Où est mon erreur dans cette preuve de RH ?
Bonjour à tous,
Si quelqu'un peut m'aider à trouver mon erreur dans cette "preuve" de l'hypothèse de Riemann, je lui en serais reconnaissant. Je ne suis qu'un amateur et ma preuve a l'air vraiment trop simple pour être vraie. Aussi, je vais essayer de rendre tout ça lisible vu que je ne maîtrise pas Latex. [Merci à Math Coss pour le $\LaTeX$]
Considérons d'abord la fonction êta de Dirichlet (que je note $\eta(s)$) : \[\eta(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}.\] Si maintenant je prends la partie réelle des deux membres de l'équation, j'aurais, d'après la théorie sur les séries de Dirichlet :
\[\Re(\eta(s))= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cos(T\log(n)}{n^a}\] où l'on a posé $s=a+iT$ avec $a$ compris entre $0$ et $+\infty$ et $T$ réel.
Maintenant, en utilisant que $(-1)^{n-1}=(-1)^{n+1}$ et que $\cos(x)= \frac12(e^{ix}+e^{-ix})$ puis en simplifiant on trouve :
\[2\Re(\eta(s))=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}(1+n^{2it})}{n^a}.\]Puisque $\frac{1+n^{2it}}{n^a}=n^{-(a+it)}+n^{-(a-it)}$ on peut réécrire la somme et la partager en deux sommes pour obtenir finalement\[2\Re(\eta(s))=\eta(a+iT)+\eta(a-iT).\]
On obtient donc deux cas possibles pour que la partie réelle êta soit nulle :
Merci d'avance pour ceux qui prendront le temps de me lire (et de me corriger surtout) et encore désolé pour le manque de clarté.
[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) prend toujours une majuscule. AD]
Si quelqu'un peut m'aider à trouver mon erreur dans cette "preuve" de l'hypothèse de Riemann, je lui en serais reconnaissant. Je ne suis qu'un amateur et ma preuve a l'air vraiment trop simple pour être vraie. Aussi, je vais essayer de rendre tout ça lisible vu que je ne maîtrise pas Latex. [Merci à Math Coss pour le $\LaTeX$]
Considérons d'abord la fonction êta de Dirichlet (que je note $\eta(s)$) : \[\eta(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}.\] Si maintenant je prends la partie réelle des deux membres de l'équation, j'aurais, d'après la théorie sur les séries de Dirichlet :
\[\Re(\eta(s))= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}\cos(T\log(n)}{n^a}\] où l'on a posé $s=a+iT$ avec $a$ compris entre $0$ et $+\infty$ et $T$ réel.
Maintenant, en utilisant que $(-1)^{n-1}=(-1)^{n+1}$ et que $\cos(x)= \frac12(e^{ix}+e^{-ix})$ puis en simplifiant on trouve :
\[2\Re(\eta(s))=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}(1+n^{2it})}{n^a}.\]Puisque $\frac{1+n^{2it}}{n^a}=n^{-(a+it)}+n^{-(a-it)}$ on peut réécrire la somme et la partager en deux sommes pour obtenir finalement\[2\Re(\eta(s))=\eta(a+iT)+\eta(a-iT).\]
On obtient donc deux cas possibles pour que la partie réelle êta soit nulle :
- Le cas $T=0$ si êta s'annule pour un certain $a$ réel.
- Le cas $a=1/2$, le seul possible dans la bande critique, car si $\eta(a+it)=0$ avec $a$ différent de $1/2$, alors il est évident, par symétrie, que $\eta(a-it)\ne0$.
Merci d'avance pour ceux qui prendront le temps de me lire (et de me corriger surtout) et encore désolé pour le manque de clarté.
[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) prend toujours une majuscule. AD]
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Réponses
Le vrai problème vient de ton raisonnement final qui n'a aucun sens.
Quelle est cette évidence ?
En effet, cette évidence n'en était pas une. Vilaine erreur de raisonnement. C'est bon, c'est l'heure d'aller me coucher :-P