Allons voir Syracuse

C'est souvent intéressant de pouvoir visualiser un problème mathématiques.

Voici (encore) une approche pour Syracuse. On représente les nombres par des arbres. Ici, je représenterai les arbres par des expressions.

Une feuille $x$ représente une unité et pour un arbre A représentant un nombre $n$, l'arbre $[A]$ représente $2n$.

On a donc la relation suivante (*) : $A,A=[A]$. Deux copies d'un arbre $A$ donnent une seule copie plus bas.

La fonction de Syracuse qui envoie $2n+1$ sur $3n+2$ revient alors à l'opération suivante : $[A],x\rightarrow[A,x],A$.

Remarquez que l'on opère de la même manière sur un terme $T$ ou sur un terme $[T],T,.....$ (càd à multiplication par une puissance de 2 près)

Voici ce que cela donne pour $27$ :

0, [x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x] écriture unaire qui va se simplifier par (*)
1, [[[x], x, x], x]
2, [[[[x, x]]], x]
3, [[[[x], x], x], x], x
4, [[[[x, x], x], x], x]
5, [[[[[x]], x], x], x]
6, [[[[[x], x, x]], x], x]
7, [[[[[[x, x]]]]], x]
8, [[[[[[x], x], x], x], x]]
9, [[[[[[x, x], x]], x], x]]
10, [[[[[[x]], x]]], x]
11, [[[[[[x], x], x], x], x]]
12, [[[[[[x], x], x]], x], x]
13, [[[[[[x], x], x, x]]], x]
14, [[[[[[[x, x]], x], x], x], x]]
15, [[[[[[[x]]]], x], x], x]
16, [[[[[[[x], x]], x]], x], x]
17, [[[[[[[[x], x]], x]]]], x]
18, [[[[[[[[x], x, x], x], x], x]], x]]
19, [[[[[[[[x, x]]], x], x], x]]]
20, [[[[[[x], x], x], x], x, x], x]
21, [[[[[[[x, x], x], x], x]]], x]
22, [[[[[[[[x]], x], x]], x], x]]
23, [[[[[[[x], x, x]], x]]], x]
24, [[[[[[[[x], x], x], x], x], x], x]]
25, [[[[[[[x], x], x, x], x], x], x], x]
26, [[[[[[[[x, x], x]]], x], x], x], x]
27, [[[[[[[[[x]]], x], x]], x], x], x]
28, [[[[[[[[[x], x], x]], x]]], x], x]
29, [[[[[[[[[[x], x]], x], x], x], x], x]], x]
30, [[[[[[[[[[x], x], x]], x], x], x], x]]]
31, [[[[[[[[[x, x]], x]], x]], x], x], x]
32, [[[[[[[[[[x]]]]]]]], x], x]
33, [[[[[[[[[[x], x]]]]]], x]], x]
34, [[[[[[[[[[[x], x]]]]]], x]]]]
35, [[[[[[[[x], x, x], x]]]], x]]
36, [[[[[[[[x, x]]]], x]], x]]
37, [[[[[[[x], x], x], x, x]]]]
38, [[[[[x, x], x], x]]]
39, [[[[x]], x], x]
40, [[[[x], x, x]], x]
41, [[[[[x, x]]]]]
42, [[x]] on a une puissance de 2....FIN


Ce serait fructueux d'avoir d'autres formes de visualisation qui mettent en valeur les puissances de $2$.
Ici, une puissance de $2$, c'est une une simple branche.