Suite Syracuse & le nombre $\pi$

Berkouk2 · December 2020

Bonjour
j'ai lu quelque part dans internet qu'on peut trouver la valeur de Pi rien qu'en manipulant certaines variables de la célèbre conjecture de Syracuse et je me suis demandé s'il y a des liens profonds entre la cyclicité de la conjecture et celle du cercle incarnée par Pi :
1° - on compte la suite de Syracuse pour tous les bornes jusqu'à une certaine borne n
2° - on compte la somme s des termes de chaque suite, et sa longueur l
3° - on compte tous les couples (s,l) dont s soit premier avec l, ce qui donne le nombre a
4° - on calcule c = racine carré de 6*n/a, c est une valeur approchée de Pi
ex : n=1000 , a = 606 , c = 3.146583

Conjecture : la précision de la valeur approchée de Pi ( c) est proportionnelle à la borne n
n= 1000 c =3.14583
n= 10000 c = ?
.
.
.
n = infini c = Pi
pour votre action.
BERKOUK

Poirot · December 2020

On dirait une mauvaise recette de cuisine qui mènerait curieusement à ce que $\frac{n}{a}$ soit une somme d'inverses de carrés.

Math Coss · December 2020

Il y a un résultat célèbre : parmi les couples $(m,n)\in\{1,\dots,r\}^2$, la proportion de ceux tels que $m\wedge n=1$ tend vers $6/\pi^2$ lorsque $r$ tend vers l'infini. On simplifie souvent l'énoncé en parlant de « probabilité que deux entiers soient premiers entre eux ».

Le calcul de Berkouk suggère que la suite des couples $(s,l)$ est « typique ».

[Edit : Comme me le fait remarquer Dom, une proba de $\pi^2/6$ comme indiqué précédemment, c'est vraiment les maths à l'envers !]

lourrran · December 2020

Résumé :
Etape 1 : la longueur d'une suite et la somme des termes d'une suite n'ont aucune relation particulière entre eux, ils se comportent comme 2 nombres pris aléatoirement. Ils n'ont aucune particularité.
Etape 2 : On sait par ailleurs que 2 nombres pris au hasard ont une probabilité $\frac {6}{\pi^2}$ d'être premiers entre eux.
Etape 3 : la longueur et la somme des termes d'une suite de Syracuse ont donc cette propriété magique d'être en liaison avec $\pi$

Math Coss · December 2020

Tout de même, la proximité avec la valeur attendue est surprenante. Quand je tire 1000 paires de nombres au hasard, le calcul de la valeur approchée de $\pi$ est très variable et il n'y a presque jamais 3 chiffres significatifs.

En faisant le test avec les $1000k$ premières valeurs pour $k=1,2,\dots,9$, on trouve successivement (je crois)...

[3.14658387763776,
 3.13753638010866,
 3.13026910167226,
 3.15374779514916,
 3.14192111803347,
 3.13925369626357,
 3.15365444343025,
 3.15898875895594,
 3.15120950876803]

Berkouk2 · December 2020

Bonsoir

Math Coss a écrit:

......et il n'y a presque jamais 3 chiffres significatifs.

pourtant la moyenne arithmétique des 9 valeurs de votre liste = 3,1459071866688 ramènent tout de même 2 décimaux de Pi

BERKOUK

Math Coss · December 2020

Je n'ai pas été clair. Les sorties précédentes correspondent à tester l'aléa sur les $1000k$ premières trajectoires de Syracuse pour $k$ de $1$ à $9$.

Par contraste, en tirant neuf fois $1000$ nombres entre $1$ et $10^{12}$, voici une sortie typique – beaucoup plus loin de $\pi$ que les séries précédentes.

[3.15440148938256,
 3.16227766016838,
 3.07631636823594,
 3.17021312474121,
 3.18896402071640,
 3.15964571825574,
 3.19438282499970,
 3.08118011256660,
 3.21080649533968]

Berkouk2 · December 2020

Bonsoir

Lourrain a écrit:

Etape 1 : la longueur d'une suite et la somme des termes d'une suite n'ont aucune relation particulière entre eux, ils se comportent comme 2 nombres pris aléatoirement. Ils n'ont aucune particularité

je ne crois pas que Syracuse ramène les couples (s,l) aléatoirement comme dans un tirage , il doit y avoir un lien entre s et l. (La répartition des nombres premiers aussi.)

Moi je définis la validité de ma formule (c= racine carré 6*n/a) par la borne n c'est-à-dire :
n...............Syr(n).............................a ................... longueur

1...............1>4>2>1........................8..................... 4
2...............2>1................................3......................2
3...............3>10>5>16>8>4>2>1...49....................8
.
.
.
1000........1000>500>250>125...etc .....606.............112 ...................... c'est la borne 1000
.
.
10000 .................................................................................................c'est la borne 10000 .......etc.

Math Cross a tiré au hasard 1000 (plusieurs fois) parmi une fourchette de 1 à 10^12, c'est un mal entendu.

Ce n'est pas un tirage, il s'agit des "bornes" c'est-à-dire le premier millier (de n =1 à n=1000) puis une borne de 10000 (de n=1 à n= 10000) ainsi de suite, ce n'est pas une démarche probabiliste, c'est tout simplement la conjecture que plus la borne est grande plus la précision sur la valeur Pi est meilleure en utilisant la formule calculée par les vrais valeurs de la borne, et non pas des valeurs tirées au hasard.
BERKOUK

Ludwig · December 2020

Un lien profond entre le nombre $\pi$ et la conjecture de Syracuse ? Je n'y crois pas. Car ce que tu as lu quelque part Berkouk2, tu aurais sans doute pu le lire pour une autre suite (ça c'est mon avis). Mathcoss a rappelé une propriété célèbre, il y a aussi la formule de Machin, tous ces trucs peuvent ressurgir ailleurs, sous une autre forme. Mais je crois qu'ils sont surtout indépendants du contexte où on les voit apparaitre. Ils n'en disent rien, de ce contexte.

lourrran · December 2020

Berkouk, tu ne crois pas que .... ...
Par ailleurs, tu crois avoir démontré la conjecture de Syracuse.

Conclusion : quand tu crois que la propriété $P_1$ est fausse, il y a de fortes chances qu'elle soit vraie.
Et quand tu crois que la propriété $P_2$ est vraie , il y a de fortes chances qu'elle soit fausse.

Autre rappel :
Dans ton 1er message, tu disais que tu avais lu cette propriété quelque part sur internet (ce serait la moindre des choses de donner un lien).
Donc quand tu parles de TA formule, c'est une appropriation un peu excessive. Ce n'est pas TA formule, c'est la formule que tu as lue quelque part sur Internet.

Dom · December 2020

Et on peut penser que tu as mal compris ce que tu as lu...
La routine des fils Shtam.

Berkouk2 · December 2020

Bonjour
avant que ça dégénère en un débat idéologique pour ceux qui brandissent les droits d'auteurs des mathématiciens le monopole du Savoir absolu, la compréhension exclusive des choses ...

Est-ce qu'il y a quelqu'un qui peut calculer c, la valeur approchée de pi dans les bornes suivantes ? :

n................................................................................. c

de n=1 à n=1000 ( borne 1 )..................................3.146583 ( pour vérifier )
de n=1 à n=10000 ( borne 2 )................................ ?
de n=1 à n=100000 ( borne 3 )............................... ?
de n=1 à n=1000000 ( borne 4 )............................ ?
de n=1 à n=10000000 ( borne 5 ).......................... ?
de n=1 à n=100000000 ( borne 6 )........................ ?
de n=1 à n=1000000000 ( borne 7 )...................... ?
de n=1 à n=10000000000 ( borne 8 ).................... ?
de n=1 à n=100000000000 ( borne 9 ).................. ?
de n=1 à n=1000000000000 ( borne 10 ).............. ?

ça nous permettra de statuer sur la solidité de la fameuse conjecture.
Merci d'avance.
BERKOUK

[Tu as la possibilité d'éditer tes messages. AD]

Dom · December 2020

Mais n’est-ce pas à toi de le faire ?
Donne ton code et ses résultats.

Au boulot.

lourrran · December 2020

Je viens de trouver la source de cette conjecture : magazine interstices

Extraits :

Le français Roland Yéléhada a en effet mis au point une méthode de calcul de $\pi$ à partir de la conjecture de Syracuse.
...
On a des raisons de croire qu'elle converge vers $\pi$, car la longueur et la somme d'une suite de Syracuse, à cause de comportements imprévisibles des suites, sont comme deux nombres entiers tirés au hasard.
...
Bien évidemment, il s'agit d'un jeu, ...

On parle de cette histoire aussi dans Pour la Science, mais c'est exactement la même source au final.

Si la suite converge réellement, ça ne peut être que très lentement, et PMF l'a montré (lol) en exhibant ses clusters.

Résumé :
Un chercheur dit : l et s sont aléatoires, donc la suite ... converge vers $\pi$
Berkouk2 lit cela et dit : l et s ne sont pas aléatoires , donc la suite ... converge vers $\pi$

Cherchez l'erreur.

Berkouk2 · December 2020

Bonjour

deux thèses qui \ a écrit:

Roland Yéhéda dit : l et s sont aléatoires, donc la suite ... converge vers Pi
Berkouk2 lit cela et dit : l et s ne sont pas aléatoires , donc la suite ... converge vers Pi

arguments en faveur de MA thèse :

1° - les décimales de Pi ne s'affichent pas aléatoirement , la preuve vous preniez toutes les formules qui génèrent Pi , toujours le mème ordre des chiffres , si non Pi ne serait pas unique et vous ne pouvez déterminer le dernier chiffre de la 10^99999999 éme décimale de Pi sans passer par le calcul et non par la chance de se tromper 9 fois sur dix .

2° - idem pour la transformation de Collatz , la somme des valeurs des étapes (s) et sa longueur(l) sont uniques , les valeurs (s,l) sont déterminés par le protocole imposé par Syracuse et non pa hasard

résumé :

il y a de fortes raisons de croire qu'un processus non aléatoire implique un autre processus non aléatoire non plus

(s,l) non Aléatoire ==> PI non Aléatoire .

Est-ce qu'il y a quelqu'un qui peut calculer c, la valeur approchée de pi dans les bornes suivantes ? :

n................................................................................. c

de n=1 à n=1000 ( borne 1 )..................................3.146583 ( pour vérifier )
de n=1 à n=10000 ( borne 2 )................................ ?
de n=1 à n=100000 ( borne 3 )............................... ?
de n=1 à n=1000000 ( borne 4 )............................ ?
de n=1 à n=10000000 ( borne 5 ).......................... ?
de n=1 à n=100000000 ( borne 6 )........................ ?
de n=1 à n=1000000000 ( borne 7 )...................... ?
de n=1 à n=10000000000 ( borne 8 ).................... ?
de n=1 à n=100000000000 ( borne 9 ).................. ?
de n=1 à n=1000000000000 ( borne 10 ).............. ?

ça nous permettra de statuer sur la solidité de la fameuse conjecture.
Merci d'avance.

BERKOUK
pour un nombre de départ donné , la vaeur

lourrran · December 2020

lol.

Imaginons que quelqu'un calcule tout ça.
Et comment tu feras l'analyse des résultats ?
Si la suite tend vers \pi, tu diras quoi : Roland Yéléhada avait raison ... ... mais il avait tort.
Et si la suite ne tend pas vers \pi, tu diras quoi ? tu diras que tu avais tort ?

Et si, cas le plus probable, on tourne autour de $\pi$, mais avec 2 ou 3 décimales correctes seulement, tu diras quoi ? qu'il faut faire plus de calculs ?

Lancer des calculs, ou pire, demander à d'autres de lancer des calculs, ça ne sert strictement à rien si on n'annonce pas à l'avance un vague plan.

Berkouk2 · December 2020

Bonjour

Soit Pi = 3,14159265358979

je cherche à vérifier la conjecture avec les valeurs v2 ,v3....dont les premiers décimaux sont indiquées ci-dessous :

premièrement

n................................................................................. c

de n=1 à n=1000 ( borne 1 )..................................3.146583 ( pour vérifier )
de n=1 à n=10000 ( borne 2 )................................ v2= 3.141*****
de n=1 à n=100000 ( borne 3 )............................... v3= 3.1415****
de n=1 à n=1000000 ( borne 4 )............................ v4= 3.14159***
de n=1 à n=10000000 ( borne 5 ).......................... v5= 3.141592***
de n=1 à n=100000000 ( borne 6 )........................ v6= 3.1415926***
de n=1 à n=1000000000 ( borne 7 )...................... v7= 3.14159265***
de n=1 à n=10000000000 ( borne 8 ).................... v8= 3.141592653***
de n=1 à n=100000000000 ( borne 9 ).................. v9= 3.1415926535***
de n=1 à n=1000000000000 ( borne 10 ).............. v10= 3.14159265358***

deuxièmement

Sinon du moins nous trouvions la propriété suivante :
( Pi - v2) > (Pi - v3 ) > (Pi - v3) > (Pi - v4) > (Pi - v5) > (Pi - v6) > (Pi - v7 ) >(Pi - v8) > (Pi - v9 ) >( Pi - v10).....> (Pi -vn)

troisièmement

Si les valeurs attendu ne correspondent pas au tableau dans 1° , ni à la propriété dans 2° nous concluons que la conjecture : la précision de la valeur rapprochée de Pi est proportionnelle à n la valeur de la borne est Fausse .

c'est ce que je crois , les premières vérifications sur les premières bornes vont vite confirmer le rejet de la conjecture .

BERKOUK

Dom · December 2020

Rappelons que la conjecture est évidemment fausse :
« La précision est proportionnelle à ».
Il suffit de regarder deux résultats et d’effectuer les produits en croix.

Hop. C’est bon. Terminé. Fini.
Inutile de poursuivre ce fil :-D

lourrran · December 2020

Berkouk,

Point n°1
Tu disais au départ que tu as lu quelque part sur internet qu'il y aurait telle relation entre la conjecture de Syracuse et $\pi$.
La source que j'ai donnée est-elle bien la même que ta source ?
Quand on entreprend un travail '''scientifique''', c'est essentiel de donner ses sources.

Point n°2
La conjecture en question s'appuie sur un résultat démontré par Ernesto Cesàro, en 1881 : si on prend 2 entiers tirés au hasard, la probabilité que ces 2 entiers soient premiers entre eux est de ....
Quand on répète 10000 fois une expérience qui a une probabilité p=0.607927 d'être un succès, on aura peut-être 6079 succès, ou peut-être 6050, ou peut-être 6100 succès.
La théorie est connue, ça s'appelle la loi binomiale, voire la loi normale.

Tu t'es appuyé sur cette loi normale pour déteminer les seuils que tu donnes ? Ou bien sur une théorie à toi ?

bisam · December 2020

Berkouk, j'ai l'impression que tu te fais une idée complètement fausse de plein de choses, parmi lesquelles :

l'aléatoire
Ce n'est pas une notion mathématique. Jamais, dans un cours de maths, tu ne verras défini ce que désigne le mot "aléatoire". Tu y trouveras des notions qui permettent d'étudier certains phénomènes qui paraissent aléatoires, mais tous les objets qui figurent dans le cours sont parfaitement déterministes. C'est d'ailleurs tout l'intérêt de la modélisation mathématique.
la convergence d'une suite
C'est bien une notion mathématique... mais visiblement, tu ne sais pas vraiment ce qu'elle signifie.
Elle ne signifie pas que si l'on calcule un "grand nombre" de termes de la suite, on va "voir" les valeurs se rapprocher d'une valeur donnée. Tu auras beau calculer autant que tu veux, cela n'apportera aucune information sur le comportement de la suite.
Cette notion signifie que pour un écart $\varepsilon$ fixé à l'avance, si on pouvait calculer la suite aussi loin que l'on voulait alors, au bout d'un certain temps, TOUS les termes de la suite figurant plus loin seraient situés à moins de $\varepsilon$ de la limite.
Par exemple, si on considère la suite convergente : $\displaystyle u_n=\sum_{k=2}^n\frac{(-1)^k}{\ln(\ln(k))}$, pour être sûr d'avoir une valeur approchée à $0,1$ près, il faudrait calculer le terme $u_N$ où $N$ est le plus petit entier supérieur à $e^{e^{10}}$, cet entier comportant plus de $9565$ chiffres. Il n'est même pas pensable de pouvoir un jour calculer $u_N$ par cette méthode... et pourtant, on sait démontrer qu'elle converge.

Bref, tout cela pour dire que tes divagations ne sont même pas des conjectures : rien ne les étaye. Ce sont juste des idées lancées en l'air, pour voir si quelqu'un est susceptible de les attraper au vol. Ça marche super bien au café du commerce... mais les cafés sont fermés, alors tu te rabats ici

Dom · December 2020

Ni même la proportionnalité, notion de 6e...

Berkouk2 · December 2020

Bonjour

Lourrain a écrit:

Tu t'es appuyé sur cette loi normale pour déteminer les seuils que tu donnes ? Ou bien sur une théorie à toi ?

rassurez vous , je me suis appuyé sur autre chose en une phrase : le groupement de la probabilité d'un événement avec l’équation qui détermine cet événement en vue de déduire la valeur de Pi . fin de citation

je trouve pas mal l'intervention de Bissam , la formule que je défend ici est moins garni que la votre étalée quand vous expliquiez la convergence d'une suite ou fonction que je maitrise bien en dehors du plan que j'ai concocté durant quelques minutes en vue de répondre à Lourrain et dont je rappelle :

le premièrement : il s’agit d 'espérer de trouver une amélioration des décimaux en fonction de la valeur de n utilisée dans la formule ... on sait jamais ( ça se situe en dehors de la proportionnalité ...)

le deuxièmement : cette fois il s'agit de remplacer "proportionnel " par "strictement croissante "quand j'ai espéré :

( Pi - v2) > (Pi - v3 ) > (Pi - v3) > (Pi - v4) > (Pi - v5) > (Pi - v6) > (Pi - v7 ) >(Pi - v8) > (Pi - v9 ) >( Pi - v10).....> (Pi -vn)

le troisièmement : quand il s'agit de montrer par les premières vérifications que ni le tableau rêvé , ni la proportionnalité si chère à Dom , ni la croissance stricte sauf que la conjecture est peut être fausse.

je rappelle @Bissam ,que grâce à une réunion autour d'une ou deux tasses de café ,dans une cafeteria , que se dévoilait le lien mystérieux entre la répartition des zéros non triviaux de la fonction zêta d'avec les niveaux d' énergie des atomes .

BERKOUK

lourrran · December 2020

Rappel : il ne faut pas abuser des substances hallucinogènes, c'est dangereux.

Dom · December 2020

Les sarcasmes des autres, si ça en est, sont liés à ton vocabulaire de collégien je pense.
Et tu ne sembles pas maîtriser ce vocabulaire de collégien, dont la proportionnalité.

Bon courage pour tes recherches amusantes.

Suite Syracuse & le nombre $\pi$

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