Théorie universelle des mathématiques
dans Shtam
Bonjour à tous
Un problème majeur que les experts en théorie des Topoî n'ont pas encore résolu, ou même, n'y ont jamais pensé, et qui représente peut-être (je dis peut-être ), le but ultime des mathématiques.
Est-ce qu'il existe en mathématiques, une théorie mathématique universelle $ \mathbb{T}_{ \mathrm{univ} } $, telle que pour toute théorie mathématique $ \mathbb{T} $ il existe un unique morphisme de théories mathématiques $ f \ : \ \mathbb{T}_{ \mathrm{univ} } \to \mathbb{T} $.
Ici, c'est moi qui propose de deviner cette notion de morphisme de théories mathématiques $ f $.
Par définition $ f $ devrait vérifier les axiomes suivants (je vous fournis deux axiomes pour le moment, car je n'ai pas encore réfléchi aux autres axiomes possibles).
- $ f ( \perp \ \vdash_{ \vec{x} } \phi ) = \perp \ \vdash_{ \vec{x} } f ( \phi ) $.
- $ f( \phi \vdash_{ \vec{x} } \psi ) = f( \phi ) \vdash_{ \vec{x} } f(\psi ) $ pour tout ''séquent'' $ \phi \vdash_{ \vec{x} } \psi $ over une signature $ \sum $ interprétable dans une catégorie $ \mathcal{C} $.
Alors, cette notion à mon avis, permet de trouver les analogies entre deux théories $ \mathbb{T}_1 $ et $ \mathbb{T}_2 $ quelconques, puisqu'elles sont reliées ou engendrées par une théorie universelle $ \mathbb{T}_{ \mathrm{univ} } $.
Cela créera effectivement des ponts de passages entre toutes sortes de théories, même les plus éloignées les unes des autres, comme par exemple, l'analyse, et la théorie des nombres.
Qu'est-ce que vous en pensez ?
Cette théorie aura le mérite d’être la vraie théorie unificatrice des mathématiques.
J'irai poser la même question aux physiciens théoriciens sur un autre forum plus approprié, pour voir ce qu'ils pensent sur l'analogue de cette notion de vrai théorie unificatrice mais de la physique, et voir s'il me répondront que c'est la théorie unificatrice des quatre forces fondamentales (i.e : ''Théorie de tout'', suivant le jargon utilisé par les physiciens), et pourquoi ?
J'aimerais aussi savoir dans quelle catégorie est interprétable cette théorie universelle des mathématiques, et quel est son topos classifiant ?
Qui peut deviner la réponse ?
À vos plumes. :-)
Merci d'avance.
Edit,
Cette approche que je propose ici, est différente de celle adoptée par Caramello lorsqu'elle pose les premières briques de cette théorie d'unification mathématique.
Caramello, classifie juste, à équivalences de Morita près, les différentes théories mathématiques par des objets appelés Topos. Elle ne met pas en clarté, quelle est cette notion d'unification qu'elle adopte ? (i.e : comment définit-elle la notion d'unification mathématique ? ).
À mon avis, Caramello suit un faux chemin, qu'il faut remplacer par cette notion de théorie universelle que je propose dans ce fil.
Un problème majeur que les experts en théorie des Topoî n'ont pas encore résolu, ou même, n'y ont jamais pensé, et qui représente peut-être (je dis peut-être ), le but ultime des mathématiques.
Est-ce qu'il existe en mathématiques, une théorie mathématique universelle $ \mathbb{T}_{ \mathrm{univ} } $, telle que pour toute théorie mathématique $ \mathbb{T} $ il existe un unique morphisme de théories mathématiques $ f \ : \ \mathbb{T}_{ \mathrm{univ} } \to \mathbb{T} $.
Ici, c'est moi qui propose de deviner cette notion de morphisme de théories mathématiques $ f $.
Par définition $ f $ devrait vérifier les axiomes suivants (je vous fournis deux axiomes pour le moment, car je n'ai pas encore réfléchi aux autres axiomes possibles).
- $ f ( \perp \ \vdash_{ \vec{x} } \phi ) = \perp \ \vdash_{ \vec{x} } f ( \phi ) $.
- $ f( \phi \vdash_{ \vec{x} } \psi ) = f( \phi ) \vdash_{ \vec{x} } f(\psi ) $ pour tout ''séquent'' $ \phi \vdash_{ \vec{x} } \psi $ over une signature $ \sum $ interprétable dans une catégorie $ \mathcal{C} $.
Alors, cette notion à mon avis, permet de trouver les analogies entre deux théories $ \mathbb{T}_1 $ et $ \mathbb{T}_2 $ quelconques, puisqu'elles sont reliées ou engendrées par une théorie universelle $ \mathbb{T}_{ \mathrm{univ} } $.
Cela créera effectivement des ponts de passages entre toutes sortes de théories, même les plus éloignées les unes des autres, comme par exemple, l'analyse, et la théorie des nombres.
Qu'est-ce que vous en pensez ?
Cette théorie aura le mérite d’être la vraie théorie unificatrice des mathématiques.
J'irai poser la même question aux physiciens théoriciens sur un autre forum plus approprié, pour voir ce qu'ils pensent sur l'analogue de cette notion de vrai théorie unificatrice mais de la physique, et voir s'il me répondront que c'est la théorie unificatrice des quatre forces fondamentales (i.e : ''Théorie de tout'', suivant le jargon utilisé par les physiciens), et pourquoi ?
J'aimerais aussi savoir dans quelle catégorie est interprétable cette théorie universelle des mathématiques, et quel est son topos classifiant ?
Qui peut deviner la réponse ?
À vos plumes. :-)
Merci d'avance.
Edit,
Cette approche que je propose ici, est différente de celle adoptée par Caramello lorsqu'elle pose les premières briques de cette théorie d'unification mathématique.
Caramello, classifie juste, à équivalences de Morita près, les différentes théories mathématiques par des objets appelés Topos. Elle ne met pas en clarté, quelle est cette notion d'unification qu'elle adopte ? (i.e : comment définit-elle la notion d'unification mathématique ? ).
À mon avis, Caramello suit un faux chemin, qu'il faut remplacer par cette notion de théorie universelle que je propose dans ce fil.
Réponses
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Pablo,
Bonjour. Veux-tu interpréter en termes clairs ce qu'est $\perp \ \vdash_{ \vec{x} } \phi$ ? Veux-tu interpréter en termes clairs ce qu'est $\perp \ \vdash_{ \vec{x} } f (\phi)$ ? Quelle sens veux-tu attribuer à $f(\perp \ \vdash_{ \vec{x} } \phi )$, où $f$ serait ton fameux morphisme ?
Cordialement,
ThierryLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
On n'a pas de morphismes pur implique ou $\vdash$ évidemment, ni d'ailleurs d'unicité, mais en gros, toute théorie créative (au sens précis donné par la calculabilité) peut jouer ce rôle.
Par contre, ce qui va ensuite compter, c'est la complexité de calcul. C'est à dire la vitesse à laquelle un ordinateur calcule les traductions.
La seule théorie actuellement viable pour servir "d'universelles" en ce sens est évidemment ZF(C), puisque la traduction est "sans compression ou décompression", c'est à dire qu'on peut traduire mot à mot n'importe quoi dit en langage courant ou dans n'importe quelle théorie en énoncé ensembliste sans "logiciel" autre que des détails de surface (ie effacement de plusieurs caractères espace d'affilée, etc).
Sinon, par Godel, on sait qu'on ne pourra jamais faire mieux (ie qu'il n'y a pas qu'un seul niveau de risque, ou pour le dire autrement avec un nom, que Penrose malgré tout son sérieux et son travail a fait preuve de beaucoup trop d'amateurisme quand il a écrit qu'il y avait "une intuition" conduisant les matheux à percevoir intrinsèquement ce qui est sûr. On sait aujourd'hui qu'affirmer l'existence de 1001 est un chouya non nul sitrctement plus fort qu'affirmer celle de 1000 et tout est comme ça, tout se paie).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bonjour Thierry,
Ta question n'est pas assez claire.
Est ce que tu demandes de savoir si $ \perp \ \vdash_{ \vec{x} } \phi $ est interprétable dans $ \mathcal{C} $, ou bien interpréter, signifie pour toi, expliquer ce qu'est, $ \perp \ \vdash_{ \vec{x} } \phi $ ?
- Si tu cherches à interpréter $ \perp \ \vdash_{ \vec{x} } \phi $ dans $ \mathcal{C} $, alors, je dirai que c'est simplement, trouver un modèle $ M $ ou la formule $ \phi ( \vec{x} ) $ est valide dans $ M \ : \ \sum \to \mathcal{C} $, de sorte que, $ M( \perp \ \vdash_{ \vec{x} } \phi ) = M( \vec{x} \cdot \perp_M \leq \vec{x} \cdot \phi_M ) = \mathrm{Sub}_{ \mathcal{C} } ( M ( A_1 \dots A_n ) ) $, où $ A_1 \dots A_n $ sont des $ \sum $ - sorts dans $ \sum $, tels que, si $ \vec{x} = x_1 , \dots , x_n $, alors $ x_i : A_i $ pour tout $ i $ de $ 1 $ à $ n $.
- Si pour toi, demander l'interprétation de $ \perp \ \vdash_{ \vec{x} } \phi $, signifie, expliquer ce que c'est, alors, c'est simplement que la formule $ \phi ( \vec{x} ) $ est valide ou satisfaite, dans $ \mathbb{T}_{ \mathrm{univ} } $. $ \perp \ \vdash_{ \vec{x} } f( \phi ) $ signifie, que, $ f( \phi ) ( f( \vec{x} )) $ est valide ou satisfaite dans $ \mathbb{T} \supset f_* (\mathbb{T} ) $.
$ f ( \perp \ \vdash_{ \vec{x} } \phi ) $ est simplement l'image du séquent $ \perp \ \vdash_{ \vec{x} } \phi $ over $ \sum_{ \mathrm{univ} } $ dans $ \mathbb{T}_{ \mathrm{univ} } $, qui est un séquent $ f( \phi ) \vdash_{ \vec{x} } f ( \psi ) $ over $ \sum $, dans $ \mathbb{T} $.
Bonjour CC,
Est ce que tu peux préciser ce que tu entends par ce passage,CC a écrit:On n'a pas de morphismes pur implique ou $\vdash$ évidemment, ni d'ailleurs d'unicité, mais en gros, toute théorie créative (au sens précis donné par la calculabilité) peut jouer ce rôle.
Que sous-entends-tu par : On n'a pas de morphismes pur implique ou $\vdash$ évidemment, ni d'ailleurs d'unicité ?. -
S'il vous plaît, chers modérateurs, est ce que vous pouvez remettre ce fil à sa place dans la rubrique : Fondements et Logique, car dans Shtam, ce fil perd toute crédibilité, et il y a plus de chances que ce fil ait une participation massive à cette discussion qu'au Shtam. Je ne comprends pas pourquoi vous mettez ce fil dans Shtam, car, il est très sérieux, et Shtam n'est pas sa meilleure place.
Merci pour votre compréhension. -
Bonjour,
Tu rigoles ? Les fils de "Shtam" ont en moyenne beaucoup plus de succès que ceux de "Fondements et logique". Moi je trouve que Poirot est très généreux en te donnant autant de visibilité. B-)- -
Bonsoir à tous,
A fin de compléter mon programme de recherche à ce sujet, je cherche à définir, la notion de morphisme entre deux théories, $ f \ : \ \mathbb{T}_{ 1 } \to \mathbb{T}_2 $ comme élément de $ \mathcal{T} ( \mathbb{T}_1 , \mathbb{T}_2 ) $ pour deux théories $ \mathbb{T}_1 $ et $ \mathbb{T}_2 $ d'une catégorie $ \mathcal{T} $ de théories $ \mathbb{T} $, et définir ensuite un foncteur $ T \ : \ \mathcal{T} \to \mathrm{Ens} $, dont $ \mathbb{T}_{ \mathrm{univ} } $ est le classifiant, c'est à dire, que $ T $ vérifie, $ T ( \mathbb{T} ) = \mathcal{T} ( \mathbb{T}_{ \mathrm{univ} } , \mathbb{T} ) $ pour tout $ \mathbb{T} \in \mathcal{T} $, et que, $ T $ soit un foncteur dont les éléments de $ T (\mathbb{T} ) $, pour tout $ \mathbb{T} \in \mathcal{T} $, sont assujettis à un jeu d'axiomes. Autrement dit, $ T $ est définie par un ensemble d'éléments pour chaque $ T( \mathbb{T} ) $, et un système de relations jouant le rôle d'axiomes ( Pensez à la notion de théorie de Weil comme définie ici, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2123760 , à titre d'exemple )
Quel est $ T $ ? Et quel est son classifiant $ \mathbb{T}_{ \mathrm{univ} } $, d'après vous ?
Merci d'avance. -
Et si tu commençais par définir ce qu'est une théorie ?
-
Et si toi, tu commençais par remettre ce fil à sa place dans la rubrique : Fondements et Logique ? 8-)
-
C'est malheureusement la vérité mais faire beaucoup de vues dans ce sous-forum ne te consacre pas génie des mathématiques mais plutôt clown de cirque.Calli a écrit:Tu rigoles ? Les fils de "Shtam" ont en moyenne beaucoup plus de succès que ceux de "Fondements et logique"
PS:
255 vues à cette heure, c'est en bonne voie. X:-( -
265 maintenant...
-
Bonjour.
Pour ma part, je regarde tous les sujets, et quand il y a manipulation des mots des mathématiques sans activité mathématique, je me dis "tiens, c'est du shtam" (*). Ça m'arrive souvent avec Pablo, et parfois, par gentillesse, on le laisse dans d'autres rubriques. Là, pas de problème, le fil est bien placé.
Cordialement.
(*) il y a d'autres cas, par exemple calculs élémentaires censés "faire progresser" une conjecture facile à énoncer. -
Ce fil restera du shtam tant que tu n'auras pas défini tout ce dont tu parles. Jusqu'à preuve du contraire tu balances tout un tas de termes pseudo-scientifiques pour avoir l'air intelligent.
-
Poirot,
Qu'est ce qui n'est pas défini dans ce fil ?
Pour la définition de la notion de théorie $ \mathbb{T} $, voici la définition,
Soit $ \sum $ une signature.
Une théorie $ \mathbb{T} $ over $ \sum $ est un ensemble $ S $ de séquents $ \phi \vdash_{ \vec{x} } \psi $ où $ \phi $ et $ \psi $ sont des formules, over $ \sum $, et $ \vec{x} $ est un contexte relativement à $ \phi $ et $ \psi $.
Un séquent $ \phi \vdash_{ \vec{x} } \psi $ de cet ensemble $ S $, s’appelle axiome.
Par contexte, j'entends une liste finie de variable $ \vec{x} = x_1 , \dots , x_n $.
$ \phi \vdash_{ \vec{x} } \psi $ signifie, que $ \psi $ est une conséquence logique de $ \phi $ dans le contexte $ \vec{x} $.
C’est à dire, $ \forall (x_1 , \dots , x_n) \in A_1 \times \dots \times A_n \ : \ \phi (x_1 , \dots , x_n ) \ \Longrightarrow \ \psi (x_1 , \dots , x_n ) $.
Les $ A_1 , \dots , A_n $ sont des $ \sum $ - sorts of the signature $ \sum $.
Maintenant, peux tu remettre ce fil dans la section Fondements et Logique, après que tout a été défini, et comme tu nous a promis ?
Merci d'avance. -
Copie à moitié traduite d'un document qu'il ne comprend pas ...
-
Je ne comprends pas pourquoi la modération ne prend pas des mesures sévères contre toi sur ce forum.
Tu traînes sur ce forum juste pour agacer les gens et polluer leur fils. -
Pablo, je soutiens aussi moi-même le maintien de ce fil dans shtam. Tu auras beaucoup plus de succès. Dans L et F tu n'auras que moi à te répondre et je suis très très peu dispo.
D'autre part, OC fait des maths, même s'il ya une pourchasse d'unification d'outils utilisés par les "working-mathematician". Toi, tu te veux faire de la philosophie et pas des maths.
J'ai oublié la lettre "o", je voulais dire "pour" et non pas "pur". Cela signifiait que tu ne peux pas avoir :
$$ j(a\to b) = j(a)\to j(b) ,
$$ avec $j$ ton morphisme, ni même (sans tricher)
$$ j(a\vdash b) = j(a)\vdash j(b)
$$ mais comme je pense (peut-être à tort, pardonne-moi, je te lis peu) que tu ne maitrises pas toutes ces notions, je ne détaillerai pas plus.
Ce qu'il faut retenir de mon message est qu'on a prouvé que plus une théorie est intéressante plus alors forcément elle est risquée (ie on a moins de "preuves" de sa consistance-vérité).
Ce truc clôt tous les espoirs un peu naifs de "révolutions fondationnelles" ou de théorie universelle. Ton obsession pour le catégorisme ainsi que la "publicité" peut-être un peu exagérée que ce domaine fait pour sa promotion (et il est légitime de se défendre pour obtenir des crédits et des posts) font très mauvais ménage et te font "tourner à vide" sentimentalement vis à vis de la chose scientifique.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
de Gérard à Pablo a écrit:Je ne comprends pas pourquoi la modération ne prend pas des mesures sévères contre toi sur ce forum.
Tu traînes sur ce forum juste pour agacer les gens et polluer [...].
Ah oui, tout à fait !
Ah non... attendez, j'ai inversé :-S :de Pablo à Gérard a écrit:Je ne comprends pas pourquoi la modération ne prend pas des mesures sévères contre toi sur ce forum.
Tu traînes sur ce forum juste pour agacer les gens et polluer [...].
Quuoooii ??!! Mais c'est le monde à l'envers ! (:P) -
@Fin de partie http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2123386,2123932#msg-2123932
Oui bien sûr, j'ai omis de mentionner ce détail. :-D -
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Pablo a écrit:Qu'est ce que vous en pensez ?
J'essaie de me mettre à ta place et m'imaginer ce que tu ressens quand tu tapes les latex des lettre cyrilliques. Mais je ne crois pas y parvenir.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
La réflexion de Christophe m'incite à penser qu'on a peut-être tort de classer ce fil dans la rubrique Shtam. On devrait le mettre dans la rubrique Latex. Il y a plein d'exemples qui pourraient servir de modèles. B-)-
-
Est-ce que tu espères des liens avec le groupe de Galois cosmique suggéré par Cartier et popularisé par Connes ?Pablo a écrit:... D'où, la prévision de l'existence d'un principe fondamental de la théorie universel des mathématiques, qui est régi par une équation universelle de la mathématique qui explique toute la mathématique, où son groupe de Galois est celui associé à cette théorie universelle $T_{\rm univ}$... à l'instar du principe fondamental en physique, qui explique toute la mécanique Newtonienne à titre d'exemple. -
CC parlant de Pablo a écrit:J'essaie de me mettre à ta place et m'imaginer ce que tu ressens quand tu tapes les latex des lettre cyrilliques.
B-)- -
pablo_de_retour a écrit:C'est à dire, que, Top est un anti-adjoint à gauche de Gal.« Gal, amant de la reine, à l'atour magnanime,
Galamment de l’arène alla tour Magne à Nîmes »Victor Hugo -
C'est du très beau shtam, pour quelqu'un qui ne sait pas résoudre des exercices d'algèbre simples de niveau L1 ta maîtrise du $\LaTeX$ impressionne !
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Math Coss a écrit:Est-ce que tu espères des liens avec le groupe de Galois cosmique suggéré par Cartier et popularisé par Connes ?
Merci pour tes deux liens que tu m'indiques Math Coss. Je les ai lu tous les deux. Le deuxième, qui compte 8 page, frappe particulièrement mon attention lorsqu'il dit que les groupes de Galois motiviques opèrent aussi sur différents théories physiques. En particulier, les groupes de Galois cosmiques opèrent sur les constantes de couplages des différents théories des champs.
Alors, il y a un lien étroit entre les aspects de la notion de théorie universelle que ce soit en mathématique ou en physique ... C'est que tous les deux soulignent le fait qu'une théorie universelle est soumise à l'action d'un groupe de Galois opérant sur elle.
Je serai curieux de savoir quelle est cette théorie universelle qui explique toute la physique, ainsi que son topos classifiant, son groupe de Galois universel, et son équation universelle qui la régit. C'est peut être tout le but d'Alain Connes caractérisant ses recherches depuis le début de sa carrière. -
@Raoul un grand merci. J'ai exploité ton lien à bon escient sur les RS :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Oui, YouTube est une mine d'or (tu)
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Tss tss. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2123386,2124486#msg-2124486
Gal, amant de la reine, alla, tour magnanime,
Galamment de l'arène à la tour Magne, à Nîmes. -
[ ... ]
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Bonsoir,
Ce fil date de plusieurs mois. Est ce que les modérateurs peuvent rétablir tous les messages que j'avais effacé sur ce fil ( ... pour les mettre à la disposition des lecteurs ) ?
Merci infiniment. -
Pablo s'ennuie, il revient sur toutes ses absurdités ! Et voudrait même revenir sur ce qu'il a considéré comme idiot !
-
Je ne savais pas comment le formuler.
C’est ça !
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