Format d'une suite de Collatz divergente
Ceci fait suite aux trois messages consécutifs que j'ai postés dans un autre sujet, à partir de celui-ci.
Dans la suite de $n_0=23$, soit 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, $p$ est le nombre de termes pairs, 11, et $q$ le nombre de termes impairs, 5. On cherche les termes $n_i$ impairs tels que $n_i<n_0$.
Dans A * B on sait que B > A parce que $3^1>2^1$. Dans A * * B on sait que B < A parce que $3^1<2^2$. Ceci quelle que soit la valeur respective de A et de B.
Démontrer qu'une suite de Collatz est toujours décroissante revient à démontrer qu'il existe un $n_i<n_0$ quel que soit $n_0$, ce qui semble impossible sinon quelqu'un y serait déjà parvenu. On posera donc le problème autrement : est-il possible de construire une suite dans laquelle on n'aurait jamais $3^q<2^p$ ?
Comme point de départ on prendra A * B, car si A est suivi de plus d'un astérisque alors B sera plus petit que lui et vérifiera l'inégalité. Comment faire en sorte d'obtenir C > A ? Autrement dit, combien d'astérisques faut-il placer entre B et C ?
251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479
S'il existe une suite divergente elle est obligatoirement de ce type. Encore faudrait-il que A * B * * C puisse se répéter indéfiniment, ce dont je doute. Il y a deux cas dans lesquels la suite se mettra à décroître : 3 B + 1 est divisible plus de deux fois par 2, ou 3 C + 1 l'est plus d'une fois. Comme 3 A + 1 est divisible une seule fois par 2, A est de la forme $4\,x-1$, et B est égal à $6\,x-1$, ce qu'on peut vérifier dans l'exemple ci-dessus : 377+1 et 425+1 sont bien divisibles par 6. Les nombres de cette forme sont 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, ... Parmi eux, combien sont tels que 3 B + 1 est divisible seulement deux fois par 2 ? Ce sont 17, 41, 65, 89, 113, ..., soit un sur quatre. Ça signifie que lorsqu'on construit une suite de ce type, la probabilité qu'elle continue de monter lorsqu'on arrive à un terme B est seulement de 0.25.
Quant à C, il est égal à $(3\,(6\,x-1)+1)/4=(9\,x-1)/2$, c'est-à-dire 13, 31, 49, 67, 85, 103, 121, 139, 157, 175, ... en ne conservant que les valeurs impaires (aussi nombreuses que les valeurs paires). Combien d'entre eux sont tels que 3 C + 1 est divisible une seule fois par 2 ? Un sur deux. Autrement dit, lorsque la suite atteint le C impair du premier segment A * B * * C elle n'a qu'une probabilité de 0.125 de continuer de monter. Je ne suis pas spécialiste en la matière, mais je suppose qu'à chaque ajout d'un segment A * B * * C cette probabilité décroît.
Conclusion : si on exclut l'éventualité d'une suite strictement croissante jusqu'à l'infini, c'est-à-dire A * B * C * D * ..., il ne peut exister aucune suite divergente.
PS : dans le premier million de suites (impairs de 3 à 1 999 999), la plus longue séquence croissant de la sorte se trouve dans la suite respective de 310687, 414249, 466031, 699047, 736443, 828499, 1048571, 1104665, 1242749, 1472887, 1656997, 1745643, 1864125 et 1963849. Elle compte 33 termes. Dans la suite de 310687, par exemple, on trouve
1048571, 3145714, 1572857, 4718572, 2359286, 1179643, 3538930, 1769465, 5308396, 2654198, 1327099, 3981298, 1990649, 5971948, 2985974, 1492987, 4478962, 2239481, 6718444, 3359222, 1679611, 5038834, 2519417, 7558252, 3779126, 1889563, 5668690, 2834345, 8503036, 4251518, 2125759, 6377278, 3188639
Dans la suite de $n_0=23$, soit 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, $p$ est le nombre de termes pairs, 11, et $q$ le nombre de termes impairs, 5. On cherche les termes $n_i$ impairs tels que $n_i<n_0$.
- Le rang d'un terme pair est associé à un exposant de 2 à partir de 1. Dans notre exemple, 70 est associé à $2^1$.
- Le rang d'un terme impair à partir du second est associé à un exposant de 3. Dans notre exemple, 35 est associé à $3^1$.
- Passer d'un terme au suivant consiste à incrémenter l'exposant de 2 ou celui de 3 selon que ce terme est pair ou impair.
- $n_i$ est plus petit que $n_0$ lorsque $3^q<2^p$ (ou $3^{q-1}$ si on compte les termes impairs à partir du premier).
- Exemples :
$35>23$ parce que $3^1>2^1$
$53>23$ parce que $3^2>2^2$
$5<23$ parce que $3^3<2^7$
$1<23$ parce que $3^4<2^{11}$. Ou, à partir de 5, $1<5$ parce que $3^1<2^4$.
Dans A * B on sait que B > A parce que $3^1>2^1$. Dans A * * B on sait que B < A parce que $3^1<2^2$. Ceci quelle que soit la valeur respective de A et de B.
Démontrer qu'une suite de Collatz est toujours décroissante revient à démontrer qu'il existe un $n_i<n_0$ quel que soit $n_0$, ce qui semble impossible sinon quelqu'un y serait déjà parvenu. On posera donc le problème autrement : est-il possible de construire une suite dans laquelle on n'aurait jamais $3^q<2^p$ ?
Comme point de départ on prendra A * B, car si A est suivi de plus d'un astérisque alors B sera plus petit que lui et vérifiera l'inégalité. Comment faire en sorte d'obtenir C > A ? Autrement dit, combien d'astérisques faut-il placer entre B et C ?
- A * B * C : on pourrait continuer comme ça pour créer une suite croissante aussi longue qu'on veut.
- A * B * * C : C > A parce que $3^2>2^3$.
- A * B * * * C : C < A parce que $3^2<2^4$. Il ne doit pas y avoir plus de 2 astérisques entre B et C.
- A * B * * C * D, puisque D > C. On retombe sur le début d'une suite croissante.
- A * B * * C * * D : D < A parce que $3^3<2^5$.
- A * B * * C * * * D : D < A parce que $3^3<2^6$. Il ne doit pas y avoir plus de 1 astérisque entre C et D.
- A * B * * C * D * E
- A * B * * C * D * * E : E > A parce que $3^4>2^6$.
- A * B * * C * D * * * E : E < A parce que $3^4<2^7$. Il ne doit pas y avoir plus de 2 astérisques entre D et E.
251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479
S'il existe une suite divergente elle est obligatoirement de ce type. Encore faudrait-il que A * B * * C puisse se répéter indéfiniment, ce dont je doute. Il y a deux cas dans lesquels la suite se mettra à décroître : 3 B + 1 est divisible plus de deux fois par 2, ou 3 C + 1 l'est plus d'une fois. Comme 3 A + 1 est divisible une seule fois par 2, A est de la forme $4\,x-1$, et B est égal à $6\,x-1$, ce qu'on peut vérifier dans l'exemple ci-dessus : 377+1 et 425+1 sont bien divisibles par 6. Les nombres de cette forme sont 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, ... Parmi eux, combien sont tels que 3 B + 1 est divisible seulement deux fois par 2 ? Ce sont 17, 41, 65, 89, 113, ..., soit un sur quatre. Ça signifie que lorsqu'on construit une suite de ce type, la probabilité qu'elle continue de monter lorsqu'on arrive à un terme B est seulement de 0.25.
Quant à C, il est égal à $(3\,(6\,x-1)+1)/4=(9\,x-1)/2$, c'est-à-dire 13, 31, 49, 67, 85, 103, 121, 139, 157, 175, ... en ne conservant que les valeurs impaires (aussi nombreuses que les valeurs paires). Combien d'entre eux sont tels que 3 C + 1 est divisible une seule fois par 2 ? Un sur deux. Autrement dit, lorsque la suite atteint le C impair du premier segment A * B * * C elle n'a qu'une probabilité de 0.125 de continuer de monter. Je ne suis pas spécialiste en la matière, mais je suppose qu'à chaque ajout d'un segment A * B * * C cette probabilité décroît.
Conclusion : si on exclut l'éventualité d'une suite strictement croissante jusqu'à l'infini, c'est-à-dire A * B * C * D * ..., il ne peut exister aucune suite divergente.
PS : dans le premier million de suites (impairs de 3 à 1 999 999), la plus longue séquence croissant de la sorte se trouve dans la suite respective de 310687, 414249, 466031, 699047, 736443, 828499, 1048571, 1104665, 1242749, 1472887, 1656997, 1745643, 1864125 et 1963849. Elle compte 33 termes. Dans la suite de 310687, par exemple, on trouve
1048571, 3145714, 1572857, 4718572, 2359286, 1179643, 3538930, 1769465, 5308396, 2654198, 1327099, 3981298, 1990649, 5971948, 2985974, 1492987, 4478962, 2239481, 6718444, 3359222, 1679611, 5038834, 2519417, 7558252, 3779126, 1889563, 5668690, 2834345, 8503036, 4251518, 2125759, 6377278, 3188639
Réponses
-
Si l'on se lance dans les probas, alors oui, c'est normal que ça redescende toujours à 1, puisque après un 3n+1, la moyenne est une division par 4.
Malheureusement, les mathématiciens ne se contentent pas de cette réponse. -
Dans les 5 premiers millions de suites (impairs de 3 à 9 999 999) la plus longue séquence de ce type est de longueur 38 et il n'en existe qu'une. Ce sont les 38 premiers termes de la suite de 8388603 :
8388603, 25165810, 12582905, 37748716, 18874358, 9437179, 28311538, 14155769, 42467308, 21233654, 10616827, 31850482, 15925241, 47775724, 23887862, 11943931, 35831794, 17915897, 53747692, 26873846, 13436923, 40310770, 20155385, 60466156, 30233078, 15116539, 45349618, 22674809, 68024428, 34012214, 17006107, 51018322, 25509161, 76527484, 38263742, 19131871, 57395614, 28697807
Quand on pense que dans le premier million de suites, plusieurs contenaient des séquences de longueur 33 ... Bref, s'il existe une suite divergente, qui par définition compte un nombre infini de termes, pour la trouver il va falloir s'accrocher ! -
Je suis d'accord, ça n'existe pas. De même, je crois aussi qu'il n'y a pas d'autre boucle que 1 4 2 1.
Mais les mathématiciens ne se contentent pas de convictions. -
Et à défaut de trouver un exemple de suite divergente, ils se contenteraient de la preuve qu'il en existe un, ou qu'il n'en existe pas. mais une preuve. Ils n'ont pas besoin de confirmation de ce qu'ils savent déjà, ni d'examen des suites qui terminent à 1, puisque ce sont justement celles qui ne les intéressent pas.
Cordialement. -
Non seulement le raisonnement est quasi-vide.
Mais pire, les faibles arguments donnés dans le raisonnement sont faux.Wilfrid a écrit:On l'aura compris, pour que la suite croisse indéfiniment il faut qu'elle soit formée de A * B * * C successifs.
Et donc , si on répète à l'infini A* B * C * * D , ou bien A * B * C * D * * E , ou bien encore A * B * C * * D * E * F * G * H * I * J * * * K, ça ne donnerait pas une suite indéfiniment croissante ?
Des fautes aussi grossières, chez des gens qui se définissent comme 'nuls en maths', j'ai déjà du mal à l'accepter, alors chez des gens qui prétendent s'intéresser aux nombres, sur des sujets qu'ils côtoient depuis des mois, ça me sidère.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Il est vrai que la compréhension de ce dont je parle requiert de l'intelligence...
-
Moi, j’ai tout démontré ce qui est démontrable.
Mais qui pourra avoir le bagage intellectuel pour comprendre mes preuves... ? -
@ Wilfrid :
"est-il possible de construire une suite dans laquelle on n'aurait jamais 3^q < 2^p ? "
Bien sûr que oui ! Suite infinie dont le 1er terme est le plus petit, sans problème. Il y a même une infinité de telles suites. Là où il y a un hic, c'est qu'on ne sait pas, à priori, lui associer un nombre entier.
Sinon ton raisonnement est faux, une telle suite n'a pas à être strictement croissante pour exister avec un éventuel entier donné. -
BonjourWilfrid a écrit:...On posera donc le problème autrement : est-il possible de construire une suite dans laquelle on n'aurait jamais 3q<2p ?
effectivement la suite de Collatz diverge si on trouve , ne serait-ce qu' une fois , un exemple ou 3^q > 2^p
or il a été démontré récemment le théorème suivant :
quelque soit n appartenant à N^* , la suite de Collatz atterri de n vers 1 <=> 2^p > 3^q et q/p < log2/log3
autrement dit si le ratio q/p > 0.6309...( log2/log3 ) , la suite de Collatz diverge ( ou atterri à un nombre infiniment Grand > 2^72...)
c'est ce que vous essayez de trouver si j'ai bien ?
BERKOUK -
Berkouk2 a écrit:effectivement la suite de Collatz diverge si on trouve , ne serait-ce qu' une fois , un exemple ou 3^q > 2^p
Elle diverge si on a toujours $3^q>2^p$, jusqu'à l'infini. Si on ne le trouve qu'une seule ou plusieurs fois, il s'agit d'une croissance de la suite. La question est donc : comment construire une suite qui croîtrait constamment ? Selon moi, la réponse est une succession ininterrompue de segments A * B * * C. Toute autre configuration conduit à une décroissance de la suite. -
Lol !BERKOUK2 a écrit:http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2145186,2145760#msg-2145760
il a été démontré récemment le théorème suivant : ...
Démontré par qui. Donne tes sources.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Ho je tombe ici par hasard... je devais éviter ce lieu...
Je laisse un POST-IT et je repars :
1) laisser un source
2) récrire le théorème proprement, avec chaque lettre quantifiée, sans ajout maladroit, sans émotion ou autre fioriture
À un de ces jours. -
@ Wilfrid :
Le début d'une suite infinie qui croît globalement (chaque chiffre représente le nombre de descentes après une montée) :
1112113111141111211131111121212111311111411311112.......
Et je peux t'assurer qu'il n'y aucun souci à affecter un nombre initial qui marche ( mais c'est long à calculer, tout de même) -
[suite]
Bon, si chaque chiffre correspond à une descente on peut le remplacer par un astérisque selon ma propre notation, ce qui donne
A*B*C*D**E*F*G***H*I*J*K*L****M*N*O*P*Q**R*S*T*U***V
J'arrête là parce qu'il n'y aura pas suffisamment de lettres dans l'alphabet pour aller jusqu'au bout.
D > A parce que segment croissant.
E > A parce que $3^4>2^5$.
F et G > A.
H > A parce que $3^7>2^{10}$.
I, J, K, L > A.
M > A parce que $3^{12}>2^{18}$.
...
V > A parce que $3^{21}>2^{30}$.
Ok, tu peux aller très loin comme ça. Mais rien ne permet de savoir si ce segment représente le début d'une suite réelle, à moins que tu n'indiques ta méthode de calcul, et rien ne prouve que ladite suite ne va pas finir par décroître. Il suffit de construire la suite de 27 pour voir qu'il faut attendre le 97ème terme pour trouver 23 < 27. Tu peux construire des séquences (pas des suites) aussi longues que tu veux, dont tous les termes impairs seront plus grands que celui de départ, sans pour autant avoir la certitude que le reste ne va pas converger.
Par contre, avec la concaténation infinie de segments A * B * * C (si c'est possible) on est certains qu'il n'y aura jamais convergence. -
Personnellement, la notation proposée par nodgim me convient très bien.
Ca définit parfaitement une famille d'entiers, ayant un certain profil. C'est très clair. On sait qu'il y a un et un seul entier entre 1 et $2^{69}$ qui correspond à ce profil.. peu importe la valeur de cet entier en base 10.
Là où on pourrait trouver à redire, c'est que cette notation ne permet pas de gérer les entiers qui ont par exemple une montée , puis 12 descentes, puis une montée ; il ne faut pas qu'il y ait plus de 9 descentes successives.
Il faut donc convenir de l'utilisation de parenthèses par exemple :
11121131111411112111311111212121113111114113111(12)12 : on a en gros une alternance montées/descentes... parfois 2 , 3, voire 4 descentes successives, et soudain, 12 descentes successives.
Mais à cette réserve près, la notation est parfaite.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Non, cette notation est inadaptée, elle entrave le décompte des termes impairs pour déterminer si $3^q$ est plus petit ou plus grand que $2^p$.
-
La compréhension de cette notation requiert un peu d'intelligence. Ca, c'est incontestable.
Si tu en conclues qu'elle est inadaptée pour décompter les termes impairs ou pairs, c'est autre chose. Elle est au contraire faite pour faciliter le comptage d'étapes paires et impaires.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
@Lourran: j'ai parlé d'une suite de chiffres pas de nombres.
@ Wilfrid : tu m'as demandé de construire une suite croissante, je l'ai fait, et je t'assure que je peux en faire une à l'infini. Quant à savoir s'il existe un entier de départ correspondant, ça je n'en sais rien, c'est précisément une des 2 questions de la conjecture. En revanche, si tu affirmes que ce n'est possible, il va falloir argumenter sérieusement. -
@Lourran, cette notation est tout simplement une suite d'exposants de 2. Le premier exposant est $k$ dans $(3\,A+1)/2^k$, le second est $j$ dans $(3\,B+1)/2^j$, etc. Les termes impairs n'apparaissant pas il est impossible (ou très difficile) de les compter. Que cette notation soit pertinente dans un autre contexte, je veux bien, mais ici elle ne l'est pas.
@nodgim, je ne t'ai pas demandé de construire une suite croissante, c'est toi qui a proposé ce type de suite comme candidate éventuelle à une divergence. Je maintiens pour ma part que seule une suite infinie de séquences A * B * * C est divergente. Une suite croissante au sens où tu l'entends peut compter un nombre aussi grand qu'on veut de termes, mais rien ne permet d'affirmer qu'elle peut se poursuivre jusqu'à l'infini.
Concernant le premier terme d'une séquence (ou segment de suite) représentée par ses exposants de 2, il est facile de le calculer si on sait que son dernier terme est 1, et seulement dans ce cas. Mais c'est un problème qui mérite qu'on y réfléchisse. -
[suite]
@nodgim,
En fait, ce dont tu parles concerne la construction d'une suite croissant jusqu'à l'infini. Dans ce cas, oui, il semble que ce serait possible si tu vivais 100 000 ans et que tu ne faisais que ça 24/24.
Mais une suite artificiellement construite à l'aide d'exposants ou de lettres et d'astérisques, existe-t-elle dans les faits ? C'est une tout autre question. -
Je crois que ça n'existe pas dans les faits, j'en ai même la conviction, encore plus forte qu'une boucle éventuelle.
Sinon, c'est la conclusion de ton 1er message qui n'est pas très solide. Pourquoi est ce qu'une suite divergente devrait-elle forcément être de la forme A*B**C..? Elle pourrait très bien commencer par A*B*C**D.... ou tout autre chose, du moment qu'on reste au dessus du nombre initial c'est OK. -
nodgim a écrit:Pourquoi est ce qu'une suite divergente devrait-elle forcément être de la forme A*B**C..? Elle pourrait très bien commencer par A*B*C**D.... ou tout autre chose
Si on veut que tous les termes d'une suite à compter du second soient plus grands que le premier, il est impératif de commencer par A * B, parce que s'il y a plus d'un astérisque entre les deux, alors B < A. C'est la condition sine qua non du début d'une telle suite.
Ensuite, on sait que la séquence A * B * C * D ... est croissante, donc il n'y a aucun intérêt à la faire débuter de la sorte, sauf à voir si la présence de deux termes impairs et deux termes pairs avant C change quelque chose par rapport à une suite débutant par C * D.
Si après D il y a deux astérisques, pour savoir si E > A on vérifie si $3^4>2^5$ (puisque jusqu'à E il y aura 4 termes impairs, en excluant le premier, et 5 termes pairs). On voit que E > A puisque $81>32$. Si maintenant on place 3 astérisques après D on trouvera $3^4>2^6$, donc E toujours plus grand que A. Mais on ne peut pas avoir plus de 3 astérisques, sinon E sera plus petit que A ($3^4<2^7$ avec 4 astérisques).
On se retrouve avec A * B * C * D * * * E. Si on place 1 astérisque après E on aura par définition F > A, mais si on place 2 astérisques on aura F < A parce que $3^5<2^8$.
On en est à F > A dans A * B * C * D * * * E * F. Si on place 1 astérisque après F on aura par définition G > A. Si on en place 2 on aura G > A parce que $3^6>2^9$, mais si on en place 3 on aura G < A parce que $3^6<2^{10}$.
A partir de E, le schéma A * B * * C se répète donc. Ce qui a changé en faisant débuter la suite par A * B * C * au lieu de C * c'est uniquement la possibilité d'avoir 3 astérisques au lieu de 2 entre D et E. Mais pour la suite ça ne change rien.
EDIT : en d'autres termes, quel que soit le début d'une suite croissante, pour continuer de la faire croître il arrivera un moment où la séquence
A * B * * C devra se répéter. -
Wilfrid a écrit:quel que soit le début d'une suite croissante, pour continuer de la faire croître il arrivera un moment où la séquence
A * B * * C devra se répéter.
et pourtant après plusieurs répétitions de la séquence A * B * * C on arrive à glisser une étoile de plus :
A1 * A2 * * A3 * A4 * * A5 * A6 * * A7 * A8 * * A9 * A10 * * A11 * A12 * * A13 * A14 * * A15 * A16 * * A17 * A18 * * A19 * A20 * * A21 * A22 * * A23 * A24 * * A25 * *
après le A25 on arrive à glisser deux étoiles au lieu d'une seule car $3^{24}>2^{38}$
PS. J'ai numéroté les A pour éviter d'utiliser toutes les lettres de l'alphabet... remarquons que même le "A" est superflu dans la notation...
@nodgim je crois que wilfrid essaie de glisser le maximum "d'étoiles" à chaque fois (je ne sais pas pourquoi), c'est pour ça qu'il dit que la suite est forcément de la forme A*B**C... mais même ainsi on dirait que ce n'est pas le cas. -
@raoul.s
Il fallait ajouter A26 à ta suite. La comparaison s'effectue entre un terme impair et le terme pair qui le précède. Ceci dit, on a néanmoins A26 > A1 parce que $3^{25}>2^{38}$. On peut même ajouter un autre astérisque avant A26 : $3^{25}>2^{39}$, ce qui donne A23 * A24 * * A25 * * * A26.
Ensuite, toujours en calculant le maximum d'astérisques possibles, on a A23 * A24 * * A25 * * * A26 * * A27 * A28 * * A29 * A30 * * A31 * * A32 * A33 * * A34. Cette fois-ci on trouve 2 paires d'astérisques consécutives, entre A30 et A32.
La différence entre A25 * A26 (attendu) et A25 * * * A26 (possible) est que dans le premier cas A26 > A25, alors que dans le second cas il est plus petit, mais toujours plus grand que A1 (c'est ce qu'on cherche à obtenir).
Tout ceci n'invalide pas la répétition de la séquence A * B * * C. Elle fait croître la suite constamment. -
De Wilfrid :
"en d'autres termes, quel que soit le début d'une suite croissante, pour continuer de la faire croître il arrivera un moment où la séquence
A * B * * C devra se répéter."
@ Wilfrid : non. Il y a une infinité de suites croissantes dont on ne trouvera aucune séquence de répétition. Je ne sais pas pourquoi tu avances une telle affirmation. -
raoul.s a écrit:je crois que wilfrid essaie de glisser le maximum "d'étoiles" à chaque fois (je ne sais pas pourquoi), c'est pour ça qu'il dit que la suite est forcément de la forme A*B**C... mais même ainsi on dirait que ce n'est pas le cas.
- On part de la séquence A * B * * C * D * * E * F
- On recherche la plus petite valeur de A telle que les 13 premiers termes de sa suite possèdent cette structure. Il s'agit de 251.
- Pour trouver les suites dans le même cas on cherche celles qui sont isomorphes à 251 sur leurs 13 premiers termes. Pour ça on compte le nombre $p$ de termes pairs (astérisques) et on calcule $\Delta=2^{p+1}$. Dans le cas présent, $\Delta=2^{7+1}=256$.
- Les suites répondant à ce critère sont données par $n_0=251+k\,\Delta=$ 251, 507, 763, 1019, 1275, etc.
- Comme 251 < 256 il est bien la plus petite valeur du premier terme. Sinon on lui aurait soustrait 256 autant de fois que possible.
507, 1522, 761, 2284, 1142, 571, 1714, 857, 2572, 1286, 643, 1930, 965, 2896, 1448, 724, 362, 181
1019, 3058, 1529, 4588, 2294, 1147, 3442, 1721, 5164, 2582, 1291, 3874, 1937, 5812, 2906, 1453
Comme tu le vois, entre F et G (en vert) figurent 1, 2 et 4 astérisques. On les trouverait sans doute en nombres différents si on testait les autres suites. Ce que ça signifie est que le segment de suite A1_A26 (premier_dernier terme) que tu as proposé ci-dessus, est isomorphe au segment A1_A25 sur les 25 premiers termes, et qu'au-delà de A25 on peut ne pas trouver la séquence A * B * * C sans que cela infirme le concept de concaténation de cette séquence.
Par ailleurs, plus longue est la séquence de lettres et d'astérisques, plus $\Delta$ est grand et plus le nombre de segments isomorphes diminue. De ce fait, s'il existe une suite divergente, de longueur infinie, elle ne peut être qu'unique. Parmi une infinité de suites, pourquoi une seule se mettrait-elle à diverger ? C'est impossible pour la bonne raison qu'elle empruntera un chemin dont on est certains qu'il converge.nodgim a écrit:Il y a une infinité de suites croissantes dont on ne trouvera aucune séquence de répétition.
Tu fais constamment abstraction du fait que les segments croissants dont tu parles sont artificiels, ne correspondent probablement à aucune suite réelle, et que rien ne permet d'affirmer que la suite dont ils représentent les premiers termes ne va pas converger. -
Bonjour
thèse de Wilfrid : il existe au moins n , tel que n subissant la transformation de Collatz en croissant , diverge à l'infini .
argument en faveur de sa thèse :
soient les 2 suites de Collatz suivantes :
1) * * * * * * * * * * * * * * * * * * *....1 = 2^p
2) A B C D E ........................x = un nombre impair infiniment grand
Collatz "aura lieu vers 1 " si X = 2^p
1) ==> 2^0 , 2^1,2^2, 2^3,2^4............. soit la suite des ratio k/2^p : k={0,1,2,3....}
1/2^0 , 2/2^1 , 3/2^2.......(p+1)/2^p
lim (p+1)/2^p quand p tend vers l'infini est égale à 0
c'est à dire qu ' à l'infini la "probabilité" que X par la transformation de Collatz soit = 2^p est nulle
ABCDEF.......X continuera de croitre en perdant tout espoir de tomber sur un 2^p =X ...et devient donc divergente
bonne lecture
BERKOUK -
@ Wilfrid : Tu ne fais pas de démonstration mathématique dans ton argumentation. Je regrette, mais je ne peux pas continuer cette discussion dans le vide, ça ne m'intéresse pas. Désolé.
-
@nodgim, parce que toi tu as fait une démonstration mathématique de tes affirmations ?
Pour en revenir au problème du calcul du premier terme d'un segment représenté par une séquence de lettres, voici une piste. On suppose que chaque lettre est suivie de 1 à 7 astérisques (termes pairs).
$n$ est suivi de ... astérisques : $n$ est de la forme
1 : $4\,x-1$
2 : $8\,x-7$
3 : $16\,x-3$
4 : $32\,x-27$
5 : $64\,x-11$
6 : $128\,x-107$
7 : $256\,x-43$
De manière générale, si $a$ est le nombre d'astérisques, $n$ est de la forme $b\,x-c$ avec
$b=2^{a+1}$
$c=\dfrac{2^a\,(2\,(-1)^a+3)+1}{3}$
Je reprends l'exemple de mon précédent message : A * B * * C * D * * E * F. On sait que A est de la forme $4\,x-1$, donc
$B=(3\,A+1)/2=(3\,(4\,x-1)+1)/2=6\,x-1$. Les nombres de cette forme sont en effet les seuls à posséder un prédécesseur plus petit qu'eux.
$C=(3\,B+1)/4=(3\,(6\,x-1)+1)/4=(9\,x-1)/2$
$D=(3\,C+1)/2=(3\,((9\,x-1)/2)+1)/2=(27\,x-1)/4$
$E=(3\,D+1)/4=(3\,((27\,x-1)/4)+1)/4=(81\,x+1)/16$
$F=(3\,E+1)/2=(3\,((81\,x+1)/16)+1)/2=(243\,x+19)/32$
Les valeurs entières et impaires de $(243\,x+19)/32$ sont 479, 965, 1451, ... La plus petite valeur de A est nécessairement celle pour laquelle on aura F = 479, auquel cas $x=$ 63 et A $=4 \times 63-1=251$. C'est bien ce qu'on avait trouvé précédemment.
Je pense que si on n'avait trouvé aucune valeur entière et impaire de $(243\,x+19)/32$, ça aurait signifié que la séquence de lettres ne correspondait à aucune suite existante. -
Wilfrid, je sais que tu vas dire que je ne comprends rien, mais je me moque de ce que tu penses de moi.
Essaie d'imaginer les discussions entre Collatz et ses collègues chercheurs mathématiciens à l'époque :
Il y a ceci , il y a cela ... et c'est pour ça que je pense que bla bla.
Et toi, à partir des mêmes données de départ, (tous les calculs que tu as fait, ils ont fait les mêmes, voire plus), toi tu dis :
Il y a ceci , il y a cela ... et c'est pour ça que j'affirme que bla bla.
Moins une personne est compétente, moins elle a de doute. C'est le paradoxe de la science. Et Socrate l'avait déjà formulé : 'tout ce que je sais, c'est que je ne sais rien'.
Je suis assez fier d'être du côté Collatz ou Socrate, plutôt que du côté Wilfrid.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
En ce qui me concerne je suis intervenu surtout pour pointer du doigt cette affirmation et d'autres semblables :Wilfrid a écrit:On l'aura compris, pour que la suite croisse indéfiniment il faut qu'elle soit formée de A * B * * C successifs.
tu dis bien "successifs" ce qui laisse entendre qu'il n'y a que la séquence A * B * * C qui se répète indéfiniment.
J'ai juste donné un contre-exemple c'est tout, après avoir laborieusement compris que tu mettais le maximum d'étoiles à chaque étape, chose que tu n'as pas dite (en tout cas je ne l'ai pas lu avant mon intervention) et qui fait que les autres ont également du mal à te suivre. -
raoul.s a écrit:J'ai juste donné un contre-exemple c'est tout, etc.
Je t'ai expliqué le pourquoi du comment plus haut. S'il y a quelque chose que tu ne comprends pas tu ferais mieux de me demander des éclaircissements au lieu de te répandre en invectives, ce qui est je le reconnais la solution la plus facile. Et le coup du "Collatz l'avait bien compris" on me l'a déjà fait, merci.
Je joins une capture d'écran de la fonction Mathematica mettant en œuvre l'algorithme que j'ai expliqué dans mon précédent message. L'argument est une liste d'exposants de 2. Pour reprendre l'exemple de nodgim, on devra passer {1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 4, ... 1, 2} à cette fonction. Concernant A * B * * C * D * * E * F on lui passera {1, 2, 1, 2, 1}. Le résultat est soit le premier terme de la suite correspondante, soit la phrase "Aucune suite réelle".
@nodgim, c'est cette dernière réponse que la fonction a renvoyé à ta séquence de chiffres 1112113111141111211131111121212111311111411311112, celle que tu affirmais pourtant correspondre à une suite réelle. -
@Wilfrid je ne vois aucune invective. Je mets juste l'accent sur une affirmation que tu as faite et qui s'est révélée fausse.
Pourquoi je fais ça ? Parce que ce n'est pas la première fois que tu affirmes que des choses sont vraies sans preuve ou avec des preuves fausses. Ceci entraîne inévitablement une perte de crédibilité de ta part, surtout lorsque tu continues avec des affirmations comme :Wilfrid a écrit:De ce fait, s'il existe une suite divergente, de longueur infinie, elle ne peut être qu'unique.
Je tiens à rappeler qu'il n'y a pas encore longtemps tu affirmais qu'il était évident qu'il ne pouvait pas exister de cycle autre que le cycle trivial : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2058452,2113072#msg-2113072
ça se passe de commentaires... -
Oui, et j'avais raison sur les deux points. Pour ce qui concerne l'unicité d'une éventuelle suite divergente, si tu relis ce que j'ai dit plus haut tu comprendras que pour calculer le premier terme d'un segment de suite isomorphe au segment dit de référence, on calcule $\Delta=2^{p+1}$, où $p$ est le nombre de termes pairs que contient ce dernier.
Par exemple, avec le segment 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, $\Delta=2^6=64$. La suite respective de 17+64, 17+2 x 64, 17 + 3 x 64, etc, possède la même structure sur le même nombre de termes.
Plus le nombre de termes pairs est important et plus $\Delta$ est grand, d'accord ? Par conséquent, dans une suite divergente, possédant un nombre infini de termes, $\Delta$ serait infini. Il n'existerait donc aucun segment, ou suite complète, qui lui soit isomorphe. C'est pourquoi elle serait unique. -
Ceci dit, j'admets qu'on pourrait envisager l'éventualité d'une suite divergente entièrement différente. Dans ce cas, l'autre argument consiste à énoncer que pour qu'une suite soit divergente elle devrait représenter un chemin unique dans l'arbre des suites, un chemin qu'aucune autre suite n'emprunterait. C'est irréaliste.
-
@Wilfrid OK j'ai compris, tu dis que si deux suites divergent alors elles ne sont pas "isomorphes".
Mais tu continues avec des affirmations gratuites : "Dans ce cas, l'autre argument consiste à énoncer que pour qu'une suite soit divergente elle devrait représenter un chemin unique dans l'arbre des suites, un chemin qu'aucune autre suite n'emprunterait. C'est irréaliste."
Par contre j'ai une question : lorsque tu dis "Oui, et j'avais raison sur les deux points.", l'histoire du cycle non trivial ne fait pas partie de ces deux points ou bien ? B-)- -
Wilfrid sait qu'il ne peut pas y avoir de cycle en dehors du cycle trivial.
Il le sait, mais dans les grandes revues scientifiques, personne ne relaie cette information.
Alors que quand des mathématicients disent qu'ils ne savent pas répondre à cette question, ils sont publiés.
La vie est très mal faite.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
raoul.s a écrit:lorsque tu dis "Oui, et j'avais raison sur les deux points", l'histoire du cycle non trivial ne fait pas partie de ces deux points ou bien ?
On en a déjà parlé dans un autre sujet. Pour qu'un cycle se forme il faudrait que le même terme impair se retrouve deux fois dans l'arbre des suites, et qu'une suite passe par eux l'un après l'autre. Or, chaque entier est unique dans cet arbre, ce qui fait qu'une suite ne peut pas le rencontrer plus d'une fois. Ou encore, il faudrait que deux termes différents aient un même successeur, ce qui est là encore impossible (par termes différents je n'entends pas les prédécesseurs impairs d'un terme donné). Je pensais que c'était facile à comprendre.
@lourran, tu es très fort lorsqu'il s'agit de citer Collatz, des revues scientifiques et autres autorités. On n'avance pas en se focalisant sur ce qui a déjà été dit et fait et en rabâchant inlassablement les mêmes rengaines dépassées, mais en en faisant table rase et en posant un regard neuf. Si tout le monde était aussi dépourvu d'imagination que tu l'es, on serait encore en train de courir après notre nourriture armés de gourdins.
Bref, changeons de sujet. Il est possible de calculer le premier terme d'une suite comptant un nombre donné de paires $1,2$ successives (exposants de 2 ou nombre d'astérisques) :
$\large n_0=2^{3\,x+1}-5$, où $x$ est le nombre de paires en question. -
Wilfrid a écrit:On en a déjà parlé dans un autre sujet. Pour qu'un cycle se forme il faudrait que le même terme impair se retrouve deux fois dans l'arbre des suites, et qu'une suite passe par eux l'un après l'autre. Or, chaque entier est unique dans cet arbre, ce qui fait qu'une suite ne peut pas le rencontrer plus d'une fois. Ou encore, il faudrait que deux termes différents aient un même successeur, ce qui est là encore impossible (par termes différents je n'entends pas les prédécesseurs impairs d'un terme donné). Je pensais que c'était facile à comprendre.
Ce passage est un chef-d'œuvre, surtout le "Je pensais que c'était facile à comprendre", on dirait Pablo...
Plus sérieusement, je me demande pourquoi alors les mathématiciens qui bossent sur cette conjecture ne savent toujours pas si un cycle non trivial existe ? Est-ce que tu as la réponse à cette question Wilfrid ? Ce n'est pas une question rhétorique.
PS. Je suis sympa et je te mets en lien la réponse, facile à comprendre, que je t'avais donnée à l'époque concernant la possible existence d'un cycle non trivial : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2058452,2113746#msg-2113746 -
@raoul.s,
Réponse plus élaborée : le problème de ton schéma est qu'il opère une distinction entre les termes $n_1,n_2,...$ et les prédécesseurs impairs de chacun d'eux. Or, $n_{i-1}$ fait partie des prédécesseurs de $n_i$, il n'est pas à part. Cette représentation travestit la réalité et fabrique l'idée d'un cycle. -
@Wilfrid soit tu es un troll soit tu n'a pas compris ce qu'est un cycle.
Bon, avant de te laisser à tes calculs je vais quand même te faire remarquer un truc qui va peut-être t'éviter de perdre du temps dans la piste que tu explores (en supposant encore que tu ne sois pas un troll, je suis optimiste 8-)) :
dans le tout premier message de ce fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2145186,2145186#msg-2145186 tu dis "$n_i$ est plus petit que $n_0$ lorsque $3^q<2^p$
Sauf que comme d'habitude tu fais des affirmations sans aucune preuve mathématique rigoureuse et cette dernière n'échappe pas à la règle. Je te montre donc un contre-exemple avec la suite de Collatz de 165 qui débute par :
165, 496, 248, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167...
il y a 17 termes impairs sans compter le premier et 27 termes pairs, sauf que $3^{17}<2^{27}$ bien que $165<167$...
PS. Une autre salade de plus de ta part... -
Il y a un problème, qui résiste à tout les mathématiciens depuis plus de 50 ans. Une première question : un cycle existe-t-il et une 2 ème question. Les 2 questions résistent à tous les mathématiciens depuis des années.
Et toi, tu arrives et tu dis : voici la réponse à la question 1, elle tient en 2 lignes. Et tu insistes sur le fait que cette réponse est particulièrement simple à trouver et à comprendre.
Il y a le coté mathématique, je n'ai pas les compétences pour comprendre ton travail, paraît-il.
Mais il y a le côté humain de cette histoire que j'arrive assez bien à comprendre : tous les mathématiciens de ces 50 dernières années sont tous des abrutis, ils sont incapables de trouver une démonstration qui tient en 2 lignes.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
raoul.s a écrit:il y a 17 termes impairs sans compter le premier et 27 termes pairs, sauf que $3^{17}<2^{27}$ bien que 165<167...
Bon, tu as trouvé un contre-exemple, et alors ? On en trouve dans tous les domaines, ça fait partie du quotidien, c'est le genre de chose qui oblige à revoir sa copie ou à accepter de vivre avec si on ne peut pas y remédier.
Le plus déplaisant là-dedans c'est ta manière de le présenter. Au lieu de me demander simplement si j'ai une explication tu m'accuses de tous les maux. C'est quoi ton problème ?soit tu n'a pas compris ce qu'est un cycle.
Comment diable pourrais-je savoir ce qu'est un cycle non trivial ? -
On part du principe que tu comprends les mots que tu utilises quand tu écris, mais c'est peut-être parce qu'on est dépourvu d'imagination.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
-
@ Wilfrid: je t'explique comment on trouve le nombre de départ et le final associé à la suite :
1112113111141111211131111121212111311111411311112
On part d'un impair 2x+1. Je rappelle que pour n, on fait (3n+1)/2 si n impair, n/2 si n pair.
2x+1
>3x+2
3x+2 est de parité inconnue. Comme on veut 1 seule division par 2 pour la 1ère montée ( c'est le 1er chiffre 1 de la suite qui le dit) Il faut que 3x+2 soit impair : on remplace x par 2x+1 :
4x+3---->2*3x + 5 impair donc on avance 1 pas de plus :
> 9x + 8. Comme le 2ème chiffre de la suite est 1, il faut à nouveau fixer 9x+8 impair, donc encore remplacer x par 2x+1
8x + 7---->2*9x + 17
>27x + 26. 3ème chiffre de la suite = 1 donc il faut 27x + 26 impair, donc encore x--->2x+1
16x + 15---->2*27x+ 53
>81x + 80. Le 4ème chiffre de la suite est 2, donc il faut 81x + 80 pair, donc remplacer x par 2x
32x + 15
>2*81x + 80 ---->81x + 40. Il faut maintenant que ce soit impair, donc remplacer x par 2x+1.
64x + 47
>2*81x + 121
TEST 47--->142--->71--->214--->107---->322--->161---->484--->242---->121
Et voilà pour les 4 premiers chiffres. Si tu as compris ça, tu dois bien te rendre compte qu'on peut manipuler la parité en cours comme on veut, et donc suivre n'importe quelle suite donnée.
Je t'invite à poursuivre quelques itérations pour bien assimiler le truc. -
@raoul.s,
Le schéma ci-dessous (une variante de celui que tu connais probablement déjà) est équivalent au tien. Je n'ai cependant pas jugé utiles les flèches convergeant vers chacun des termes pour représenter leurs multiples prédécesseurs, car ce qui nous intéresse ici est un seul chemin.
$p_r$ est le prédécesseur impair de rang $r$ de $n_1$, qui a pour successeur unique $n_2$, qui a pour successeur unique $n_3$, qui a ... attends, non, $n_3$ fait un caprice et retourne en $p_r$, quel que soit $r$, pour devenir un prédécesseur de $n_1$ au lieu de poursuivre en $n_4$ – dont au aurait pourtant juré qu'il était son successeur unique – afin de former le cycle $p_r \to n_1 \to n_2 \to n_3 \to p_r \to n_1 ...$ !!
C'est bien ce que ton schéma représente, n'est-ce pas ? Il est probable que tu ne répondras pas mais j'espère au moins que tu liras ce message et qu'il te conduira à douter sérieusement de l'existence d'un cycle non trivial. A moins que tu n’ais une autre explication de ce cycle, quelque chose qui m'aurait complètement échappé et qui serait susceptible de me faire changer d'avis.
Pour ce qui concerne le contre-exemple que tu as trouvé dans le segment 165_167, il est dû à la proximité de ces deux nombres ainsi qu'à celle de $2^{27}$ et de $3^{17}$ (différence de seulement 5077565, ce qui est peu par rapport à leur taille). Dans le segment 27_23, proches également, ce problème n'apparaît pas parce qu'entre $3^{37}$ et $2^{59}$ la différence est de 126176846412426125 et qu'on a bien $3^{37}<2^{59}$. J'en déduis qu'il doit exister d'autres contre-exemples, mais qu'ils sont rares. Il suffit de le savoir. En tout cas c'est très loin d'être suffisant pour qualifier une théorie de "salade". Je te rappelle à ce propos que c'est un cas particulier trouvé par un de ses confrères dans une des équations relativistes d'Einstein (en fait une division par 0) qui a conduit au concept de trou noir, ce qui veut dire que les pires cas particuliers ne sont pas nécessairement catastrophiques et peuvent même avoir des conséquences bénéfiques.
@nodgim,
Merci pour tes explications mais je préfère m'en tenir à ma propre méthode de calcul d'un segment représenté par des exposants de 2. Le seul problème est que pour la programmer il faut disposer d'un langage capable de prendre en charge le calcul symbolique, donc exit JavaScript, Python et consorts.
Ta séquence 1112113111141111211131111121212111311111411311112 est valable jusqu'au 2 en rouge, exclu. Elle représente les premiers termes de la suite de 5409775. Ce même nombre permet d'aller jusqu'à 111211311114111111 après remplacement du 2 en question par 1. Ensuite il faudrait tout modifier, ce qui ne présente intérêt (autant proposer une autre séquence).
C'est bien la preuve que tu peux concocter une suite croissante aussi longue que tu veux, mais qui malheureusement aura une très faible chance (d'autant moins qu'elle est plus longue) de passer le test de validité. -
Wilfrid a écrit:C'est bien la preuve que tu peux concocter une suite croissante aussi longue que tu veux, mais qui malheureusement aura une très faible chance (d'autant moins qu'elle est plus longue) de passer le test de validité.
Et le test de validité, c'est quoi ? C'est que les calculs ne dépassent pas les capacités d'Excel.
Il y a un entier qui correspond à la séquence 1112113111141111211131111121212111311111411311112 . Si tu ne l'as pas trouvé, ça ne veut pas dire que cette chaine est invalide, ça veut dire que tu t'es trompé , ou que tes outils ne sont pas adaptés.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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