Groupe simple d'ordre 168
dans Shtam
Bonjour,
J'ai un exercice un peu difficile à résoudre. Je ne suis pas habitué à ce genre d'exercices. Veuillez m'aider s'il vous plaît,
Voici l'exercice,
Soit $ G $ un groupe simple d'ordre $ 168 $.
Montrer que $ G $ est isomorphe à $ \mathrm{PSL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) $.
D'abord, qu'est ce que, $ \mathrm{PSL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) $ ?
Merci d'avance.
Edit,
Poste corrigé à la demande de Poirot.
J'ai un exercice un peu difficile à résoudre. Je ne suis pas habitué à ce genre d'exercices. Veuillez m'aider s'il vous plaît,
Voici l'exercice,
Soit $ G $ un groupe simple d'ordre $ 168 $.
Montrer que $ G $ est isomorphe à $ \mathrm{PSL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) $.
D'abord, qu'est ce que, $ \mathrm{PSL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) $ ?
Merci d'avance.
Edit,
Poste corrigé à la demande de Poirot.
Réponses
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PSL=projective special linear, sauf erreur. https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_linear_group
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Merci FdP.
Peux-t-on faire l'inventaire de tous les éléments de $ \mathrm{PSL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) $ ? Comment identifier ses éléments ?
Merci d'avance. -
Je ne savais pas que $\mathbb Z/168 \mathbb Z$ était isomorphe à $\mathrm{PSL}_2(\mathbb F_7)$, on en apprend tous les jours avec Pablo !
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Avec, s'il vous plait, l'aimable participation de Fdp pointant wikipedia, visiblement de manque de posts.
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J'imagine que l'énoncé correct est : Montrer que le seul groupe simple d'ordre $168$ est à isomorphisme près $\mathrm{PSL}_2 ( \mathbb{F}_7 )$
Si on lit attentivement la page que j'ai mise en lien ci-dessus on a un autre lien vers la page:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_simple_d'ordre_168 (il y a une page en Français).
Claude: Tu devrais me remercier de te donner (involontairement) un prétexte pour augmenter d'une unité ton nombre de messages. B-)- -
Merci à vous tous pour vos réponses, et particulièrement à FdP.
Donc, $ \mathrm{PSL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) = \langle s, t \ | \ s^7 = t^2 = (ts)^3 = (ts^4 )^4 =1 \rangle $, avec,
- $ s $ est l’homographie définie par, $ s \ : \ z \to z+1 $, modulo $ \pm I_2 $, dans $ \mathrm{PSL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) $.
- $ t $ est l’homographie définie par, $ t \ : \ z \to - \frac{1}{z} $, modulo $ \pm I_2 $, dans $ \mathrm{PSL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) $.
Sur le lien pointé par FdP, ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_simple_d'ordre_168 , on dit que, $ \mathrm{PSL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) $ agit sur la droite projective, $ \mathrm{PGL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) $ qui compte $ 8 $ points. Pouvez vous m'expliquer pourquoi $ \mathrm{PGL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) $ compte $ 8 $ points? -
S'il vous plait, veuillez m'aider un peu.
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Et si tu arrêtais de tout pomper sur des pages wikipedia qui contiennent des erreurs (ou en tout cas des notations douteuses, personne n'appelle $\mathrm{PG}(2, \mathbb F_7)$ la droite projective sur $\mathbb F_7$) et apprenais un peu de géométrie projective de base ? C'est cette dernière qui contient $8$ points.
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Pourquoi la droite projective $ \mathrm{PGL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) $ de $ \mathrm{PGL}_n ( \mathbb{F}_7 ) $ compte $ 8 $ points ?
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Incroyable 8-)
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Mais répond et arrête ton mépris.
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On a, $ \mathrm{PGL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) = H \sqcup \{ \infty \} = \mathrm{GL}_1 ( \mathbb{F}_7 ) \sqcup \{ \infty \} $, avec, $ H $ un hyperplan de $ \mathrm{PGL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) $.
D'où, $ \mathrm{PGL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) = 7 + 1 = 8 $.
Est ce que c'est correct ?
Merci d'avance. -
S'il vous plait, pourquoi si $ G $ est simple, d'ordre $ 168 $, alors, $ G $ est isomorphe à $ \mathrm{PSL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) $ ?
Merci d'avance. -
C'est un exercice classique et non trivial, mais encore faut-il comprendre un minimum de choses au monde projectif. Tes derniers messages montrent que tu n'y comprends rien. Commence par lire un cours introductif sur le sujet.
-
Pablo: Sauf erreur de ma part, le premier lien que j'ai posté pointe sur une page qui contient une formule pour l'ordre de ces groupes. (édit: je crois que j'ai mal lu).
PS:
Mais en lisant la page dans le deuxième lien on a un lien sur une autre page:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_des_groupes_finis_simples#Groupes_de_Chevalley_linéaires_An(q)
Et il me semble qu'on a là une formule pour l'ordre de ces groupes. -
Même moi, j’ai vu l’erreur dans l’énoncé.
Un groupe commutatif est simple. Un groupe est simple si ses sous-groupes distingués sont triviaux.
Il existe plus d’un groupe commutatif de cardinal 168.
$PSL_2(\mathbb{F}_7)$ n’est pas commutatif.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
$168=2^3\times 3\times 7$
On sait par exemple que $\left(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right)^3$ n'est pas isomorphe à $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$.
(l'un des groupes est cyclique l'autre non).
Il suffit de "compléter" par produit direct, avec le groupe $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$
et on obtient deux groupes abéliens qui ne sont pas isomorphes mais qui sont tous les deux d'ordre $168$. -
nicolas.patrois a écrit:Un groupe commutatif est simple.
Non. -
Poirot a écrit:C'est un exercice classique et non trivial, mais encore faut-il comprendre un minimum de choses au monde projectif. Tes derniers messages montrent que tu n'y comprends rien. Commence par lire un cours introductif sur le sujet.
Est ce qu'on peut aller plus vite ?
J'ai besoin de finir l'exercice d'ici ce soir, et non pas faire comme l’autre fil qui a demandé plus de deux semaines avant d’être terminé, alors qu'il aurait été fait en une demi-heure. -
Bah on peut t'écrire la correction avant ce soir, mais tu ne la comprendras pas vraiment étant donné ta faible compréhension des résultats de base de théorie des groupes (voir l'autre fil) et ta méconnaissance du projectif (voir ce fil).
Tu peux regarder ce document http://math.univ-lyon1.fr/~cretin/OralAlgebre/groupes-60-168.pdf tu verras que ce n'est pas trivial. -
Merci. C'est un très joli corrigé. (tu)
-
S'il vous plaît, à la page $ 1) $ du pdf mis par Poirot, on dit que, $ Q $ est l'unique $ 5$ - groupe de Sylow de $ N_G ( Q) $ de sorte que si l'on avait $ {gg'}^{-1} \neq e $, on aurait $ {gg'}^{-1} \in Q $, ce qui n'est pas possible, car $ P \cap Q = \{ e \} $.
- Pourquoi, $ Q $ est l'unique $ 5$ - groupe de Sylow de $ N_G ( Q ) $.
- Pourquoi si l'on avait $ {gg'}^{-1} \neq e $, on aurait $ {gg'}^{-1} \in Q $ ?
Merci d'avance. -
Parce que $Q$ est distingué dans $N_G(Q)$. Pour le point d'après je ne vois pas, il faudrait montrer que $gg'^{-1}$ est d'ordre divisant $5$.
-
$g{g'}^{-1}\in P$ donc son ordre divise bien $5$.
-
Oui bien sûr (tu)
-
Merci beaucoup à vous deux. ;-)
Dans cette meme page, $ 1) $,
- Pourquoi $ \varphi (G) \subset \mathfrak{A}_{ \Omega} $ ? . ( C'est à dire, pourquoi les éléments de $ \varphi (G) $ sont les permutations d'ordres paires dans $ \mathfrak{A}_{ \Omega } = \mathfrak{A}_{ 6 } $ ? ).
- Pourquoi tout élément de $ G $ est d'ordre $ \leq 6 $ ?
Merci d'avance. -
- $G$ est simple. Or si $\epsilon$ désigne la signature, $\ker(\epsilon)\cap G$ est un sous-groupe distingué de $G$ donc...
- Tout élément de $\mathfrak{A}_6$ a un ordre $\leqslant 6$, ça se vérifie à la main. -
JLT a écrit:$G$ est simple. Or si $\epsilon$ désigne la signature, $\ker(\epsilon)\cap G$ est un sous-groupe distingué de $G$ donc...
Puisque $ G $ est simple, alors, ou bien $ \ker(\epsilon)\cap G = \{ \ e \ \} $, ou bien, $ \ker(\epsilon)\cap G = G $.
Si $ \ker(\epsilon)\cap G = \mathfrak{A}_6 \cap G = \{ \ e \ \} $, alors, $ G = \big( \mathfrak{S}_6 \backslash \mathfrak{A}_6 \big) \cap G $ n'a pas une structure de groupe. Ce qui est absurde. Donc, $ \ker(\epsilon)\cap G = G $. D'où, $ G = \varphi (G) \subset \mathfrak{A}_6 $. Est ce que c'est ça ?JLT a écrit:Tout élément de $\mathfrak{A}_6$ a un ordre $\leqslant 6$, ça se vérifie à la main.
Tout élément de $\mathfrak{A}_6$ a pour ordre un diviseur de $ | \mathfrak{A}_6 | = \dfrac{6 ! }{2} = 6.5.4.3 $, qui sont ou bien $ 3 $ ou bien $ 4 $ ( ou bien $ 2 $ aussi ), ou bien $ 5 $, ou bien $ 6 $.
Donc, tout élément de $\mathfrak{A}_6$ a un ordre $\leqslant 6$. Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance. -
Waouh, mes élèves de cinquième savent que ta dernière affirmation est fausse. X:-(
-
Pablo: si un groupe a pour ordre $6\times 5\times 4\times 3$ il ne peut pas contenir un élément d'ordre $30$?
B&B: tu as été plus rapide. B-)-
PS:
Pablo: Essaie de trouver un groupe d'ordre $6\times 5\times 4\times 3$ qui a un élément d'ordre $30$. -
J'ai écrit ''ou bien'', je n'ai pas écrit ''et''. Relisez ce que j'ai écrit.
Edit,
Je n'ai pas compris ce que vous vouliez dire. -
Ben comme mentionné par FdP tu oublies pas mal de diviseurs, comme $30$ par exemple.
-
Pablo:
Je crois t'avoir bien lu. Pour une fois c'était clair pour moi ce que tu écrivais (même si faux).
Tu peux me donner un groupe d'ordre $360$ qui possède un élément d'ordre $30$? -
Tu me compliques la vie FdP. Restons dans notre exemple qui est $ 6! $.
-
Non mais je rêve là, pincez-moi je vous en supplie !!!!!!!! Tu ne peux pas être autre chose qu'un troll pour en décocher une pareille !!!
-
Pablo:
Quand on écrit une stupidité, si c'est seulement quelqu'un d'autre qui te le fait remarquer cela risque de ne pas être suffisant pour que cette stupidité ne rejaillisse pas à un autre moment. Il faut se convaincre soi-même par un argument solide que c'est bien une stupidité*.
Pourquoi je te pose cette question? Ce n'est pas parce qu'un entier $d$, entier naturel quelconque supérieur à $1$, divise l'ordre $n$ d'un groupe qu'a priori on va nécessairement trouver un élément d'ordre $d$.
*: errare humanum est perseverare diabolicum (la culture c'est comme la confiture...et vive g00gl3 !) -
Mais vous me poser trop de questions l'une après l'autre, dans tous les sens, et moi je suis perdu. Mettez vous un peu à ma place. ( Même si je sais que vous ne vous mettrez pas à ma place, parce que votre but est de chercher mes faiblesses pour m'écraser ). C'est vous les vrais troll.
-
Pablo:
Si on n'est pas suffisamment humble on ne peut pas être dans la disposition d'esprit pour apprendre de quelqu'un d'autre.
Tu es culotté de te victimiser alors que tu trouves encore des gens pour te répondre sérieusement alors que tu montres un fonctionnement qui est très déconcertant pour un enseignant me semble-t-il.
PS:
Il y a une urgence à résoudre cette question?
Si cela traine deux semaines mais que tu apprends plein de trucs est-ce que ce n'est pas bon à prendre? -
Personne ne t'oblige de me répondre. Au contraire, ça me fera du bien, car, tes réponses ne m'ont jamais été utile. Tu ne me fais que remplir mon cerveau de confusion. Tu n'as jamais été utile pour moi. Et au fond de moi, j'ai toujours prié Dieu, pour ne pas venir polluer mes fils, mais je n'ose pas le dire ouvertement. Sérieusement.
-
Pas de problème, adieu Pablo !!!
-
Question subsidiaire,
Est ce que le fait de demander d'établir que, tout élément de $\mathfrak{A}_6$ a un ordre $\leqslant 6$, consiste à montrer tout simplement, que l'exposant de $\mathfrak{A}_6$ est $ 6 $ ?
Merci d'avance.
Edit,
Comment déterminer une présentation du groupe $ \mathfrak{A}_6 $ ?
Merci d'avance. -
On a, ( Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_alterné . Je ne sais pas démontrer qu'une présentation de $ \mathfrak{A}_6 $ est de cette forme )
$ \mathfrak{A}_6 = \langle (a_i)_{ i = 1,2,3,4 } \ | \ a_{i}^{3} = 1 \ , \ (a_i a_j)^2 = 1 \ (i<j) \ \rangle $.
Donc, l'exposant de $ \mathfrak{A}_6 $ est $ \mathrm{ppcm} (2,3) = 6 $, et puisque, $ \mathfrak{A}_6 $ n'est pas abélien, alors, tout élément de $ \mathfrak{A}_6 $ a un ordre $ < 6 $. ( Inégalité stricte )
Est ce que c'est ça ? -
Toujours d'après ce meme pdf de Poirot, http://math.univ-lyon1.fr/~cretin/OralAlgebre/groupes-60-168.pdf , page, $ 1) $, pourquoi, $ \alpha $ s'identifie à l'automorphisme $ \alpha \ : \ x \to x+1 $ de $ \mathrm{PGL}_2 ( \mathbb{F}_5 ) = \mathbb{P}_1 ( \mathbb{F}_5 ) $ ?
Merci pour votre aide. -
Tes questions montrent que tu ne comprends vraiment rien à rien. Arrête de prétendre comprendre ce dont on parle et reprends un cours de théorie des groupes de niveau L1 en manipulant des exemples. Tu vois bien que c'est complètement hors de portée pour toi, tu poses une question par phrase !
-
Non. Je suis déterminé et motivé à comprendre ce document que tu mets. Et j'irai jusqu'au bout.
-
Dans la suite du paragraphe, on précise que,
- $ \psi ( \alpha . \infty ) = \psi ( \infty + 1 ) $.
- Pour tout $ k \in \mathbb{F}_5 $, $ \psi ( \alpha . k ) = \psi ( k+1 ) $.
Donc, pour tout $ x \in \Omega $, $ \psi ( \alpha. x) = \psi (x+1) $
Est ce que, pour tout $ x \in \Omega $, le fait que, $ \psi ( \alpha. x) = \psi (x+1) $ s'identifie au fait que, $ \alpha (x) = x+1 $ pour tout $ x \in \Omega $ ? Je sais que oui, mais je n'arrive pas à le justifier.
Merci d'avance.
Edit,
D'accord, parce que, une action, $ G \times \Omega \to \Omega $ s'identifie à l'action $ G \to \mathrm{Aut} ( \Omega ) $. -
Une autre question s'il vous plait,
Toujours à la page $ 1) $ du meme pdf, on dit, puisque, $ n_5 = 6 $, alors, $ N_G (Q) $ est d'ordre $ 10 $. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?
Merci d'avance. -
Je me demande ce que ça donnerait si tu essayais de lire une démonstration véritablement longue. Est-ce que tu poserais une question par ligne pendant quinze ans, plutôt que d'avoir le déclic qu'il faudrait que tu apprennes d'autres choses d'abord ?
-
D'après ce lien, https://fr.wikipedia.org/wiki/Normalisateur , $ [G : N_G (Q ] = | \mathrm{Syl}_5 (G) | $.
Et puisque, $ [G : N_G ] = \dfrac{G}{N_{G} (Q) } $.
Alors, $ N_G (Q) = \dfrac{G}{| \mathrm{Syl}_5 (G) |} = \dfrac{ 2^{2}.3.5 }{ 2.3 } = 2.5 = 10 $.
Est ce que c'est correct ?
Merci d'avance. -
Bah si c'est Wikipedia qui le dit, pas besoin de chercher à comprendre ! 8-)
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