Golbach et TNP

Salut.
Je voudrais montrer que presque tout nombre pair $\gt 4$, vérifie Golbach (la conjecture ; tout nombre pair $\geq 4$, peut s'écrire sous la forme $p + q$, où $p$ et $q$ sont des nombres premiers)

Posons $N_{p}(G) = \{\textrm{les nombres pairs $\gt 4$ et $\leq 2p$, qui s'écrivent sous la forme $p + q$, où $q$ est un nombre premier $\leq p$}\}$

On a $|N_{p}(G)| = \pi(p) - 1$.

Je cherche à calculer le cardinal de l'ensemble des nombres pairs $\gt 4$ et $\leq p_{n}$ (où $p_{n}$ est le $(n+1)^{ieme}$ nombre premier) qui s'écrivent de la manière $p + q$, où $p$ et $q$ sont des nombres premiers. Je le note $|N_{p_{n+1}}(G)|$.

Pour passer de $p_{n}$ à $p_{n+1}$ dans le calcul de ce cardinal, je considère les nombres premiers $a$, tels que : $a + p_{n+1}\,\geq\,2p_{n}$, c'est-à-dire $a\,\geq\,2p_{n} - p_{n+1}$. Les nouveaux éléments de $N_{p_{n+1}}(G)$ sont alors au nombre de $\pi(2p_{n+1}) - \pi(2p_{n} - p_{n+1})$.

C'est dire que $|N_{p_{n}}(G)| = 1 + \sum_{i=1}^{n}\big(\dfrac{2p_{i}}{ln(2p_{i})} - \dfrac{2p_{i-1} - p_{i}}{ln(2p_{i-1} - p_{i})}\big)$.

Je voudrais prouver que : $|N_{p_{n}}(G)| \sim \dfrac{p_{n} - 1}{2} - 2 = \dfrac{p_{n} - 5}{2}$.

Je sollicite un coup d'oeil sur les notations et attends toute bonne idée pour une preuve.

Merci.

Edit : erreur rectifiée