Une preuve analytique formelle de Syracuse ?

Voici la référence de l'article initial et l'article en pdf :

Functional equations associated with congruential functions
Theoretical Computer Science, Volume 123, Issue 2, 31 January 1994, Pages 397-406

Bonjour à vous

Je ne suis pas analyste mais plutôt formé à la combinatoire et à l'informatique théorique et aux maths discrètes.

Cependant, j'aimerais proposer ici une "preuve" de la conjecture 3x+1 (conjecture de Collatz ou de Syracuse) puisque certains semblent apprécier ici les séries formelles génératrices.

La conjecture dit ceci : pour la fonction $f$ définie sur les entiers positifs par $$f(n)=\cases{n/2 &si $n$ est pair\cr 3n+1 &si $n$ est impair}$$
il existerait toujours pour tout $n>0$ un $k$ tel que $f^k(n)=1$. On dira dans ce cas que $n$ "converge" vers $1$.

Cette conjecture est célèbre. Voici une approche formelle. C'est dans la suite d'une idée que j'avais publiée (pdf ci-joint)

Soit une série formelle : $$F(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$$

On pose des conditions sur $F$ qui expriment la conjecture de Syracuse :

a) $a_0=a_1=0$
b) $a_{2n}=a_n$ pour tout $n$
c) $a_{2n+1}=a_{3n+2}$ pour tout $n$. ( notez que $f(2n+1)=6n+4$ et $f^2(2n+1)=3n+2$ )

Notez que la conjecture revient à dire qu'il n'y a comme solution formelle à ces conditions que la série nulle : $F(x)=0$ pour tout $x$.
C'est purement formel. Si on souhaite entrer dans le cadre des fonctions définies, on verra par la suite que l'on ne s'intéresse pas à la valeur de $F(0)$, qui pourrait poser problème avec les manipulations à suivre, mais aux valeurs $F(1)$ et $F(-1)$ qui sont définies si on suppose par exemple les coefficients $a_n\ge 0$ et infinitésimaux. Il n'y a aucune hypothèse préalable ou nécessaire sur ces coefficients si ce n'est celles qui fixent $a_0$ et $a_1$ en a).

Par b) et c) :

$$\eqalign{F(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_{2n}x^{2n}+\sum_{n=0}^\infty a_{2n+1}x^{2n+1}\cr
&=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n}+\sum_{n=0}^\infty a_{3n+2}x^{2n+1}\cr
&=F(x^2)+\sum_{n=0}^\infty a_{3n+2}x^{2n+1}}$$

On a pour la racine cubique imaginaire de l'unité $w=e^{2i\pi/3}$ :

$$\sum_{n=0}^\infty a_{3n+2}x^{3n+2}={{F(x)+wF(wx)+w^2F(w^2x)}\over{3}}\\
\hbox{(remarquez que $w^{3k+i}=w^i$ et $1+w+w^2=0$})$$

Par le changement de variable : $x\mapsto x^{2/3}$ :

$$\sum_{n=0}^\infty a_{3n+2}x^{(2/3)(3n+2)}=\sum_{n=0}^\infty a_{3n+2}x^{2n+4/3}=\sum_{n=0}^\infty a_{3n+2}x^{2n+1+1/3}=x^{1/3}\sum_{n=0}^\infty a_{3n+2}x^{2n+1}={{F(x^{2/3})+wF(wx^{2/3})+w^2F(w^2x^{2/3})}\over{3}}$$

et ainsi :

$$\sum_{n=0}^\infty a_{3n+2}x^{2n+1}={{F(x^{2/3})+wF(wx^{2/3})+w^2F(w^2x^{2/3})}\over{3x^{1/3}}}$$

Et la relation initiale devient successivement :

$$\eqalign{F(x)&=F(x^2)+{{F(x^{2/3})+wF(wx^{2/3})+w^2F(w^2x^{2/3})}\over{3x^{1/3}}}\cr
3x^{1/3}F(x)&=3x^{1/3}F(x^2)+F(x^{2/3})+wF(wx^{2/3})+w^2F(w^2x^{2/3})\cr
3xF(x^3)&=3xF(x^6)+F(x^2)+wF(wx^2)+w^2F(w^2x^2)}$$

La condition a) équivaut à poser $F(x)=x^2S(x)$ et on obtient :

$$\eqalign{
3x^7S(x^3)&=3x^{13}S(x^6)+x^4S(x^2)+w^3x^4S(wx^2)+w^6x^4S(w^2x^2)\cr
3x^3S(x^3)&=3x^9S(x^6)+S(x^2)+S(wx^2)+S(w^2x^2)}\hskip 1cm (*)$$

Pour $x=1$, la relation $(*)$ devient : $S(1)+S(w)+S(w^2)=0$

Pour $x=-1$, la relation $(*)$ devient : $-3S(-1)+4S(1)+S(w)+S(w^2)=0$

En combinant, on obtient la condition nécessaire $S(1)=S(-1)$ et puisque $F(1)=1^2S(1)=S(1)$ et $F(-1)=(-1)^2S(-1)=S(-1)$ on a :

$$0=F(1)-F(-1)=2(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9+...)$$

La somme des coefficients d'indices impairs est forcément nulle....et ceci pour tous les possibles, y compris pour des $a_n\ge 0$ infinitésimaux.

C'est à dire que dans le problème initial de la conjecture de Syracuse, les $n$ impairs convergent tous vers $1$ (ou $0$ mais ça c'est impossible).
La convergence pour les $n$ pairs en découle trivialement.

Idées et calculs à vérifier....

@Rescassol

$F(1)$ c'est juste une façon simple d'écrire la somme infinie $a_0+a_1+a_2+a_3+...$.

De plus cette somme n'est pas forcément infinie (si vous voulez). On peut la limiter à $a_0+a_1+a_2+a_3+...a_N$ pour $N$ arbitrairement grand.
Cela devrait convenir à certains analystes mais pas à moi...pourtant je ne suis pas friand des infinis (comme on le sait déjà sur le forum de logique).

Pour tenter de forcer la convergence en $1$ et $-1$, on peut changer la définition des coefficients (sans changer le lien avec la conjecture).
Je reprend pour essayer en modifiant comme suit :

b) $a_{2n}=a_n/2^n$ pour tout $n$...cela devrait suffire à garantir cette convergence à l'infini des valeurs $F(1)$ et $F(-1)$.

$$\eqalign{F(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_{2n}x^{2n}+\sum_{n=0}^\infty a_{2n+1}x^{2n+1}\cr
&=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n}/2^n+\sum_{n=0}^\infty a_{3n+2}x^{2n+1}\cr
&=F(x^2/2)+\sum_{n=0}^\infty a_{3n+2}x^{2n+1}}$$

Et la relation initiale devient successivement :

$$\eqalign{F(x)&=F(x^2/2)+{{F(x^{2/3})+wF(wx^{2/3})+w^2F(w^2x^{2/3})}\over{3x^{1/3}}}\cr
3x^{1/3}F(x)&=3x^{1/3}F(x^2/2)+F(x^{2/3})+wF(wx^{2/3})+w^2F(w^2x^{2/3})\cr
3xF(x^3)&=3xF(x^6/2)+F(x^2)+wF(wx^2)+w^2F(w^2x^2)}$$

La condition a) équivaut à poser $F(x)=x^2S(x)$ et on obtient :

$$\eqalign{
3x^7S(x^3)&=3x^{13}/4S(x^6/2)+x^4S(x^2)+w^3x^4S(wx^2)+w^6x^4S(w^2x^2)\cr
3x^3S(x^3)&=3x^9/4S(x^6/2)+S(x^2)+S(wx^2)+S(w^2x^2)}\hskip 1cm (*)$$

On trouve finalement la relation $F(1)+F(-1)=2F(1/2)$ ce qui donne la relation attendue par l'hypothèse a) mais sans aucun intérêt :

$$\sum a_{2n}=\sum a_n/2^n$$