Une idée pour la conjecture de Syracuse

rondo · October 2020

Bonjour,

@claude quitté
Désolé pour l'erreur, j'ai répondu trop vite.

rondo · October 2020

Bonjour,

@depasse
Je comprends que tu te sois exaspéré : effectivement, une réalité arithmétique ne saurait dépendre de la base dans laquelle on l'écrit.
Ceci dit, je pense qu'il faut distinguer d'un côté les assertions arithmétiques et de l'autre côté la facilité de les aborder.
Je le montre avec deux exemples.

Premier exemple
Cent vingt-cinq est une puissance de cinq quelle que soit la base dans laquelle on l'exprime :$$
125_{10} \text{ est une puissance de cinq} \\
1111101_{2} \text{ est une puissance de cinq} \\
236_{7} \text{ est une puissance de cinq}
$$ Mais cela est plus facile à voir dans une base particulière, la base $5$ : $1000_{5}$

Deuxième exemple
Considérons la fonction $f$ définie sur les entiers naturels non nuls comme suit : $$
f(n) = \begin{cases}
n - 1 & \text{ si } n \text{ est impair } \\
n/2 & \text{ si } n \text{ est pair }
\end{cases}
$$ On veut savoir, pour un nombre donné $n$, le plus petit entier $i$ tel que $f^i(n) = 1$.
La solution ne change pas selon qu'on écrit les nombres dans une base ou l'autre. Mais elle est plus facile à exprimer en base 2. Voici la solution.$\phantom{1_{\LARGE p}}$
$\hspace{1cm}$Soit $n$ le nombre de départ, soit $s$ son écriture binaire, soit $h$ la longueur de $s$, soit $k$ le nombre de bits à un dans $s$,
$\hspace{1cm}$le nombre d'itérations nécessaires est : $h + k - 2$.
$\hspace{1cm}$Par exemple, en partant de $11$, il faut itérer $f$ $5$ fois pour obtenir $1$.

Application : Il me semble que les bases 2, 3 et 6 pourraient faciliter une avancée sur la conjecture de Syracuse car ce problème fait intervenir la division par 2 et la multiplication par 3.

[Utilisateur supprimé] · October 2020

il y a quelque chose que je ne comprends pas dans la conjecture de Syracuse
l’idée ses pourquoi je finis toujours par 1,2,1 donc cela implique que je ne peux à
construire un nombre négatif bon ici c'est trivial

et que quelle que soit la valeur de départ je ne rencontre aucun cycle perpétuel
donc

la suite nv/2 si pair et (3nv+1)/2 si impair

nv sur 2 je m'en fous, lui il sera toujours décroisant

(3nv+1)/2 = nombre pair donc sur 2 op j'ai (3nv+1)/4 donc ses décroissant
(3nv+1)/2 = nombre impair il et décroissant sur n op

donc la question ses existe t'il plusieurs enchainement de séquence différence qui donne la mème valeurs
si oui ben j'ai un cycle ,si non ta pas le choix tu ira vers 1

$125135.....1215,op,op,op,op....pivot_1,op,op,op,.....,pivot_2,op;op,op,op...pivot_1$
$pivot1=\frac{3\cdot\frac{\frac{3\cdot nv +1}{2}}{2}+1}{..}\cdots=\frac{\frac{pivot_2}{2}...}{...}$
$125135.....1215\ne pivot_2$

ou mieux et ces probablement plus simple quoi que... a partir de

$pivot_1,op,op,op,.....,pivot_2,op;op,op,op...pivot_1$
$pivot_2,op;op,op,op...pivot_1$

donc si ce type de séquence existe cela veux dir que je peux simplifier
$pivot_1,op,op,op,.....,pivot_2,op;op,op,op...pivot_1$ en $pivot_2,op;op,op,op...pivot_1$

ces bien cela la question ?

cdl remy

depasse · October 2020

Bonjour,

content de ce fil.

Je m'étais certes promis de ne jamais plus intervenir dans un fil autour de Syracuse, mais celui-ci m'a semblé plus intéressant que tous les autres dont je me suis fait, peut-être à tort, une idée très négative dès les deux premiers post. La participation de Claude m'autorise à penser que je n'ai pas mauvais goût.

Merci à rondo et Claude pour leurs réponses à mon dernier post.

Je réponds ici à rondo au sujet de son "$cent-vingt-cinq$":

D'abord, si $cent-vingt-cinq$ est une puissance de $cinq$ ,c'est uniquement parce que

$cent-vingt-cinq=un \times cinq \times cinq \times cinq$;

Ensuite, mais ensuite seulement, on peut coder cette dernière "universelle égalité" dans la "(langue) base $cinq$":

$(cent-vingt-cinq )_{cinq} = 1000$;

Enfin, mais enfin seulement, étant donné un quelconque problème d'arithmétique, on est en droit d'imaginer

qu'il existe une (ou plusieurs) "(langue) base" via lesquelles on tordra le cou du problème;

ce droit d'imaginer ça est le droit à l'absurde:

je réponds la provocation de l'ami rondo:

Quand tu dis que $1000$ est l'écriture de $cent-vingt-cinq$ en base $cinq$, c'est que tu sais déjà (synonyme: dès avant) que

$cent-vingt-cinq$ est une puissance de $cinq$.

Après, il est clair que traduire un énoncé universel dans une base particulière peut "donner des idées" qu'on n'aurait pas eues via une autre base. Mais la fécondité de ces idées est sans rapport avec la base qui les a provoquées.

Edit: après avoir posté, je vois que Aumeunier s'est invité sur ce fil de rondo. Il a le droit, mais ça me déplaît :-D: j'aimais bien ce fil

rondo · October 2020

claude quitté a écrit:

Comme l'impression, que dans la suite modifiée, chaque terme ``a plus de mémoire''.

J'ai la même impression. Je dirais qu'avec le terme numéro $i$ de la suite modifiée, on a une légère indication sur le $i$-uplet $(v_2(n), v_2(3a_1+1), \ldots, v_2(3a_{i-1}+1)$: on en connaît la somme.

rondo · October 2020

depasse a écrit:

D'abord, si $cent-vingt-cinq$ est une puissance de $cinq$ ,c'est uniquement parce que
$cent-vingt-cinq=un \times cinq \times cinq \times cinq$;
Ensuite, mais ensuite seulement, on peut coder cette dernière "universelle égalité" dans la "(langue) base $cinq$":
$(cent-vingt-cinq )_{cinq} = 1000$;
[$\ldots$]
Quand tu dis que $1000$ est l'écriture de $cent-vingt-cinq$ en base $cinq$, c'est que tu sais déjà (synonyme: dès avant) que
$cent-vingt-cinq$ est une puissance de $cinq$.
Après, il est clair que traduire un énoncé universel dans une base particulière peut "donner des idées" qu'on n'aurait pas eues via une autre base.

Je suis tout à fait d'accord. :-)

rondo · October 2020

$\DeclareMathOperator*{\delt}{\LARGE\lower0.8ex\bigtriangleup}$$\DeclareMathOperator*{\deltp}{\;\;\;\Delta\;\;\;}$Bonjour,
Comme promis, pour qu'on puisse se rendre compte de ce que fait la fonction $\varphi$, je donne ici un exemple de calcul avec cette fonction.

Supposons qu'on veuille calculer $\varphi(\;\{1,2,6\}\;)$. Le résultat est une autre fonction, disons $g$, c'est-à-dire que $\varphi(\;\{1,2,6\}\;) = g$.
Que vaut, par exemple, $g(11)$ ? $$
\begin{array}{lll}
g(11) & = & \delt_{A \in \{1,2,6\}} \bigcap_{a \in A} 2^a11 \\
& = & \bigcap_{a \in 1} 2^a11 \deltp \bigcap_{a \in 2} 2^a11 \deltp \bigcap_{a \in 6} 2^a11 \\
& = & \bigcap_{a \in \{0\}} 2^a11 \deltp \bigcap_{a \in \{1\}} 2^a11 \deltp \bigcap_{a \in \{1,2\}} 2^a11 \\
& = & 2^011 \deltp 2^111 \deltp (2^111 \cap 2^211) \\
& = & 11 \deltp 22 \deltp (22 \cap 44) \\
& = & 11 \deltp 22 \deltp 4 \\
& = & 25 \\
\end{array}
$$ Si on veut l'implémenter en python, on pourra écrire, par exemple, "g = lambda X: X ^ 2*X ^ (2*X & 4*X)".

Voici quelques autres valeurs de $g$: $$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X & 1 & 3 & 5 & 9 & 13 & 17 & 21 & 33 & 37 & 39 \\
\hline
g(X) & 3 & 1 & 15 & 27 & 7 & 51 & 63 & 99 & 111 & 101 \\
\hline
\end{array}
$$

claude quitté · October 2020

Bonjour Rondo,

Pour l'instant, je suis en stand-by. J'attends que des choses se décantent. Je louche sur les $a,b$ de Paul et sur le programme Python correspondant que tu as écrit (avec les deux chaînes en dur). Pas envie de me précipiter. Et après tout, j'apprécie le fait qu'il n'y ait pas une avalanche de posts.

Je n'ai toujours pas lu tes premiers posts sur $\varphi$ (idem, j'attends d'en avoir envie...etc..). Ce n'est pas une raison pour ne pas écrire une petite fonction

[color=#000000]Phi126 := function(n)
  //          ... 4 3 2 1 0
  // 1 =   (0)_2          |    -->   {0}
  // 2 =  (10)_2        |      -->   {1}
  // 6 : (110)_2      | |      --> {2,1}
  return BitwiseXor(BitwiseXor(2^0*n, 2^1*n), m) where m is BitwiseAnd(2^2*n,2^1*n) ;
end function ;
[/color]

Ce qui donne

[color=#000000]> X := [1,3,5,9,13,17,21,33,37,39] ;                                   
> [Sprintf("%3o", n) : n in X] ; [Sprintf("%3o", Phi126(n)) : n in X] ;
[   1,   3,   5,   9,  13,  17,  21,  33,  37,  39 ]
[   3,   1,  15,  27,   7,  51,  63,  99, 111, 101 ]
[/color]

claude quitté · October 2020

Rondo, suite
Pas encore lu $\varphi$ ! Cela ne m'empêche pas de l'implémenter. J'ai sécurisé mes affaires (via typage) le plus possible mais, en cas de besoin, on peut être encore plus féroce. Je ne me suis absolument pas soucié d'efficacité pour l'instant.

D'abord un petit exemple d'exécution

[color=#000000]> g := RondoPhi({1,2,6}) ;
> X := [1,3,5,9,13,17,21,33,37,39] ;
> [Sprintf("%3o", n) : n in X] ; [Sprintf("%3o", g(n)) : n in X] ;
[   1,   3,   5,   9,  13,  17,  21,  33,  37,  39 ]
[   3,   1,  15,  27,   7,  51,  63,  99, 111, 101 ]
[/color]

Code d'Ackermann. Pas de souci évidemment (je me suis mis quelques commentaires pour m'y retrouver). Par précaution (bis), je vais typer certains résultats dans $\mathbb N$.

[color=#000000]N := {! n in IntegerRing() | n ge 0 !} ;

// Code Ackermann : ensemble (ou suite) des positions des chiffres binaires de n egaux a 1
//      0 1 2 3 4 5 6 7 8 ....
// 19 = 1 1 0 0 1 0 0 0 0 ....  (poids faible au debut)
// Ackermann(19) = [0, 1, 4]  	 Ackermann(0) = []
Ackermann := function(n)
  S := IntegerToSequence(n,2) ;
  return [N| j-1 : j in [1..#S] | S[j] eq 1] ;
end function ;
[/color]

C'est la fonction qui suit qui me plait moyen car je suis obligé de tester si $M$ est vide pour calculer
$$
\bigwedge_{m \in M} ( 2^m . n) = \bigcap_{m \in M} ( 2^m . n) \qquad\qquad\qquad \bigwedge = \bigcap = \text{BitwiseAnd}
$$Je ne sais pas si les symboles ci-dessus que j'utilise sont les bons (il suffirait que je te lise !!) et du coup, j'en mets deux (pour le prix d'un).

[color=#000000]BitwiseAndIntersection := function(M, n)
  // M : code d'Ackermann d'un entier i.e. une partie de N (ici sequence), n in N
  // Retourne /\ (2^m . n)  /\ = BitwiseAnd
  if IsEmpty(M)	then return 0 ;	end if ; // 0 =	neutre de BitwiseXor (= Delta chez Rondo)
  result := 2^M[1] * n ;
  for m in M[2..#M] do result := BitwiseAnd(result, 2^m * n) ; end for ;
  return result ;
end function ;
[/color]

Et enfin l'implémentation de $\varphi$. Le résultat de $\varphi$ est typé, mais pas $\varphi$ elle-même pour l'instant

[color=#000000]RondoPhi := function(A)
  assert A subset N ;
  AckermannSequences := [Ackermann(a) : a in A] ;
  g := function(n) // g = Phi(A)
    result := 0 ; // neutre de BitwiseXor (= Delta chez Rondo)
    for M in AckermannSequences do result := BitwiseXor(result, BitwiseAndIntersection(M,n)) ; end for ;
    return result ;
  end function ;
  // Pour securite : typer g : n -> g(n)
  return map < N -> N | n :-> g(n) > ;	
end function ;
[/color]

rondo · October 2020

Bonjour,

@Claude
Je suis bien content que tu t'intéresses à la fonction $\varphi$ :-) et merci pour tes implémentations (Pourrais-tu me dire le langage de programmation que tu utilises dans tes posts ?)

Juste pour attiser la curiosité, voici un autre exemple :
Soit $\mathbb{A} = \{1,2,6,12,14,26,30\}$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X & 1 & 3 & 5 & 9 & 11 & 13 & 17 & 21 & 23 & 33 & 37 & 39 \\
\hline
\big(\varphi(\mathbb{A})\big)(X) & 3 & 9 & 15 & 27 & 1 & 39 & 51 & 63 & 5 & 99 & 111 & 117 \\
\hline
\end{array}

claude quitté · October 2020

Rebonjour Rondo,
C'est en magma.

Pour l'instant, j'ai juste vérifié l'adéquation entre tes résultats et les mlens (ton premier exemple hier ou avant-hier). Et je le fais encore sur ton nouvel exemple (j'ai failli me faire avoir car tu as ajouté les 2 entiers 11, 23 à la première liste des 10 entiers). Bon je fais gaffe.

[color=#000000]> X := [1,3,5,9,13,17,21,33,37,39] ;
> #X ;
10
> g := RondoPhi({1,2,6}) ;
> [Sprintf("%3o", n) : n in X] ; [Sprintf("%3o", g(n)) : n in X] ;
[   1,   3,   5,   9,  13,  17,  21,  33,  37,  39 ]
[   3,   1,  15,  27,   7,  51,  63,  99, 111, 101 ]
> 
> X := [1,3,5,9,11,13,17,21,23,33,37,39] ;
> #X ;
12
> g := RondoPhi({1,2,6,12,14,26,30}) ;
> [Sprintf("%3o", n) : n in X] ; [Sprintf("%3o", g(n)) : n in X] ;
[   1,   3,   5,   9,  11,  13,  17,  21,  23,  33,  37,  39 ]
[   3,   9,  15,  27,   1,  39,  51,  63,   5,  99, 111, 117 ]
[/color]

Est ce qu'il y a quelque chose à voir ? Que peut voir une personne non $\varphi$-imprégnée ?

claude quitté · October 2020

Rondo,
Encore moi. Là, je ne vais pas dire de nouveau que je n'ai rien lu sur $\varphi$. Comme dans le post 2 de ce fil, il y a mention de ta part d'un ``sauf erreur'', je réalise quelques vérifications aléatoires. Cela ne me coûte rien. Ici, une vérification facile, tu la reconnaîtras :

[color=#000000]> // Post 2 : Phi(A) Delta Phi(B) = Phi(A Delta B)
> A := RandomSubset({1..20}, Random(1,9)) ;
> A ;
{ 3, 7, 11, 13 }
> B := RandomSubset({1..20}, Random(1,9)) ;
> B ;
{ 5, 13, 20 }
> C := A sdiff B ;
> C ;
{ 3, 5, 7, 11, 20 }
> PhiA := RondoPhi(A) ; PhiB := RondoPhi(B) ; PhiC := RondoPhi(C) ;
> time assert &and [PhiC(n) eq BitwiseXor(PhiA(n), PhiB(n)) : n in [0..10^2]] ;
Time: 0.010
[/color]

Comment doit-on interpréter ton ``sauf erreur'' ? Je suppose que tu as réalisé des vérifications à l'aide de programmes ?

rondo · October 2020

@Claude
Merci pour le langage.

claude quitté a écrit:

Je louche sur les a,b de Paul et sur le programme Python correspondant que tu as écrit

Voici la traduction en magma du petit programme python qui implémentait l'exemple d'exécution de l'automate cellulaire de Paul.

lesLignes := [];
Append(~lesLignes, "00010");
Append(~lesLignes, "011110");

suiv := function(ligneMoins2, ligneMoins1)
	result := [];
	Append(~result,0);
	for k in [2..#ligneMoins1] do
		mur := BitwiseXor(BitwiseXor(StringToInteger(ligneMoins1[k-1]), StringToInteger(ligneMoins1[k])), 1);
		murEspace := BitwiseXor(StringToInteger(ligneMoins2[k-1]), StringToInteger(ligneMoins1[k-1]));
		Append(~result, BitwiseXor(result[k-1], BitwiseAnd(mur,murEspace)) );
	end for;
	if result[#ligneMoins1] eq 1 then
		Append(~result,0);
	end if;
	return &cat[Sprintf("%1o", n) : n in result];
end function;

print lesLignes[1];
print lesLignes[2];
for n in [3..20] do
	Append(~lesLignes, suiv(lesLignes[n-2], lesLignes[n-1]));
	print lesLignes[n];
end for;

rondo · October 2020

$\DeclareMathOperator*{\delt}{\LARGE\lower0.8ex\bigtriangleup}$$\DeclareMathOperator*{\Delt}{\quad\Delta\quad}$

claude quitté a écrit:

Comment doit-on interpréter ton ``sauf erreur'' ? Je suppose que tu as réalisé des vérifications à l'aide de programmes ?

Je n'ai pas fait de vérifications à l'aide de programmes. Le ``sauf erreur'' signifie que j'espère ne pas m'être trompé dans mes raisonnements (que j'ai faits dans ma tête et/ou sur papier).
Edit : Par contre, j'ai fait quelques vérifications à la main sur papier.

Pour la propriété $\varphi(\mathbb{A})X \Delta \varphi(\mathbb{B})X = \varphi(\mathbb{A}\Delta\mathbb{B})X$, voici un peu plus de détails :
Définissons provisoirement $h$ par $h(A,X) = \displaystyle\bigcap_{a \in A} 2^aX$ $$
\begin{array}{lll}
\varphi(\mathbb{A})X \Delta \varphi(\mathbb{B})X & = &
\delt_{A \in \mathbb{A}} h(A,X)
\Delt
\delt_{B \in \mathbb{B}} h(B,X) \\
& = & \delt_{A \in \mathbb{A} \setminus \mathbb{B}} h(A,X)
\Delt
\delt_{A \in \mathbb{A} \cap \mathbb{B}} h(A,X)
\Delt
\delt_{B \in \mathbb{A} \cap \mathbb{B}} h(B,X)
\Delt
\delt_{B \in \mathbb{B} \setminus \mathbb{A}} h(B,X) \\
& = & \delt_{D \in \mathbb{A} \Delta \mathbb{B}} h(D,X) \\
& = & \varphi(\mathbb{A} \Delta \mathbb{B})X \\
\end{array}
$$

rondo · October 2020

claude quitté a écrit:

Est ce qu'il y a quelque chose à voir ? Que peut voir une personne non $\varphi$-imprégnée ?

La fonction indiquée dans l'exemple a quelques valeurs communes avec la fonction $X \mapsto 3X$.
Je voulais juste préparer la question : "Peut-on trouver un $\mathbb{A}$ tel que $\varphi(\mathbb{A}) = (X \mapsto 3X)$ ?"

rondo · October 2020

Bonjour,

Voici donc un $\mathbb{A}$ tel que $\varphi(\mathbb{A}) = (X \mapsto 3X)$. La formule est un peu compliquée (c'est pour ça que j'ai préféré $\delta\circ(X\mapsto3X)\circ\tau$). C'est $$
\{1,2\}
\quad\cup\quad
\Big\{\frac{5\cdot2^{2k}-2}3 + B \;\;\Bigr\vert\;\; B \subseteq \frac{2^{2k}-4}3, k \in \mathbb{N^*}\Big\}
\quad\cup\quad
\Big\{\frac{5\cdot2^{2k+1}-4}3 + B \;\;\Bigr\vert\;\; B \subseteq \frac{2^{2k+1}-2}3, k \in \mathbb{N^*}\Big\}
$$ De façon approximative, cela vaut $$
\{1, 2, 6, 12, 14, 26, 30, 52, 54, 60, 62, 106, 110, 122, 126, 212, 214, 220, 222, 244, 246, 252, 254, \ldots \}
$$

rondo · October 2020

$\DeclareMathOperator*{\delt}{\LARGE\lower0.8ex\bigtriangleup}$Pour une fonction $f$ de $\mathbb{Z}_2$ dans $\mathbb{Z}_2$ donnée telle qu'il existe un $\mathbb{A}$ tel que $\varphi(\mathbb{A}) = f$, comment trouver un tel $\mathbb{A}$ ?

On a le résultat suivant : $\varphi$ est injective et $$
\mathbb{A} = \Big\{\{z-x \mid x \in X\} \;\;\Bigr\vert\;\; X \in \mathbb{N}^*, X \text{ impair}, z \in \delt_{P \subseteq X} f(P)\Big\}
$$

depasse · October 2020

Bonjour,

capitulant devant la difficulté de justifier proprement, i.e "à la Claude", mon "algorithme", je me contente de "faire des phrases" à propos de mes tableaux $T1$ et $T5$ que je rappelle:

$T1$

$02011$
$010021$
$001122$
$000211 $
$ 0001021$
$ 00001221 $
$ 00000222 $
$ 000001111 $
$000000202$
$ 000000101$
$ 0000000121 $
$ 0000000022$
$ 0000000011$
$ 0000000002$
$ 00000000011$

$T5$

$00010$
$011110$
$001000$
$000010$
$0001110$
$00001110$
$00000000$
$000001010$
$000000000$
$000000110$
$0000000110$
$0000000000$
$0000000010$
$0000000000$
$00000000010$

Notations:

$a_{ij}$ (resp.$b_{ij}$) est l'élément courant de $T1$ (resp.$T5$).
$A_{ij}$ est le nombre dont une écriture en base trois est la concaténation des $a_{ik}$ tels que $k\leq j$ (petit poids à droite).
$B_{ij}$ est le nombre dont une écriture en base deux est la concaténation des $b_{kj}$ tels que $k\geq i$ (petit poids en haut).

On remarque et "on" peut justifier que

1) $b_{ij}$ est la somme (modulo $ 2$) des $a_{ik}$ tels que $k\leq j$
2) $A_{ij}$=$B_{ij}$

Ainsi lit-on la suite de dix-neuf, en base trois, en parcourant les lignes de $T1$ et celle de ce même dix-neuf, en base deux, en parcourant les colonnes de $T5$ à partir seulement de la quatrième. Il est troublant qu'avec un alphabet de deux lettres seulement et, de plus, privé de quelques colonnes, $T5$ fournisse la même information que $T1$ dont alphabet est de pourtant trois lettres!
Et le trouble s'accroît quand on remarque que chaque ligne de $T5$ contient moins d'information que sa collègue de $T1$.

Pour une fois je justifie ma dernière phrase: si au lieu d'être $02011$ la première ligne de $T1$ avait été $02211$, alors la première ligne de $T5$ eût toujours été $00010$.

Comment dissiper ce trouble?

D'abord en disant que les quatre premières colonnes de $T5$, si elles ne servent à rien pour la suite de dix-neuf, fournissent une information sur " "l'avant dix-neuf".
Ensuite en se doutant que si, certes, le passage d'une ligne de $T1$ à sa collègue de $T5$ est un appauvrissement, il se pourrait que se cache dans ce pauvre $T5$ une richesse compensatrice:

Derrière deux lignes consécutives de $T5$ se cache la collègue, dans $T1$, de la première.

Amicalement
Paul

rondo · October 2020

Bonjour,

Merci Paul pour ta remarque.

On peut expliquer la numération positionnelle par une grille. Chaque case pouvant contenir un ou plusieurs jetons. La valeur des jetons change selon la case de la grille.

Pour le binaire, ça donne (les nombres indiquent les valeurs des jetons dans cette case) :$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cdots & 2^4 & 2^3 & 2^2 & 2^1 & 2^0 \\
\hline
\end{array}
$$Pour le ternaire, ça donne :$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cdots & 3^4 & 3^3 & 3^2 & 3^1 & 3^0 \\
\hline
\end{array}
$$On peut combiner les deux avec une grille:$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cdots & 2^0 \cdot 3^4 & 2^0 \cdot 3^3 & 2^0 \cdot 3^2 & 2^0 \cdot 3^1 & 2^0 \cdot 3^0 \\
\hline
\cdots & 2^1 \cdot 3^4 & 2^1 \cdot 3^3 & 2^1 \cdot 3^2 & 2^1 \cdot 3^1 & 2^1 \cdot 3^0 \\
\hline
\cdots & 2^2 \cdot 3^4 & 2^2 \cdot 3^3 & 2^2 \cdot 3^2 & 2^2 \cdot 3^1 & 2^2 \cdot 3^0 \\
\hline
\cdots & 2^3 \cdot 3^4 & 2^3 \cdot 3^3 & 2^3 \cdot 3^2 & 2^3 \cdot 3^1 & 2^3 \cdot 3^0 \\
\hline
\cdots & 2^4 \cdot 3^4 & 2^4 \cdot 3^3 & 2^4 \cdot 3^2 & 2^4 \cdot 3^1 & 2^4 \cdot 3^0 \\
\hline
& \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\end{array}
$$ c'est-à-dire $$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cdots & 81 & 27 & 9 & 3 & 1 \\
\hline
\cdots & 162 & 54 & 18 & 6 & 2 \\
\hline
\cdots & 324 & 108 & 36 & 12 & 4 \\
\hline
\cdots & 648 & 216 & 72 & 24 & 8 \\
\hline
\cdots & 1296 & 432 & 144 & 48 & 16 \\
\hline
& \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\end{array}
$$En plaçant T1 et T5 dans cette grille (à divers endroits), il me semble que je peux raisonner plus facilement. En espérant que ça puisse aider.

rondo · October 2020

Bonjour,

depasse a écrit:

Derrière deux lignes consécutives de T5 se cache la collègue, dans T1, de la première.

Paul, je suis intéressé de connaître ta méthode.

rondo · October 2020

Bonjour,

Voici un tableau résumé de quelques exemples$$
\begin{array}{|l|l|l|}
\hline
\color{#840}{f(X)} & \color{#840}{\mathbb{A}\text{ tel que }\varphi(\mathbb{A}) = f\quad\text{(}\mathbb{A}\text{ approximatif) }} & \color{#840}{\mathbb{A}\text{ tel que }\varphi(\mathbb{A}) = f\quad\text{(}\mathbb{A}\text{ exact) }} \\
\hline
1 & \text{n'existe pas} & \text{n'existe pas} \\
\hline
X & \{1\} & \{1\} \\
\hline
X+1 & \text{n'existe pas} & \text{n'existe pas} \\
\hline
2^nX & \{2^n\} & \{2^n\} \\
\hline
X \;\Delta\; 4X \;\Delta\; 8X & \{1, 4, 8\} & \{1, 4, 8\} \\
\hline
X \cap 4X \cap 8X & \{13\} & \{13\} \\
\hline
\delta(X) & \{1,2\} & \{1,2\} \\
\hline
\tau(X) & \{1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024, \ldots\} & \{2^n \mid n \in \mathbb{N}\} \\
\hline
2^{v_2(X)} & \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, \ldots\} & \{2n+1 \mid n \in \mathbb{N}\}\\
\hline
-2^{v_2(X)} & \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, \ldots\} & \mathbb{N}^*\\
\hline
3\cdot2^{v_2(X)} & \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19, \ldots\} & \{2n+1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{4n+2 \mid n \in \mathbb{N}\} \\
\hline
3X & \{1,2,6,12,14,26, 30, 52, 54, 60, 62, 106, 110, \ldots\} & \mathbb{B}\\
\hline
3X - 2^{v_2(X)} & \{2,3,5,6,7,9,12,13,14,15,17,19, 21, 23, 25, 26, \ldots\} & \mathbb{B} \setminus \{1\} \cup \{2n+1 \mid n \in \mathbb{N}^*\} \\
\hline
X - 2^{v_2(X)} & \{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, \ldots\} & \{2n+1 \mid n \in \mathbb{N}^*\} \\
\hline
X + 2^{v_2(X)} & \color{#08f}{\{2,3,5,7,9,10,11,13,14,15,17,18,\ldots\}} & \text{je n'ai pas encore calculé} \\
\hline
2X + 2^{v_2(X)} & \{1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, \ldots\} & \{2\} \cup \{2n+1 \mid n \in \mathbb{N}\}\\
\hline
3X + 2^{v_2(X)} & \text{je n'ai pas encore calculé} & \text{je n'ai pas encore calculé} \\
\hline
\delta(3\tau(X)) & \{1,2,4,6,12,14,28,30,60,62,\ldots\} & \{1\} \cup \{2(2^n-1) \mid n \in \mathbb{N^*}\} \cup \{4(2^n-1) \mid n \in \mathbb{N^*}\}\\
\hline
\delta(3\tau(X)) \Delta 3\text{minp}(X) & \{3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19,\ldots\} & \{2n+1 \mid n \in \mathbb{N}^*\} \cup\\
& & \{4n+2 \mid n \in \mathbb{N}\} \setminus \{2(2^n-1) \mid n \in \mathbb{N^*}\}\\
& & \cup \{4(2^n-1) \mid n \in \mathbb{N^*}\} \\
\hline
\end{array}
$$ où $\mathbb{B}$ vaut $$
\{1,2\}
\quad\cup\quad
\Big\{\frac{5\cdot2^{2k}-2}3 + B \;\;\Bigr\vert\;\; B \subseteq \frac{2^{2k}-4}3, k \in \mathbb{N^*}\Big\}
\quad\cup\quad
\Big\{\frac{5\cdot2^{2k+1}-4}3 + B \;\;\Bigr\vert\;\; B \subseteq \frac{2^{2k+1}-2}3, k \in \mathbb{N^*}\Big\}
$$[Edit : changement de notation, $\text{ord}_2$ est devenu $v_2$ qui est la notation la plus courante pour la valuation 2-adique]

rondo · October 2020

Bonjour,

depasse a écrit:

Derrière deux lignes consécutives de T5 se cache la collègue, dans T1, de la première.

Je soupçonne que $$
a_{i,j} = b_{i,j-1} \oplus b_{i,j} + 2 \cdot (b_{i-1,j-1} \oplus b_{i-1,j-1}b_{i,j-1} \oplus b_{i-1,j-1}b_{i,j})
$$ où $\oplus$ est l'addition modulo 2.
Mais je reste intéressé par ta solution.

rondo · October 2020

Bonjour,

$\varphi\Big(\{2n+1 \mid n \in \mathbb{N}^*\}\Big) \;=\; X \mapsto X - 2^{v_2(X)}$

Si on remplace le $-$ par $+$, en apparence, cela ne change pas grand-chose.
Pourtant, il me semble bien difficile de trouver une expression "simple" d'un $\mathbb{A}$ tel que $\varphi(\mathbb{A}) = X \mapsto X + 2^{v_2(X)}$.
(Par "simple", j'entends "du même genre que $\{2n+1 \mid n \in \mathbb{N}^*\}$", mais pas nécessairement aussi simple)

Je serais bien intéressé d'en trouver une.
Mais pour le moment, je n'y suis pas parvenu.
Si quelqu'un veut m'aider, j'en serais ravi.

[Edit : changement de notation, $\text{ord}_2$ est devenu $v_2$ qui est la notation la plus courante pour la valuation 2-adique]

depasse · October 2020

Bonjour rondo,

merci pour tes messages à propos de mon "algorithme" et désolé de ne pas m'être donné le temps d'examiner ta propre préoccupation.

Je n'ai pas capté le lien que tu envisages entre mes tableaux $T1, T5$ et ta table de multiplication des puissances de deux et de trois;
a priori, j'aurais tendance à croire que ce sont les tables des $\lfloor \frac {2^a}{3^b}\rfloor$ , modulo $2$ et $3$, qui risquent de présenter un intérêt: le successeur (dans la suite de Syracuse) de $\lfloor \frac {2^a}{3^b}\rfloor$ est souvent, mais pas toujours!, $\lfloor \frac {2^{a-1}}{3^b}\rfloor$ ou $\lfloor \frac {2^a}{3^{b-1}}\rfloor$.

J'en venais à expliquer comment $a_{ij}$ se déduit de $(b_{ij-1}, b_{ij}, b_{i+1j-1},b_{i+1j})$: C'est une simple histoire de parité.

Ta formule (où j'ai remplacé $ i$ par $i+1$) donne $a_{i+1j} $ en fonction de $(b_{ij-1}, b_{ij}, b_{i+1j-1})$: elle permet de passer d'une ligne de $T1$ à la suivante, mais pas à la précédente. Il me semble (je suis sûr ) que j'ai besoin du quadruplet $(b_{ij-1}, b_{ij}, b_{i+1j-1},b_{i+1j})$ pour trouver $a_{ij}$ tandis qu'il te suffit du triplet $(b_{ij-1}, b_{ij}, b_{i+1j-1})$ pour trouver $a_{i+1j} $.

Peu importent les formules: il y a bien (essentiellement) bijection entre $T1$ et $T5$:

On nous donne une ligne de $T1$, nous en déduisons sa collègue dans $T5$;
on nous donne deux lignes consécutives de $T5$, nous en déduisons leurs collègues dans $T1$: en effet:
j'en déduis la première via la formule que j'ai eu la flemme d'écrire mais qui est juste ;-),
tu en déduis la seconde via la formule que tu as eu le courage d'écrire et qui est juste.

Il me reste à justifier mon "essentiellement" puis mon "algorithme", mais il me faut d'abord préparer ma fuite hors de Macronie: Vendredi, je me casse de ce pays pourri, pas tant par le covid que par son abject utilisateur. A qui n'est pas convaincu: Réfléchis!

A+, j'espère
Paul

Edit; correction d'une coquille

rondo · October 2020

Bonjour,
Merci Paul pour ta réponse.

depasse a écrit:

j'aurais tendance à croire que ce sont les tables des $\left\lfloor\frac{2^a}{3^b}\right\rfloor$ , modulo 2 et 3, qui risquent de présenter un intérêt

Je suis d'accord : ces tables et celles de $\left\lfloor\frac{3^a}{2^b}\right\rfloor$ ont des chances de présenter un intérêt.

Mon point de vue était moins élaboré. Je considérais que, dans $T1$ et $T5$, en allant d'une case vers la gauche, le chiffre vaut trois fois plus et en allant d'une case vers le bas, le chiffre vaut deux fois plus (avec des exceptions à cause du "$+1$"). Ma table de multiplication servait juste à visualiser cela.

rondo · October 2020

Bonjour,

La fonction $\varphi$ existe-t-elle dans la littérature mathématique et si oui où se trouve-t-elle ?
Merci.

rondo · October 2020

Bonjour,
Voici une valeur approximative d'un $\mathbb{A}$ tel que $\varphi(\mathbb{A}) = X \mapsto X + 2^{v_2(X)}$. $$
\{2,3,5,7,9,10,11,13,14,15,17,18,\ldots\}
$$ Je suis toujours intéressé d'en trouver une expression exacte.
Toute aide est toujours bienvenue.

[Edit : changement de notation, $\text{ord}_2$ est devenu $v_2$ qui est la notation la plus courante pour la valuation 2-adique]

gerard0 · October 2020

Les entiers moins les multiples de 4 ?

Cordialement.

rondo · October 2020

Merci gerard0. Effectivement, avant d'en chercher une expression exacte, je pourrais en chercher quelques propriétés. Par exemple, comme tu le dis, je pourrais voir si aucun multiple de 4 n'en fait partie.

rondo · October 2020

Bonjour,

Effectivement, gerard0, on peut montrer qu'aucun multiple de 4 n'appartient au $\mathbb{A}$ tel que $\varphi(\mathbb{A}) = X \mapsto X + 2^{v_2(X)}$.

Voici quelques autres propriétés de ce $\mathbb{A}$. $$
\mathbb{A} \cap [\![1, 26]\!] = \{2,3,5,7,9,10,11,13,14,15,17,18,19,21,22,23,25\} \\
\mathbb{A} \cap \{n \in \mathbb{N}^* \mid \#n=2 \} = \{n \in \mathbb{N}^* \mid \#n=2 \text{ et } v_2(n) \in \{0,1\}\} \setminus \{6\} \\
\mathbb{A} \cap \{6,26,30\} = \varnothing
$$ J'essaie maintenant de savoir si tous les impairs (à part $1$) y sont, c'est-à-dire si $\{2n+1 \mid n \in \mathbb{N}^*\} \subseteq \mathbb{A}$.
Si quelqu'un a une piste ...

[Edit : changement de notation, $\text{ord}_2$ est devenu $v_2$ qui est la notation la plus courante pour la valuation 2-adique]

fredo · October 2020

Bonsoir,

pour information

Binary expression of ancestors in the Collatz graph
The Collatz process embeds a base conversion algorithm

rondo · October 2020

Bonjour,

Merci fredo pour ces deux articles très intéressants.:-)

rondo · November 2020

Bonsoir,

@depasse
Je pense que le deuxième article de fredo démontrecontient la démonstration de ta correspondance binaire/ternaire.

rondo · November 2020

Bonjour,

Le deuxième article cité par fredo m'a rappelé que j'avais fait un automate cellulaire pour Syracuse dans golly.
Je viens de l'adapter pour la version 2.8 de golly.
Le voici en pièce jointe.

Voici comment l'utiliser :

télécharger la pièce jointe "syrac.pdf"
copier le texte du pdf dans un fichier texte pur : "syrac.rule"
déplacer "syrac.rule" dans le répertoire "Rules" de golly (sur linux : ~/.golly/Rules, sur windows : %AppData%\Roaming\Golly\Rules)
lancer golly
dans le menu "control" $\rightarrow$ "set rule", indiquer "syrac" dans la première case
n'importe où dans la grille, écrire horizontalement le nombre en binaire en mettant à l'état 1 tous les bits à un du nombre (Cfr la première image qui montre un départ avec le nombre 27).
sur la même ligne, à droite, mettre une case à l'état 7 (Cfr la première image).
lancer l'automate (La deuxième image montre l'automate en cours).

Bon amusement. 112408

nodgim · November 2020

Je connais bien ce graphe. Il y a une variante : si on perd n cases blanches à droite sur une ligne L, on place le début du nombre suivant sur la ligne L + n. L'alignement se fait alors coté poids faible. On observera alors une alternance de triangles blancs ( les 1) et de triangles noirs ( les 0 ). Et ce sont toujours les triangles noirs qui l'emportent !

rondo · November 2020

Merci nodgim pour ta remarque :-).
Est-ce bien ceci que tu veux dire ? 112428

nodgim · November 2020

Non.

ce serait plutôt quelque chose comme ça ( poids fort à droite ) qui donne un alignement à 45 degrés ( quand c'est bien dessiné) du fait des lignes vides.

11011
..100101
............
......11111
........111101
..........1110001
............1101011
..............10000101
..............................
..................1001111
..............................
......................1101101
........................10010001
........................................
............................1110011

rondo · November 2020

Si je comprends bien cette fois, ce serait (gauche/droite inversée par rapport à ta version) : 112438

nodgim · November 2020

C'est bien ça, rondo. On notera que le profil coté poids fort correspond au log2/V2 des nombres successifs quand on couche le dessin à l'horizontal.

rondo · November 2020

Merci nodgim :-)

rondo · November 2020

Bonjour,

Le $\mathbb{A}$ tel que $\varphi(\mathbb{A}) = X \mapsto X + 2^{v_2(X)}$ est $$
\{2n+1 \mid n \in \mathbb{N}^*\} \cup \{2X \mid X \in \mathbb{N}^*, X \text{ est impair}, \rho(X) \text{ est impair } \} $$$\qquad\qquad$où $\rho(X) = v_2(\tilde{X} + 1)$
$\qquad\qquad$où $v_2$ est la valuation 2-adique
$\qquad\qquad$et où $\tilde{X}$ est le nombre dont l'écriture binaire est la renversée de celle de $X$ (par exemple, $\widetilde{19} = 25$)

Si vous êtes intéressés par la preuve, n'hésitez pas à me la demander (Idem pour les autres preuves manquantes de ce fil).

[Edit : changement de notation, $\text{ord}_2$ est devenu $v_2$ qui est la notation la plus courante pour la valuation 2-adique]

rondo · November 2020

Bonjour,

Voici encore une propriété de la fonction $\varphi$.

Soit $\mathbb{A}$ inclus dans $\mathbb{N}^*$,
si $\forall X \in \mathbb{N}^*, \varphi(\mathbb{A})(X) < 2^{\max(X)+1}$
alors $\mathbb{A} \subseteq \{2n+1 \mid n \in \mathbb{N}\}$

depasse · November 2020

Bonsoir Rondo,

je reviens après 15 jours sans ordi. Merci pour tes messages. Je m'y remets bientôt.
Amicalement
Paul

rondo · November 2020

Bonjour,

$\newcommand\minp{\text{minp}}\newcommand\monp{\text{monp}}$Je définis les deux suites de fonctions $(\monp_i)_{i \in \mathbb{N}^*}$ et $(\minp_i)_{i \in \mathbb{N}^*}$ par

$\monp_1(X) = X$
$\monp_{n+1}(X) = \monp_n(X) \triangle \minp_n(X)$
$\minp_n(X) = \minp(\monp_n(X))$

On a la propriété suivante :$$
\forall n \in \mathbb{N}^*,\qquad\varphi\Big(\{A \in \mathbb{N}^* \mid A \text{ est impair}, n-1 \subseteq \#A-1\}\Big)\quad=\quad \minp_n.
$$[edit : légère simplification de la formule]

@depasse : Ravi de ton retour, Paul.

rondo · November 2020

Bonjour,

Voici encore une propriété de $\varphi$ :$$
\forall k \in \mathbb{N},\ \forall \mathbb{A} \subseteq \{A \in \mathbb{N}^* \mid k \in A\},\ \forall X \in \mathbb{Z}_2,\quad \varphi(\mathbb{A})(X) \subseteq 2^kX.
$$ En voici un cas particulier ($k=0$) :$$
\forall \mathbb{A} \subseteq \{2n+1 \mid n \in \mathbb{N}\},\ \forall X \in \mathbb{Z}_2, \quad \varphi(\mathbb{A})(X) \subseteq X.
$$

rondo · November 2020

$\newcommand{\minp}{\mathrm{minp}}$Bonjour,

Voici quelques propriétés rigolotes de $\varphi$ :

L'image par $\ \varphi\ $ de$\ $ l'ensemble des nombres impairs païens est $\quad \minp_2$.
L'image par $\ \varphi\ $ de$\ $ l'ensemble des nombres païens non nuls est $\quad X \mapsto -\minp_2(X)$.
L'image par $\ \varphi\ $ de$\ $ l'ensemble des nombres impies (odious numbers)$\ $ est $\quad X \mapsto \minp_2(X) - \minp(X)$.

nodgim · November 2020

C'est dommage que la symbolique poussée ne permet pas aux non-matheux d'accéder à cette idée....

rondo · November 2020

$\newcommand{\xor}{\hat{\phantom{-}}}$Bonjour,

Merci nodgim pour ta remarque.

Voici donc quelques explications supplémentaires.

Les nombres païens sont ceux qui ont un nombre impair de bits à $1$ dans leur représentation binaire. Par exemple, $5, 15, 17, 27$ sont des nombres païens car ils s'écrivent en binaire $101_2, 1111_2, 10001_2, 11011_2$ et ont respectivement $2, 4, 2, 4$ bits à 1 dans leur représentation binaire.
$\phantom{.}$
La fonction $\text{minp}_2$ ne garde de son argument que le deuxième bit à $1$ en partant de la droite. Par exemple, $\text{minp}_2(13) = 4$. Ça se voit mieux en binaire : $\text{minp}_2(1101_2) = 100_2$. Si l'argument ne contient qu'un seul bit à $1$(ou zéro), cette fonction donne $0$. Ainsi, $\text{minp}_2(128) = 0$.
$\phantom{.}$
La fonction $\varphi$ permet de reconstituer $\text{minp}_2$ avec uniquement ces trois opérations sur l'écriture binaire de l'argument :
- Décalage vers la gauche
- "and" bit à bit
- "xor" bit à bit
L'argument de $\varphi$ indique comment combiner ces trois sortes d'opérations pour obtenir une certaine fonction (ici, $\text{minp}_2$).
$\phantom{.}$
Essayons donc de calculer $\varphi(\{3,5,9,15,17,23,27,29,33,\ldots\}) (13)$.

Les deux bits à $1$ de $3$ sont en position $0$ et $1$. Décalons donc $13$ de $0$ position vers la gauche : ça donne $13$. Décalons $13$ de $1$ position vers la gauche : ça donne $26$. Reste à faire le "and" bit à bit des deux résultats ($13$ et $26$) : ça donne $8$ ($13 \;\&\; 26 = 8$).

On fait la même série d'opérations pour $5$ : ça donne $4$.
On fait la même série d'opérations pour $9$ : ça donne $8$.
On fait la même série d'opérations pour $15$ : ça donne $0$.
Tous les nombres suivants donnent $0$.

Reste à faire le "xor" bit à bit de tous ces résultats : ça donne $8 \xor 4 \xor 8 \xor 0 \xor 0 \xor \ldots$ ce qui fait bien $4$ qui est la valeur de $\text{minp}_2(13)$.

nodgim · November 2020

Merci Rondo, j'ai compris le mécanisme (apparemment, les nombres païens ont un nombre pair, et non impair, de 1), mais pas encore les propriétés, ni le lien avec Syracuse.

Tiens, une question comme ça au passage.
Dans l'écriture en base 3 de : (3^(2^k)-1) / 2^(k+2), k entier >= 1.
- Combien dénombre-t-on de 0 ?
- Combien dénombre-t-on de 1 ?
- Combien dénombre-t-on de 2 ?

rondo · November 2020

Merci Nodgim pour ton retour et ta question très intéressante.

nodgim a écrit:

j'ai compris [...] mais pas [...] ni le lien avec Syracuse.

La fonction $\varphi$ n'a pas vraiment de lien avec Syracuse. J'avais seulement un très petit espoir que cet outil puisse aider à avancer un petit peu dans la résolution de la conjecture. De la même façon, je donne les propriétés qui me paraissent intéressantes (c'est subjectif).

Pour ta question, pour le moment, je trouve seulement que pour $k$ entre $1$ et $17$ : $$
\text{Le nombre de } 2 \quad = \quad \frac{2^k - 1 - (k\%2)}{3} \\
\text{Le nombre de } 1 \quad = \quad \frac{2^k - 1 - 2(k\%2)}{3} \\
\text{Le nombre de } 0 \quad = \quad \frac{2^k + 2 - (k\%2)}{3} - \left\lfloor \frac{(k+2)\ln(2)}{\ln(3)} \right\rfloor
$$ où $k\%2$ représente le reste de la division de $k$ par $2$.

En notant ta suite par $(a_k)_{k \in \mathbb{N}^*}$, je trouve aussi que $$
a_k = \prod_{i=1}^{k-1} \left(1 + \sum_{n=0}^{2^i-1} 3^n\right)
$$ ce qui pourrait aider à trouver la solution.

Sinon, à première vue, ta question me semble difficile (à part dire qu'il y a un nombre impair de $1$). En tout cas, je ne connais pas de solution et je suis intéressé par la tienne.

Ce qui suit ne répond pas du tout à ta question mais ça peut t'intéresser (si tu ne le connais pas déjà).
En 2-adique, $$
\lim_{k \to \infty}\frac{3^{2^k}-1}{2^{k+2}} = \frac{\ln(3)}{4}
$$.

Autre chose :
Comme je disais dans mon message, je suis toujours très intéressé de connaître en quoi consistait ta tentative d'utiliser le modèle d'Ackermann.

Une idée pour la conjecture de Syracuse

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