propriétés :
A priori, les vitesses sont des réels, mais on peut se restreindre sans perte de généralité à des rationnels ou des entiers.
On va alors ici se restreindre au cas où les vitesses sont des entiers, et proposer une démonstration dans le cas général.
$\textbf{PREUVE DE LA CONJECTURE}$
Soient $c_{1}, c_{2},\cdots, c_{k}$ les $k\geq 3$ coureurs et $v_{1}, v_{2},\cdots, v_{k}$, les vitesses respectives des coureurs, distinctes deux à deux et entiers naturels.
Prenons $c_{i_{0}}$, un des coureurs, de vitesse $v_{i_{0}}$.
$|v_{i_{0}} - v_{i}|$ est la vitesse de décalage entre $c_{i_{0}}$ et $c_{i}$ ($|x|$ est la valeur absolue de $x$). Ce décalage sur la piste circulaire est égal à $\frac{1}{k}$ pour la première fois à l'instant $\frac{\frac{1}{k}}{|v_{i_{0}} - v_{i}|} = \frac{1}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}$ et il reste supérieur à $\frac{1}{k}$ jusqu'à l'instant $\frac{1 - \frac{1}{k}}{|v_{i_{0}} - v_{i}|} = \frac{k - 1}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}$.
Donc les instants $\big[\frac{1}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|} ; \frac{k - 1}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\big]$ sont les premiers intervalles de temps où
$c_{i_{0}}$ est à une distance $\geq\frac{1}{k}$ de $c_{i}$.
Ces intervalles de temps convenables, je veux dire où $c_{i_{0}}$ est à une distance $\geq\frac{1}{k}$ de $c_{i}$, sont périodiques de période $\frac{1}{|v_{i_{0}} - v_{i}|}$ car à chaque instant $\frac{n}{|v_{i_{0}} - v_{i}|},\,n\in\mathbb{N}$ les coureurs $c_{i_{0}}$ et $c_{i}$ sont au mème endroit sur la piste circulaire (En effet $|v_{i_{0}}\cdot\frac{n}{|v_{i_{0}} - v_{i}|} - v_{i}\cdot\frac{n}{|v_{i_{0}} - v_{i}|}| = n$).
Les intervalles de la forme $\big[\frac{1 + nk}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\,;\,\frac{k - 1 + nk}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\big]$ sont alors des intervalles de temps où $c_{i_{0}}$ est à une distance $\geq\frac{1}{k}$ de $c_{i}$.
Un intervalle de temps où $c_{i_{0}}$ est à une distance $\geq\frac{1}{k}$ de chacun des $c_{i}$ est un intervalle non vide de la forme
$\bigcap_{i\in I, n_{i}\in \mathbb{N}}\big[\frac{1 + n_{i}k}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\,;\,\frac{k - 1 + n_{i}k}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\big]$
où les $n_{i}$ sont des entiers naturels et $I = [\![1, k]\!]\setminus\{i_{0}\}$.
Mais à l'instant $t = 1$ tous les $k$ coureurs se retrouvent au point de départ, chaque coureur $c_{i}$ aura fait $v_{i}$ tours, le mème processus entre les instants $0$ et $1$ se répète entre les instants $1$ et $2$, entre les instants $2$ et $3$, etc
Ceci conduit si on veut à chercher les $n_{i}$ convenables, je veux dire tels que $\bigcap_{i\in I, n_{i}\in \mathbb{N}}\big[\frac{1 + n_{i}k}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\,;\,\frac{k - 1 + n_{i}k}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\big]$ soit non vide, dans les intervalles $[\![0, |v_{i_{0}} - v_{i}| - 1]\!]$.
On peut aussi alors pour démontrer la conjecture, se limiter à chercher un instant $t_{i_{0}}$ où $c_{i_{0}}$ est à une distance $\geq\frac{1}{k}$ de chacun des $c_{i},\,i\in [\![1, k]\!]\setminus\{i_{0}\}$ dans l'intervalle de temps $[0; 1]$. C'est ce qu'on va faire dans la suite.
Notons bien que dans cet intervalle de temps $[0\,;\,1]$, les intervalles $\big[0; \frac{1}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\big[$, $\big]\frac{nk - 1}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\,;\,\frac{nk + 1}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\big[,\,n\in\mathbb{N^*}$ et $\big]\frac{k|v_{i_{0}} - v_{i}| - 1}{k|v_{i_{0}} - v_{i}|}\,;\,1\big]$ sont les instants où $c_{i_{0}}$ est à une distance $<$ à $\frac{1}{k}$ de $c_{i},\,i\in [\![1, k]\!]\setminus\{i_{0}\}$.
Dans la suite, on reste dans l'intervalle de temps $[0\,;\,1]$, et pour alléger les notations, on pose $|v_{i_{0}} - v_{i}| = a_{i},\,\forall i\in I = [\![1, k]\!]\setminus\{i_{0}\}$, $min_{i\in I}a_{i}$ est le minimum des $a_{i}$, $i$ décrivant $I$ et $max_{i\in I}a_{i}$ est le maximum des $a_{i}$, $i$ décrivant $I$.
Remarquons qu'il peut y avoir des pairs de $a_i\,i\in I$ égaux, et constatons que si c'est le cas, l'étude se ramène à un nombre inférieur à $k$ coureurs. En effet, si par exemple $a_{i_{1}} = a_{i_{2}},\,\{i_{1},\,i_{2}\}\,\subset I$, alors les coureurs $c_{i_{1}}\,\textrm{et}\,c_{i_{2}},\,\{i_{1},\,i_{2}\}\,\subset I$ sont à une distance $\geq\,\frac{1}{k}$ de $c_{i_{0}}$ aux mêmes moments, et donc dans l'étude on pourra se dispenser de $a_{i_{1}}$ ou bien de $a_{i_{2}}$.
On cherche alors dans $[0\,;\,1]$ un instant $t_{i_{0}}$ où $c_{i_{0}}$ est solitaire.
Soit $p$ un entier naturel, on s'intéresse aux valeurs de $\alpha$ tels que :
$\frac{1}{k\times min_{i\in I}a_{i}}\leq\frac{\alpha}{p}\leq\frac{k\times min_{i\in I}a_{i} - 1}{k\times min_{i\in I}a_{i}}$.
Pour ces valeurs possibles de $\alpha$, $\frac{\alpha}{p}$ appartient à un intervalle de la forme $\big]\frac{n_{i}k - 1}{ka_{i}}\,;\,\frac{n_{i}k + 1}{ka_{i}}\big[,\,n_{i}\in [\![1, a_{i} - 1]\!]$ si et seulement si, il existe $x\in ]-1\,;\,1[$ tel que:
$\frac{n_{i}k + x}{ka_{i}} = \frac{\alpha}{p}\,\Leftrightarrow\,x = \frac{(a_{i}\alpha - n_{i}p)k}{p},\,n_{i}\in [\![1, a_{i} - 1]\!]$.
On peut poser $p = ak + m$ avec $a$ entier naturel et $m$ entier naturel inférieur ou égal à $k - 1$.
Alors $x\in ]-1\,;\,1[$ existe si et seulement si $\exists\,n_{i}\in [\![1, a_{i} - 1]\!]$ tel que $a_{i}\alpha - n_{i}p = 0\,\textrm{ou}\,\pm 1\,\textrm{ou}\,\pm 2\cdots\textrm{ou}\,\pm a$ (ou plus simplement $|a_{i}\alpha - n_{i}p|\leq a$. On atteint $\pm a$ si $m\neq 0$).
Rappelons que s'il existe dans $[\![1, p - 1]\!]$ une valeur de $\alpha$ telle que $a_{i}\alpha - n_{i}p = j$, $n_{i}\in [\![1, a_{i} - 1]\!]$ et $j$ nombre entier, alors il en existe qu'une seule car en règle générale, les valeurs de $u$ et $v$ telles que $a_{i}u - vp = j$ sont périodiques de périodes respectivement $p$ et $a_{i}$.
1) Si il existe $p\leq k$, premier avec tous les $a_{i},\, i\in I$.
On constate déjà que si on prend un entier $p$ premier avec tous les $a_{i},\, i\in I$, il n'existe pas d'entier naturel $n_{i}$ tel que $\frac{n_{i}k}{ka_{i}} = \frac{\alpha}{p}$ où $\alpha$ est tel que $\frac{1}{k\times min_{i\in I}a_{i}}\leq\frac{\alpha}{p}\leq\frac{k\times min_{i\in I}a_{i} - 1}{k\times min_{i\in I}a_{i}}$.
En effet $\frac{n_{i}k}{ka_{i}} = \frac{\alpha}{p}\,\Leftrightarrow\,n_{i}p = a_{i}\alpha$, ce qui est impossible car $p$ premier avec $a_{i}\alpha$. C'est-à-dire que $a_{i}\alpha - n_{i}p \neq 0,\,\forall i\in I$.
Si $p\leq k$ on a $\frac{1}{k\times min_{i\in I}a_{i}}\leq\frac{\alpha}{p}\leq\frac{k\times min_{i\in I}a_{i} - 1}{k\times min_{i\in I}a_{i}}$ pour tout $\alpha$ entier allant de $1$ à $p - 1$.
On a $\frac{|a_{i}\alpha - n_{i}p|k}{p}\geq 1,\,\forall i\in I$, car $a_{i}\alpha - n_{i}p \neq 0,\,\forall i\in I$ et $\frac{k}{p}\geq 1$, et ceci pour tout $\alpha$ allant de $1$ à $p - 1$. On ne trouve alors pas de valeur de $x\in ]-1 ; 1[$ comme ci-dessus définie, et ceci quelque soit $a_{i},\,i\in I$.
C'est dire que $\frac{\alpha}{p}$ est un instant où $c_{i_{0}}$ est solitaire pour tout $\alpha$ allant de $1$ à $p - 1$.
Donc pour $\alpha\in\,[\![1, p - 1]\!],\,t_{i_{0}} = \frac{\alpha}{p}$ convient.
$\textbf{lemme}$ : Avec les notations précédentes, Si $p\leq k$, est un entier naturel premier avec tous les $a_{i},\,i\in I$, alors pour tout
$\alpha\in\,[\![1, p - 1]\!],\,\frac{\alpha}{p}$ est un instant où $c_{i_{0}}$ est solitaire.
$\textbf{Remarque}$ : On peut étendre et montrer par le mème raisonnement que si $p\leq k$ n'est diviseur d'aucun $a_{i},\,i\in I$, $t_{i_{0}} = \frac{1}{p}$ convient.
En effet on a $a_{i} - n_{i}p \neq 0,\,\forall\,i\in I$.
2) Sinon :
Soit $q$ un nombre entier naturel premier avec tous les $a_{i},\,i\in I$. Alors on a $q\,>\,k$. On prend dans chaque $a_{i}\,i\in I$ un facteur $q_{i}$ et on pose $p = q\prod_{i\in I}{q_{i}}$.
On pose $p = ak + m$ avec $a\geq 1$ entier naturel et $m$ entier naturel inférieur ou égal à $k - 1$.
Cherchons le nombre d'entiers naturels $\alpha$ tels que $\frac{1}{k\times min_{i\in I}a_{i}}\leq\frac{\alpha}{p}\leq\frac{k\times min_{i\in I}a_{i} - 1}{k\times min_{i\in I}a_{i}}$, c'est-à-dire tels que $\frac{p}{k\times min_{i\in I}a_{i}}\leq\alpha\leq\frac{p(k\times min_{i\in I}a_{i} - 1)}{k\times min_{i\in I}a_{i}}$.
L'intervalle $A = \big[\frac{p}{k\times min_{i\in I}a_{i}}\,;\,\frac{p(k\times min_{i\in I}a_{i} - 1)}{k\times min_{i\in I}a_{i}}\big]$ est de longueur $L = \frac{p(k\times min_{i\in I}a_{i} - 2)}{k\times min_{i\in I}a_{i}} = p - \frac{2p}{k\times min_{i\in I}a_{i}} = ak + m - \frac{2a}{min_{i\in I}a_{i}} - \frac{2m}{k\times min_{i\in I}a_{i}}$.
$\bullet$) Si $min_{i\in I}a_{i} = 1$.
$L = ak + m - 2a - \frac{2m}{k} = (k - 2)a + m - \frac{2m}{k}$. Donc le nombre d'entiers naturels $\alpha$ cherché est $\geq$ à $(k - 2)a$.
$\bullet$) Si $\min_{i\in I}a_{i} \geq 2$.
$L\geq ak + m - a - \frac{m}{k} = (k - 1)a + m - \frac{m}{k}$. Donc le nombre d'entiers naturels $\alpha$ cherché est $\geq$ à $(k - 1)a$.
a) Soit $min_{i\in I}a_{i} = 1$.
Alors $min_{i\in I}a_{i} - 1 = 0$. Il n'existe pas d'entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 et inférieur ou égal à 0. Donc il n'existe pas un entier naturel $n$ convenable tel que pour une valeur de $\alpha$, $\alpha\min_{i\in I}a_{i} - np = 0\,\textrm{ou}\,\pm 1\,\textrm{ou}\,\pm 2\cdots\,\textrm{ou}\,\pm a$.
Pour les $k - 2$ termes $a_{i},\,i\in I$ restants, $\alpha a_{i} - n_{i}p$ prend au plus les valeurs $0,\,\pm q_{i},\,\pm 2q_{i},\cdots,\pm m_{i}q_{i}$ avec $m_{i}q_{i}\leq a$, c'est-à-dire $m_{i}$ entier $\leq \frac{a}{q_{i}}$.
Les $a_{i}$ étant deux à deux différents, les $q_{i}$ peuvent etre choisis deux à deux différents.
Donc les $k - 2$ termes $a_{i},\,i\in I$ prennent au plus $k - 2 + 2(\frac{a}{2} + \frac{a}{3} + \cdots + \frac{a}{k - 2})$ valeurs de $\alpha$ tels que $\alpha a_{i} - n_{i}p = 0\, \textrm{ou}\,\pm 1\,\textrm{ou}\,\pm 2\cdots\,\textrm{ou}\,\pm a$.
$k - 2 + 2(\frac{a}{2} + \frac{a}{3} + \cdots + \frac{a}{k - 2})\, =\, k - 2 + 2a(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k - 2})$
$=\,k - 2 + 2a(H_{k - 2} - 1)$, où $H_{k - 2}$ est la $(k - 2)$ième somme partielle de la série harmonique $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots$.
On a que $H_{k - 2} \leq 1 + \ln(k - 2)$ c'est-à-dire $H_{k - 2} - 1 \leq \ln(k - 2)$, et donc $k - 2 + 2a(H_{k - 2} - 1)\leq k - 2 + 2a\ln(k - 2)$.
Montrons que $k - 2 + 2a\ln(k - 2)\,<\,(k - 2)a$ si $k\geq 3$.
On a $k - 2 + 2a\ln(k - 2)\,<\,(k - 2)a\,\Leftrightarrow\,\frac{\ln(k - 2)}{k - 2}\,<\,\frac{a - 1}{2a}$.
La fonction $x\mapsto \frac{\ln (x)}{x}$ est décroissante sur $[e\,;\,+\infty[$ et la fonction $x\mapsto \frac{x - 1}{2x}$ est croissante sur $]0\,;\,+\infty[$.
Si $k\geq 5$, on a alors $a\geq 2\times 3\times 4 = 24$ et donc $\frac{a - 1}{2a}\geq \frac{23}{48}$. On a $\frac{\ln (3)}{3}\,<\,\frac{23}{48}$, alors pour tout $k\geq 5$, on a $\frac{\ln(k - 2)}{k - 2}\leq\frac{\ln (3)}{3}\,<\,\frac{23}{48}\leq \frac{a - 1}{2a}$, c'est-à-dire $k - 2 + 2a\ln(k - 2)\,<\,(k - 2)a$.
Si $k = 4$, on a alors $a\geq 2\times 3 = 6$, et donc $\frac{a - 1}{2a}\geq \frac{5}{12}$. On a $\frac{\ln (2)}{2}\,<\,\frac{5}{12}$, alors pour $k = 4$, on a aussi $\frac{\ln(k - 2)}{k - 2}\,<\,\frac{a - 1}{2a}$, c'est-à-dire $k - 2 + 2a\ln(k - 2)\,<\,(k - 2)a$.
Et si $k = 3$, on a alors $a\geq 2$, et donc $\frac{a - 1}{2a}\geq \frac{1}{4}$. On a $\frac{\ln (1)}{1}\,<\,\frac{1}{4}$, alors pour $k = 3$, on a aussi $\frac{\ln(k - 2)}{k - 2}\,<\,\frac{a - 1}{2a}$, c'est-à-dire, $k - 2 + 2a\ln(k - 2)\,<\,(k - 2)a$.
C'est dire que pour $k\geq 3$, on a $k - 2 + 2a\ln(k - 2)\,<\,(k - 2)a$.
Sachant qu'on a un nombre inférieur à $k - 2 + 2a\ln(k - 2)$ valeurs de $\alpha$ telles qu'il existe $(a_{i}, n_{i}),\,i\in I$ tel que $|\alpha a_{i} - n_{i}p|\leq a$, il existe alors au moins une valeur de $\alpha$, soit $\alpha_{0}$ telle que $|\alpha_{0} a_{i} - n_{i}p|\,>\,a,\,\forall i\in I$. Et donc à l'instant $\frac{\alpha_{0}}{p}$, $c_{i_{0}}$ est solitaire. $t_{i_{0}} = \frac{\alpha_{0}}{p}$ convient.
b) Soit $min_{i\in I}a_{i}\geq 2$.
On a montré que le nombre de valeurs de $\alpha$ est $\geq$ à $(k - 1)a$.
En tenant le mème raisonnement que ci-dessus, il arrive qu'il y a un nombre $\leq$ à $k - 1 + 2a\ln(k - 1)$ valeurs de $\alpha$ telles qu'il existe $(a_{i}, n_{i}),\,i\in I$ tel que $|\alpha a_{i} - n_{i}p|\leq a$.
On a aussi comme ci-dessus $k - 1 + 2a\ln(k - 1)\,<\,(k - 1)a$ si $k\geq 3$.
En effet si $k\geq 4$, on a $a\geq 2\times 3\times 4 = 24$, et donc $\frac{\ln(k - 1)}{k - 1}\leq \frac{\ln (3)}{3}\,<\,\frac{23}{48}\leq \frac{a - 1}{2a}$, d'après les remarques sur les deux fonctions définies ci-dessus.
Et si $k = 3$, on a alors $a\geq 2\times 3$ et donc $\frac{\ln (2)}{2}\,<\,\frac{5}{12}\leq \frac{a - 1}{2a}$, d'après la remarque sur la fonction $x\mapsto \frac{x - 1}{2x}$.
Et alors pour tout $k\geq 3$, on a $\frac{\ln(k - 1)}{k - 1}\,<\,\frac{a - 1}{2a}$, c'est-à-dire, $k - 1 + 2a\ln(k - 1)\,<\,(k - 1)a$.
Sachant qu'on a un nombre inférieur à $k - 1 + 2a\ln(k - 1)$ valeurs de $\alpha$ telles qu'il existe $(a_{i}, n_{i}),\,i\in I$ tel que $|\alpha a_{i} - n_{i}p|\leq a$, il existe alors au moins une valeur de $\alpha$, soit $\alpha_{0}$ telle que $|\alpha_{0} a_{i} - n_{i}p|\,>\,a,\,\forall i\in I$, c'est-à-dire telle que $\frac{\alpha_{0}}{p}$ est un instant où $c_{i_{0}}$ est solitaire. $t_{i_{0}} = \frac{\alpha_{0}}{p}$ convient.
On a ainsi démontré que pour $k\geq 3$, pour $i_{0}\in [\![1, k]\!]$, il existe $p\in \mathbb{N}$ et au moins un entier $\alpha_{0}\in [\![1, p - 1]\!]$ tels qu'aux instants $\frac{\alpha_{0}}{p},\,\frac{\alpha_{0}}{p} + 1,\,\frac{\alpha_{0}}{p} + 2,\,\cdots$, $c_{i_{0}}$ est à une distance $\geq\frac{1}{k}$ de tous les autres coureurs. Par conséquent :
$\textbf{Théorème}$ :
Considérons $k\geq 3$ coureurs sur une piste circulaire de longueur 1. Au temps $t = 0$, tous les coureurs sont à la mème position et commencent à courir à des vitesses (entiers naturels) deux à deux distinctes.
Alors chaque coureur sera à une distance d'au moins $\frac{1}{k}$ de tous les autres coureurs à certains moments.
$\textbf{Conséquence}$ : Pour tout nombre de coureurs $k$, la conjecture est vraie.
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Réponses
Au début tu écris : les coureurs $ i_0$ et $i$ sont aux mêmes endroits aux temps $\displaystyle {n\over |v_{i_0}-v_i|}$ pour $n$ entier. C’est faux (*). Je ne lis pas la suite.
(*) Pour le coureur $i$, la distance parcourue est $\displaystyle |v_i |{1\over |v_{i_0}-v_i|}$ pour $n=1$ et le double pour $n=2$, la différence n’est pas égale à $1.$
Cordialement.
J'ai confirmé une erreur donc j'arrête ici. La différence ne vaut pas $1$ donc le coureur n'est pas au même endroit. Fais un dessin et une application numérique.
Tu peux raconter tes salades. Moi je t’aide en lisant ce qui tu as écrit et en démontrant que c’est faux.
Tu ferais mieux de corriger ta démonstration. Et de suivre mon conseil : dessin et application numérique.
Je n'ai jamais pensé qu'il puisse y avoir une ambiguïté sur ça, mais je vais mettre le pourquoi entre parenthèses dans le texte. Merci.
J'ai un peu de mal aussi à comprendre la remarque de YvesM. Les $v_i$ sont entiers, le problème est $1$-périodique, et tu cherches $t$ dans $[0,1[$, je ne vois pas où est le problème.
J'avoue que j'ai lu en diagonale car je trouve la mise en page un peu pénible, et les notations pourraient être simplifiées.
Je relève cependant que tu dis:
"Les $a_i$ étant deux à deux différents, les $q_i$ peuvent être choisis deux à deux différents."
C'est faux. Les vitesses sont distinctes mais les valeurs absolues des différences ne le sont pas nécessairement.
Aucune idée si ça a une incidence sur la suite de ta preuve.
Avec $v_a = 10, v_b=2$ on a $v_a-v_b = 8$ et donc le coureur $b$ a parcouru, aux temps ${n \over v_a-v_b}$, la distance $v_b {n \over v_a-v_b}$ qui vaut $2 {n \over 8} = {n \over 4}$ : et donc il est à l'origine en $n=0$, puis en $1/4$ en $n=1$, puis en $1/2$ en $n=2$... et donc il n'est pas au même endroit pour les temps $n.$
Je passe mon chemin. Bonne continuation.
@YvesM, il faut pas avoir des idées arrêtées ! Ou bien, si tu ne lis pas mes réponses, c'est pas la peine de répliquer pour dire la mème chose. Et si tu ne peux pas lire cette preuve avec plaisir et esprit critique, ben ne la lis pas.
@i.zitoussi, tu as raison. Je pensais avoir évacué cette possibilité plus haut. Je constate que non (je vais y remédier). En fait, il est possible que certains $a_i$ soient deux à deux égaux. Mais si c'est le cas pour deux $a_i$, l'étude revient à $k - 1$ coureurs, parce que ces deux $a_i$, correspondent à deux coureurs qui sont à une distance $\geq \frac1k$ de $c_{i_{0}}$ aux mêmes instants. Merci.
Cordialement.
Voici une application de cette démonstration constructive sur un exemple que j'ai déjà traité d'une bien autre manière dans un autre fil de ce forum.
Considérons le cas de $k = 8$ coureurs $c_{1}, c_{2},\cdots, c_{8}$ de vitesses respectives $v_{1} = 1$, $v_{2} = 4$, $v_{3} = 8$, $v_{4} = 13$, $v_{5} = 20$, $v_{6} = 30$, $v_{7} = 47$, $v_{8} = 100$.
$\bullet$ Soit $v_{i_{0}} = v_{1} = 1$.
On a alors $a_{2} = 3,\,a_{3} = 7,\,a_{4} = 12 = 2^{2}\times 3,\,a_{5} = 19$, $a_{6} = 29$, $a_{7} = 46 = 2\times 23$, $a_{8} = 99 = 3^{2}\times 11$.
$p = 5$ est un nombre entier $\leq k = 8$ et premier avec tous les $a_{i}$. Donc d'après le lemme $\frac{1}{5},\,\frac{2}{5},\,\frac{3}{5}$, et $\frac{4}{5}$, sont des instants où $c_{1}$ est solitaire.
Vérifions pour $t_{i_{0}} = \frac{1}{5}$. On a, en notant $d_{i}$ la distance parcourue par $c_{i}$ sur la piste circulaire :
$d_{1} = \frac{1}{5},\,d_{2} = \frac{4}{5},\,d_{3} = \frac{8}{5} = 1 + \frac{3}{5}$, $d_{4} = \frac{13}{5} = 2 + \frac{3}{5}$, $d_{5} = \frac{20}{5} = 4$, $d_{6} = \frac{30}{5} = 6$, $d_{7} = \frac{47}{5} = 9 + \frac{2}{5}$ et $d_{8} = \frac{100}{5} = 20$.
On voit bien que $c_{1}$ est à une distance égale à $\frac{1}{5}\,>\,\frac{1}{8}$ des coureurs les plus proches.
$\bullet$ Soit $v_{i_{0}} = v_{2} = 4$.
On a alors $a_{1} = 3,\,a_{3} = 2^{2},\,a_{4} = 3^{2},\,a_{5} = 2^{4}$, $a_{6} = 2\times 13$, $a_{7} = 43$, $a_{8} = 2^{5}\times 3$.
Là aussi $p = 5$ est un nombre entier $\leq k = 8$ et premier avec tous les $a_{i}$. Donc d'après le lemme $\frac{1}{5},\,\frac{2}{5},\,\frac{3}{5}$ et $\frac{4}{5}$, sont des instants où $c_{2}$ est solitaire.
Vérifions pour $t_{i_{0}} = \frac{1}{5}$. On a, en notant $d_{i}$ la distance parcourue par $c_{i}$ sur la piste circulaire :
$d_{1} = \frac{1}{5},\,d_{2} = \frac{4}{5},\,d_{3} = \frac{8}{5} = 1 + \frac{3}{5}$, $d_{4} = \frac{13}{5} = 2 + \frac{3}{5}$, $d_{5} = \frac{20}{5} = 4$, $d_{6} = \frac{30}{5} = 6$, $d_{7} = \frac{47}{5} = 9 + \frac{2}{5}$ et $d_{8} = \frac{100}{5} = 20$.
On voit bien que $c_{2}$ est à une distance égale à $\frac{1}{5}\,>\,\frac{1}{8}$ des coureurs les plus proches.
$\bullet$ Soit $v_{i_{0}} = v_{3} = 8$.
On a alors $a_{1} = 7,\,a_{2} = 2^{2},\,a_{4} = 5,\,a_{5} = 2^{2}\times 3$, $a_{6} = 2\times 11$, $a_{7} = 3\times 13$, $a_{8} = 2^{2}\times 23$.
On ne trouve pas de nombre entier naturel $\leq 8$ et premier avec tous les $a_{i}$, mais 8 n'est diviseur d'aucun $a_{i}$, donc d'après la remarque; à l'instant $t_{i_{0}} = \frac{1}{8}$, le coureur $c_{3}$ est solitaire. En effet, on a :
$d_{1} = \frac{1}{8}$, $d_{2} = \frac{4}{8}$, $d_{3} = \frac{8}{8} = 1$, $d_{4} = \frac{13}{8} = 1 + \frac{5}{8}$, $d_{5} = \frac{20}{8} = 2 + \frac{4}{8}$, $d_{6} = \frac{30}{8} = 3 + \frac{6}{8}$, $d_{7} = \frac{47}{8} = 6 + \frac{7}{8}$, $d_{8} = \frac{100}{8} = 12 + \frac{4}{8}$.
On voit bien que $c_{3}$ est à une distance égale à $\frac{1}{8}$ des coureurs les plus proches.
$\bullet$ Soit $v_{i_{0}} = v_{4} = 13$.
On a alors $a_{1} = 2^{2}\times 3,\,a_{2} = 3^{2},\,a_{3} = 5,\,a_{5} = 7$, $a_{6} = 17$, $a_{7} = 2\times 17$, $a_{8} = 3\times 29$.
Là aussi on ne trouve pas de nombre entier naturel $\leq 8$ et premier avec tous les $a_{i}$, mais 8 n'est diviseur d'aucun $a_{i}$, donc d'après la remarque, à l'instant $t_{i_{0}} = \frac{1}{8}$, le coureur $c_{4}$ est solitaire. En effet, on a :
$d_{1} = \frac{1}{8}$, $d_{2} = \frac{4}{8}$, $d_{3} = \frac{8}{8} = 1$, $d_{4} = \frac{13}{8} = 1 + \frac{5}{8}$, $d_{5} = \frac{20}{8} = 2 + \frac{4}{8}$, $d_{6} = \frac{30}{8} = 3 + \frac{6}{8}$, $d_{7} = \frac{47}{8} = 6 + \frac{7}{8}$, $d_{8} = \frac{100}{8} = 12 + \frac{4}{8}$.
On voit bien que $c_{4}$ est à une distance égale à $\frac{1}{8}$ des coureurs les plus proches.
$\bullet$ Soit $v_{i_{0}} = v_{5} = 20$.
On a alors $a_{1} = 19,\,a_{2} = 2^{4},\,a_{3} = 2^{2}\times 3,\,a_{4} = 7$, $a_{6} = 2\times 5$, $a_{7} = 3^{3}$, $a_{8} = 2^{4}\times 5$.
Dans ce cas on ne peut pas utiliser le lemme, ni la remarque. $q = 11$ est un nombre entier naturel premier avec tous le $a_{i}$.
On pose alors $p = 11\times\prod_{i\in I}{q_{i}} = 11\times 19\times 2\times 3\times 7\times 5\times 3^{2}\times 2^{2} = 1580040$.
$min_{i\in I}a_{i} = 7$.
$\frac{1}{8\times 7}\leq \frac{\alpha}{1580040}\leq \frac{8\times 7 - 1}{8\times 7}\,\Leftrightarrow\,28215\leq \alpha\leq 1551825$.\\
$\frac{p}{k} = a = \frac{1580040}{8} = 197505$. On a $max_{i\in I}a_{i} = a_{8} = 2^{4}\times 5$ et $28215\times max_{i\in I}a_{i} - p = 28215\times2^{4}\times 5 - 1580040 = - 677160\,<\,- a = - 197505$. Donc $28215\times a_{i} - n_{i}p\,<\,- a,\,\forall i\in I$ (c'est-à-dire $|28215\times a_{i} - n_{i}p|\,>\,a,\,\forall i\in I$). On a ainsi trouvé que $\alpha_{0} = 28215$ est une valeur convenable, au sens qu'à l'instant $t_{i_{0}} = \frac{\alpha_{0}}{p} = \frac{28215}{1580040} = \frac{1}{56}$ le coureur $c_{5}$ est solitaire.
En effet on a :
$d_{1} = \frac{1}{56}$, $d_{2} = \frac{4}{56}$, $d_{3} = \frac{8}{56}$, $d_{4} = \frac{13}{56}$, $d_{5} = \frac{20}{56}$, $d_{6} = \frac{30}{56}$, $d_{7} = \frac{47}{56}$, $d_{8} = \frac{100}{56} = 1 + \frac{44}{56}$.
On voit bien que $c_{4}$ est le coureur le plus proche de $c_{5}$ et il est à une distance égale à $\frac{1}{8}$ de $c_{5}$.
$\bullet$ Soit $v_{i_{0}} = v_{6} = 30$.
On a alors $a_{1} = 29,\,a_{2} = 2\times 13,\,a_{3} = 2\times 11,\,a_{4} = 17$, $a_{5} = 2\times 5$, $a_{7} = 17$, $a_{8} = 2\times 5\times 7$.
$p = 3$ est un nombre entier $\leq k = 8$ et premier avec tous les $a_{i}$. Donc d'après le lemme $\frac{1}{3}\,\textrm{et}\,\frac{2}{3}$ sont des instants où $c_{6}$ est solitaire.
Vérifions pour $t_{i_{0}} = \frac{2}{3}$. On a :
$d_{1} = \frac{2}{3}$, $d_{2} = \frac{8}{3} = 2 + \frac{2}{3}$, $d_{3} = \frac{16}{3} = 5 + \frac{1}{3}$, $d_{4} = \frac{26}{3} = 8 + \frac{2}{3}$, $d_{5} = \frac{40}{3} = 13 + \frac{1}{3}$, $d_{6} = \frac{60}{3} = 20$, $d_{7} = \frac{94}{3} = 31 + \frac{1}{3}$ et $d_{8} = \frac{200}{3} = 66 + \frac{2}{3}$.
On voit bien que $c_{6}$ est à une distance égale à $\frac{1}{3}\,>\,\frac{1}{8}$ des autres coureurs.
$\bullet$ Soit $v_{i_{0}} = v_{7} = 47$.
On a alors $a_{1} = 2\times 23,\,a_{2} = 43,\,a_{3} = 3\times 13,\,a_{4} = 2\times 17,\,a_{5} = 3^{3}$, $a_{6} = 17$, $a_{8} = 53$.
Là aussi $p = 5$ est un nombre entier $\leq k = 8$ et premier avec tous les $a_{i}$. Donc d'après le lemme $\frac{1}{5},\,\frac{2}{5},\,\frac{3}{5}$ et $\frac{4}{5}$ sont des instants où $c_{7}$ est solitaire.
Vérifions pour $t_{i_{0}} = \frac{3}{5}$. On a :
$d_{1} = \frac{3}{5},\,d_{2} = \frac{12}{5} = 2 + \frac{2}{5},\,d_{3} = \frac{24}{5} = 4 + \frac{4}{5}$, $d_{4} = \frac{39}{5} = 7 + \frac{4}{5}$, $d_{5} = \frac{60}{5} = 12$, $d_{6} = \frac{90}{5} = 18$, $d_{7} = \frac{141}{5} = 28 + \frac{1}{5}$ et $d_{8} = \frac{300}{5} = 60$.
On voit bien que $c_{7}$ est à une distance égale à $\frac{1}{5}\,>\,\frac{1}{8}$ des coureurs les plus proches.
$\bullet$ Soit $v_{i_{0}} = v_{8} = 100$.
On a alors $a_{1} = 3^{2}\times 11,\,a_{2} = 2^{5}\times 3,\,a_{3} = 2^{2}\times 23$, $a_{4} = 3\times 29$, $a_{5} = 2^{4}\times 5$, $a_{6} = 2\times 5\times 7$, $a_{7} = 53$.
Dans ce cas on ne peut pas utiliser le lemme, ni la remarque. $q = 13$ est un nombre entier naturel premier avec tous les $a_{i}$.
On pose alors $p = 13\times(\prod_{i\in I}{q_{i}}) = 13\times (11\times 2\times 2^{2}\times 3\times 5\times 7\times 53) = 6366360$.
$min_{i\in I}a_{i} = 53$.
$\frac{1}{8\times 53}\leq \frac{\alpha}{6366360}\leq \frac{8\times 53 - 1}{8\times 53}\,\Leftrightarrow\,15015\leq \alpha\leq 6351345$.
$\frac{p}{k} = a = \frac{6366360}{8} = 795795$. On a $\max_{i\in I}a_{i} = a_{1} = 3^{2}\times 11$ et $15015\times max_{i\in I}a_{i} - p = 15015\times 3^{2}\times 11 - 6366360 = - 4879875\,<\,- a = - 795795$. Donc $15015\times a_{i} - n_{i}p\,<\,- a,\,\forall i\in I$ (c'est-à-dire $|15015\times a_{i} - n_{i}p|\,>\,a,\,\forall i\in I$). On a ainsi trouvé que $\alpha_{0} = 15015$ est une valeur convenable, au sens qu'à l'instant $t_{i_{0}} = \frac{\alpha_{0}}{p} = \frac{15015}{6366360} = \frac{1}{424}$ le coureur $c_{8}$ est solitaire.
En effet on a :
$d_{1} = \frac{1}{424}$, $d_{2} = \frac{4}{424}$, $d_{3} = \frac{8}{424}$, $d_{4} = \frac{13}{424}$, $d_{5} = \frac{20}{424}$, $d_{6} = \frac{30}{424}$, $d_{7} = \frac{47}{424}$, $d_{8} = \frac{100}{424}$.
On voit bien que $c_{7}$ est le coureur le plus proche de $c_{8}$ et il est à une distance égale à $\frac{1}{8}$ de $c_{8}$.
Cordialement.
Ce décalage sur la piste circulaire est égal à $\ \ \ \frac{1}{k} \ \ \ $pour la première fois à l'instant $ \ \ \ \frac{1}{k|v_{i_0}-v_{i}|} \ \ \ $ et il reste supérieur à $\ \ \ \frac{1}{k} \ \ \ $ jusqu'à l'instant $ \ \ \ \frac{k-1}{k|v_{i_0}-v_i|} \ \ \ $.
Donc les instants $ \Big[ \frac{1}{k|v_{i_0}-v_i|};\frac{k-1}{k|v_{i_0}-v_i|} \Big] $sont les premiers intervalles de temps où
$c_{i_0}$ est à une distance supérieure ou égale à $\ \ \frac{1}{k} \ \ \ $ de $c_i$.
Je ne rentre pas dans le détail du vocabulaire utilisé, ce doit être un léger problème de traduction en français mais c’est très accessoire et ce n’est pas le problème reproché.
Mon propos : une conjecture est une affirmation sans preuve.
Vouloir démontrer une conjecture grâce à des affirmations sans preuve, c’est bien étrange !
Réfléchis un peu..
Je te démontre qu’il n’y a pas de maths.
C’est ce que tu voulais, non ?
Réponds précisément : on a des maths dans cet extrait ou pas ?
Tu es coincé mon pauvre.
Et vu comme tu traites tes contradicteurs, tu comprendras qu’on ne te réponde pas beaucoup.
C'est quand même un gros mensonge ! Justement, tu avais tout à fait besoin de le dire, sinon tu ne l'aurais pas écrit. Tu croyais à ce moment-là que c'était utile pour "faire mathématique".
Et c'est normal que ça t'arrive, tu ne fais pas des preuves mathématiques, tu écris des baratins pseudo-mathématiques. Tu ne sais pas ce que ça signifie de prouver, tu imites ce que tu ne comprends pas.
Tu arrives à pied au départ du Tour de France cycliste et tu ne comprends pas pourquoi les autres rigolent ...
Allez je reprends calmement pour t’éclairer.
Le veux-tu ?
On parle de distance dans cette conjecture, tu dois donc bien savoir ce que c’est et me l’expliquer.
Prenons deux coureurs sur un cercle de longueur 1.
Qu’est-ce que la distance entre ces deux coureurs ?
Je t’écoute. Ce n’est pas inutile là. C’est tout à fait dans le sujet.
À quel endroit l’évoques-tu dans ta « preuve » ?
@Dom de quelle évidence faudrait-il parler ?
Lui ne va pas perdre son temps à lire des choses qui ne sont pas de maths (sans être son porte-parole).
Bah... je ne comprends pas. Ces distances n’étant pas tout simplement $|d_1(t)-d_2(t)|$, tu devrais pouvoir me dire à quel moment tu utilises la bonne distance.
Par exemple, quand tu prends deux points sur le cercle, tu peux très bien affirmer que le grand arc est plus grand que 1/k mais sans être sûr que le petit arc est aussi plus grand que 1/k. Mince alors. Mais y as-tu pensé un seul instant ?
Dans ce cas, on devrait l’évoquer dans une preuve digne de ce nom....
Sauras-tu proposer une « formule » pour cette distance qui n’est pas une simple valeur absolue comme sur un segment ?
Il n'y a aucun problème de segment, de ligne brisée ou de ligne courbe ; on travaille avec les vitesses.
@Dom soit modeste, dis simplement que tu ne comprends pas la démo !
Quand personne ne comprend la démonstration, ce n'est pas la personne A qui doit se remettre en cause, mais l'auteur de la démonstration.
Ton texte ne mentionne pas cette distance particulière (on est sur un cercle).
Tu écris « supérieur à 1/k » sans savoir si tu parles du grand cercle ou du petit.
Ça pose question.
Sois modeste et essaye avec $k=3$.
Nouveau défi : démontre cette conjecture pour $k=3$ proprement et sans détour.
Je sais déjà que tu ne sais pas énoncer cette conjecture proprement, ça aussi ça pose question.
Tu affirmes savoir démontrer ce que tu ne sais même pas énoncer.
Une autre remarque : le fait qu'on puisse considérer des vitesses à valeurs entières sans perte de généralité n'est pas évident : voir le lemme 8 à la page 13 de ce document.
Ça permet de chercher les instants $t$ de chacun entre t=0 et t= le nouveau temps de synchronisation.
Ça peut être une piste arithmétique.
Mais sans les rationnels, il n’existe pas nécessairement de moment de synchronisation.
Cela dit la continuité du problème (à formuler) invite à un raisonnement de densité.
J’adorerais voir le cas $k=3$.
Une piste pour babsgueye : applique ton « raisonnement » avec $k=3$.
Pourquoi voudrais-tu que je parle spécifiquement du cas particulier $k = 3$, qui a été résolu à la naissance du problème, alors que je t'ai fait une démonstration dans le cas général, puis je t'ai gratifié d'un exemple pour le cas $k = 8$ (note que le problème a été durant des années résolu jusqu'au cas $k = 7$). J'ai certainement pas entrepris la mème démarche (que je connais toujours pas) que ceux qui ont résolu ces cas particuliers.
Par une méthode constructive, j'ai montré que la conjecture est vrai quelque soit $k$ nombre de coureurs (mon raisonnement te certifie alors que si tu as trois coureurs, pour chaque coureurs , il existe des moments où il sera à une distance égale à au moins $\frac13$ de tous les autres coureurs). Celà veut dire que quekque soit l'exemple à trois coureurs que tu pourras me sortir, je pourrais te donner les instants convenables.
C'est pas moi qui ai dit cette assertion. Mais le document m'intéresse bien. Je le lirai. Merci
Là, tu ne peux pas t’échapper.
Rédige la preuve que tu as écrite pour $k=3$ et tu vas voir où est le problème.
Je t’attends de pied ferme.
Vas-tu t’échapper ?
Je trouve $a_{2} = 1, a_{3} = 2, a_{4} = 3, a_{5} = 4, a_{6} = 5, a_{7} = 6, a_{8} = 7$
mais je ne peux pas choisir de $p$ comme dans ton lemme car il n'y en a aucun qui est premier avec les $a_i$. Je fais comment ?
Essaies d'abord de comprendre la preuve. J'ai l'impression que tu ne me lis pas avec intelligence mais plutôt avec des idées arrêtées. Tu me fais vraiment perde mon temps en ces moments.
Je ne sais faire que des maths dans ce fil.
Essaye de rester honnête.
Prouve que tu parles bien de la bonne distance (tu ne comprends peut-être pas ce que je dis...)
Tu t’échappes oui, c’est misérable.
Ce n’est pas moi qui cherche de la crédibilité, c’est toi.
Rédige ta preuve pour $k=3$ (est-ce trop difficile pour toi de l’adapter ?).
Tu verras les problèmes.
Je pense que c'est un lapsus. Il voulait parler d'arc de cercle le plus grand et arc de cercle le plus petit.
J'en suis même certain, pas besoin d'être devin pour le comprendre, il faut juste de la bonne volonté.
Celui qui démontre la conjecture exclusivement pour le cas $k = 3$ (quelqu'un a déjà fait), n'adopte ta certainement pas la même méthode que moi. Ce que tu peux me demander, c'est appliquer ma méthode pour un cas quelconque avec $k = 3$, comme @raoul.S a fait. Je te l'ai déjà signifie et tu insste.
@raoul.S je viens de voir ta question. Je suis dehors en ce moment, mais si tu ne peux pas appliquer le même, propose une méthode plus generale indépendante du lemme
Tu l'as pas vu ou tu n'arrive pas à l'appliquer ?
@lourrran si c'était moi qui avait fait ce soi-disant lapsus, je suis sur que ta réaction serait tout autre, pourquoi ?
PS : de mon telephone
Applique TOI-MÊME ta méthode à $k=3$.
Tu n’arrives pas à comprendre dans un cas plus générale. Tous ceux qui ont voulu t’aider à te montrer que ça ne marchait pas n’y sont pas parvenus parce que tu ne comprends pas tes propres erreurs. Tu as la tête dans le guidon et n’arrives pas à voir les problèmes pour tout $k$.
Tu dis qu’elle est valable pour $k=3$, alors tu dois pouvoir la recopier non pas bêtement mais scrupuleusement et tu tomberas TOUT SEUL sur les problèmes de TA preuve.
Surtout, garde tes vitesses quelconques dans un premier temps.
Tous c'est qui ? Toi, toi et encore toi.
Mais qui si tu as surement détecté un problème en pensant comprendre la démonstration et ta question, ne peux-tu pas simplement le signaler clairement (ce serait la bonne question !) devant tout le monde une bonne fois, si tu n'es pas satisfait de mes réponses. Ce serait plus pratique si tu voulais pas passer ton temps à compter le nombre de tes messages. Ou bien, si tu es retraité, moi je le suis pas encore... j'ai autre chose à faire.
PS : je te signale que ça fait plus de huit mois que j'ai soumis cet article pour publication dans une revue de bonne renommée française, et que j'ai des raisons de croire que ce qu'y est écrit est au moins sérieux contrairement à ce que tu prétends tout le long de ce dialogue.
J’ai essayé pourtant de pointer des problèmes dans cette « démonstration ». Tu as l’air de croire que je cherche à t’embêter, à t’embrouiller et que je fais semblant de trouver des erreurs...
Cette histoire de distance par exemple... qui n’est pas qu’une simple valeur absolue quand on se balade sur un cercle.
Mais tu bottes en touche, tu m’envoies paître.
Reprenons :
Tu dis dès le début : (Je note avec des indices 1 et 2 pour aller plus vite, si ça ne te dérange pas.)
« $|v_1-v_2|$ est la vitesse de décalage ».
1) Ça c’est constant, n’est-ce pas ?
Puis tu dis :
« Ce décalage sur la piste circulaire est égal à 1/k pour la première fois à ... »
2) Donc, ce décalage, il varie en fait ?
J’ai mis gras et j’ai souligné moi-même.
Vois-tu que c’est au moins mal dit ?
Tu appelles un truc constant $|v_1-v_2|$ un truc qui serait égal à 1/k à un moment donné...
Je crois que j’ai compris ce que tu voulais dire (et écrire) mais tu n’as certainement pas voulu l’écrire comme ça puisque tu réfléchis.
Est-ce à moi de modifier ton texte pour le rendre intelligible ou bien est-ce à toi d’accepter que c’est au moins mal dit et de le modifier ?
Je veux bien que tu me dises pour les questions 1) et 2) si c’est oui ou non...
[small]Je retourne à la fête...avec gestes barrières et précautions...[/small]
1) Oui, elle est constante. Et ça te gène qu'une vitesse soit constante ?
2) C'est pas parce qu'une vitesse est constante que la distance parcourue va rester constante. Tu dois pas être excellent en physique @Dom, regarde bien ce que j'ai écrit. Quel problème tu pointes ici ?
Je te comprends pas là.
Quel culot !!! Et j’aurais des problèmes en physique ?
Tu vois que c’est toi qui méprises l’autre. C’est toi qui n’est pas clair.
Maintenant que tu parles de distances :
Quelle est la distance entre le coureur 1 et le coureur 2 ?
Je t’écoute...
Quand ?
Ha bon ? Si je multiplie par $t$ et que j’obtiens 4,789, alors la distance est 0,789 ?
Merci on s’approche de MON « CQFD » (:P)
L'assertion mathématique la plus proche de la phrase précédente me semble être :
Il n'existe pas d'entier naturel $n$ tel que $\exists \alpha\in \N$, $\alpha ({\mathrm{min}}_{i\in I}a_i)-np \in \{-a,-a+1,\ldots,a-2,a-1,a\}$.
Mais cette assertion est fausse.
D'un autre côté je n'ai pas tenu compte du mot "convenable". Est-ce que ce mot signifiait quelque chose mathématiquement ?