Toujours d'après ce meme pdf, à la page $ 1) $, on dit que, $ |N_{G} (Q) | = 10 $ implique que, $ N_G (Q) $ est isomorphe à $ C_{10} $ ou, à $ D_5 $. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?
$ D_5 $, c'est $ C_2 \rtimes_f C_5 $ ou bien $ C_5 \rtimes_f C_2 $ ?
Merci d'avance.
Tu auras toutes les réponses si tu lis un bon cours sur la théorie des groupes. Je ne peux que te recommander le remarquable livre d'AD Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes.
Je ne lirai aucun autre cours ou document jusqu'à ce que j'arrive à finir le document que tu m'as posé, sinon, on va dans tous les sens sans que ce soit utile. Viens m'aider plus vite, au lieu de me remplir de recommandations qui ne correspondent pas à ce qui me sera bien de faire.
Je ne lirai aucun cours d'analyse de niveau supérieur au lycée tant que je n'aurai pas lu la preuve du théorème de Carleson sur les séries de Fourier !
Si $a$ et $b$ sont dans des 3-Sylow distincts, il faut se demander si $ab$ et $ba$ peuvent être rangés dans le même 3-Sylow. Si c'était le cas... il suffit de l'écrire.
Et pour l'autre question, où sont rangés les éléments d'ordre 3 ?
Déjà, est-ce évident que $ab$ et $ba$ sont forcément dans les 3-Sylow ? Il y a à peu près un seul théorème pour s'en assurer. Une fois que c'est établi, suppose qu'ils sont dans le même et trouve le problème.
Pourquoi les éléments d'ordre 3 sont dans les 3-Sylow d'ailleurs ?
Qui peut être ce fameux "- 1" ?
Je recommanderais quand même de faire quelque chose de plus simple pour maîtriser Sylow :
1) Fait important en théorie des groupes : $ab$ et $ba$ sont conjugués.
Je crois que je suis parti sur une bêtise quand même. Justifie juste que si on suppose que $a$ et $b$ commutent, leur produit est d'ordre 3. Pas besoin de gros théorème autant pour moi.
2) Tu pars mal. Ce que tu veux montrer c'est que $a$ et $b$ ne commutent pas. Je te demande de les prendre chacun dans un 3-Sylow différent. Les produits dans les deux sens sont encore dans des 3-Sylow. Il suffit de justifier que ça ne peut pas être le même. Mais le raisonnement tient seulement car les 3-Sylow ont une structure très simple.
3) C'est vrai. Ma question était insuffisante cependant. Plus précisément, pourquoi énumérer les éléments d'ordre 3 revient à énumérer les éléments des 3-Sylow EN RETIRANT NE NEUTRE ?
3) C'est vrai. Ma question était insuffisante cependant. Plus précisément, pourquoi énumérer les éléments d'ordre 3 revient à énumérer les éléments des 3-Sylow EN RETIRANT LE NEUTRE ?
Je ne sais pas. Ce n'est pas clair pour moi pourquoi. Pourquoi ?
J'ai édité mon truc sur la conjugaison. C'est vrai mais inutile, c'est bien plus élémentaire que ça (mais c'est important de savoir justifier qu'ils sont bien conjugués quand même, ce ne sont pas les douze travaux d'Hercule...).
Le reste est réduit à un degré vraiment élémentaire qui ne nécessite plus aucun gros théorème. Tu vas devoir réfléchir.
Tu peux me rédiger la réponse ? ( car il me semble que tu es entrain de dribler mon cerveau ).
Le cerveau ne fonctionne pas de manière séquentielle, il faut que l'idée soit compris dans sa globalité pour pouvoir attaquer ce qui est minuscule.
2) Tu pars mal. Ce que tu veux montrer c'est que $a$ et $b$ ne commutent pas. Je te demande de les prendre chacun dans un 3-Sylow différent. Les produits dans les deux sens sont encore dans des 3-Sylow. Il suffit de justifier que ça ne peut pas être le même. Mais le raisonnement tient seulement car les 3-Sylow ont une structure très simple.
Si $ ab $ et $ ba $ commutent, alors, $ ab $ et $ ba $ sont d'ordre $ 3 $, et donc, $ ab $ et $ ba $ sont chacun dans un $ 3 $ - Sylow car, il est d'ordre $ 3 $.
Notons $ N $ et $ M $ ses deux $ 3 $ - Sylow.
Montrons que, $ M \neq N $.
Supposons que $ M = N $.
Il n y aura dans ce cas là que trois $ 3 $ - Sylow, dans $ G $ au lieu de quatre. Est ce que, c'est ça ? Ce qui est absurde.
Donc, $ M \neq N $, et à fortiori, $ ab \neq ba $.
D'où, $ G $ n’est pas abélien.
Est ce que, c'est ça ?
Merci d'avance.
3) C'est vrai. Ma question était insuffisante cependant. Plus précisément, pourquoi énumérer les éléments d'ordre 3 revient à énumérer les éléments des 3-Sylow EN RETIRANT LE NEUTRE ?
Déjà c'est "si $a$ et $b$ commutent", pas les produits. Ensuite j'ai l'impression que tu n'as aucune idée de la structure des groupes à trois éléments.
Dis-toi qu'un type ayant bien travaillé sa théorie des groupes arrive aux théorèmes de Sylow et raisonnements associés en raisonnant tes questions de tête moyennant une petite gym mentale.
Car tu ne sais pas faire des exercices de L1 en théorie des groupes, ce qui est objectivement plus simple à comprendre que ne serait-ce que l'énoncé de la conjecture de Hodge. Tu as aussi révélé que tu ne comprenais rien au monde projectif, alors que la conjecture de Hodge parle de variétés projectives.
Car tu ne sais pas faire des exercices de L1 en théorie des groupes.
Mais, ce n'est pas ce qui m’intéresse ici. Ce qui m’intéresse est Sylow. Je n'ai pas envie de perdre mon temps à faire ce genre de raisonnement, qui n'est qu'un gâchis du temps, et d'énergie.
T'as gâché surtout 10 ans de ta vie à lire des maths bien au dessus de ton niveau et que tu ne comprends pas juste pour entretenir ton ego, 10 minutes de perdues en plus on s'en fout...
Dis-toi qu'un type ayant bien travaillé sa théorie des groupes arrive aux théorèmes de Sylow et raisonnements associés en raisonnant tes questions de tête moyennant une petite gym mentale.
D'accord, je vais régler ça. Alors, on fait ce qui reste de cet exercice, parce que, vous rallongez trop la durée de travail sur un exercice qui ne demande que $ 30 $ minutes.
RLC n'est pas mon professeur, c'est juste un internaute que je considère comme tous les autres internautes qui fréquentent ce forum.
Edit,
Je préfère le qualifier de professeur inexpérimenté, s'il est réellement, professeur dans la vie de tous les jours.
Je ne lui souhaite pas cette profession.
On a, $ \mathrm{PGL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) = H \sqcup \{ \infty \} = \mathrm{GL}_1 ( \mathbb{F}_7 ) \sqcup \{ \infty \} $, avec, $ H $ un hyperplan de $ \mathrm{PGL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) $.
D'où, $ \mathrm{PGL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) = 7 + 1 = 8 $.
C'est $ \{ \infty \} $ qui est l’hyperplan à l'infini.
$ H $, j'ai oublié comment il s'appelle, c'est un ouvert principal $ D(T) $, avec, $ T $ que, je sais pas définir. Peut être, $ T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} $, par opposiition à $ \infty = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} $.
Est ce que, quelqu'un peut m'éclairer sur ce point ?
Merci d'avance.
Réponses
$ D_5 $, c'est $ C_2 \rtimes_f C_5 $ ou bien $ C_5 \rtimes_f C_2 $ ?
Merci d'avance.
$ N_G (Q) $ est d'ordre $ 10 = 2.5 $.
Soit $ n_2 = | \mathrm{Syl}_2 (N_G (Q)) | $,
D'après les deux derniers théorèmes de Sylow,
- $ n_2 = 1 \ [ 2 ] $
- $ n_2 | 5 $.
Donc, $ n_2 = 1 $ ou $ n_2 = 5 $.
- Si, $ n_2 = 1 $.
Soit $ C_2 $ l'unique $ 2 $ - Sylow de $ N_G ( Q ) $. C'est un sous groupe distingué isomorphe à $ \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} $.
Soit $ C_5 $ un $ 5 $ - Sylow, alors, puisque, $ [N_G (Q) : C_2 ] = 5 $, et $ [N_G (Q) : C_5 ] = 2 $, et $ 2 \wedge 5 = 1 $ ( Voir, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2149522,page=4 ), alors, $ N_G ( Q) = C_2 C_5 $, et puisque, $ C_2 \cap C_5 = \{ e \} $, alors, $ N_G ( Q ) = C_2 \rtimes C_5 $. C'est ça ? ( Ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_diédral , il faut avoir, obtenir $ N_G ( Q ) = C_5 \rtimes C_2 $ au lieu de $ N_G ( Q ) = C_2 \rtimes C_5 $. C'est bizarre )
- Si, $ n_2 = 5 $, alors, $ | \mathrm{Syl}_2 ( N_G ( Q ) ) | = 5 $, comment, alors montrer que, $ N_G (Q) = C_{10} = C_2 \times C_5 $ ? Il faut montrer que $ C_5 $ est distingué, mais, je ne sais pas le faire. J'ai essayer de mimer ce qui est écrit ici, http://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/Antoine.Diez/groupes12.pdf , page, $ 2) $, cas $ r = 4 $, je n'ai pas saisi pourquoi si $ G $ contient un $ 3 $ - Sylow, alors, il n’est pas abélien. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ? et pourquoi le fait que si les intersections entre deux $ 3 $ -Sylow sont triviales, il y a exactement $ 4 \times ( 3 - 1 ) = 8 $ éléments d'ordre $ 3 $ ?
Merci infiniment.
?
Merci d'avance.
Et pour l'autre question, où sont rangés les éléments d'ordre 3 ?
Pourquoi si $ab$ et $ba$ peuvent être rangés dans le même $3$-Sylow, alors, cela signifie que, $ ab=ba $ ?
Dans les quatres $ 3 $ - Sylow de $ G $. Donc, leur nombre vaut, $ 4 \times ( \text{quelque chose} ) $. Pourquoi, $ \text{quelque chose} $ vaut $ 3 - 1 $ ?
Merci d'avance.
Pour l'inciter à ne plus m'aider. (td)
Pourquoi les éléments d'ordre 3 sont dans les 3-Sylow d'ailleurs ?
Qui peut être ce fameux "- 1" ?
Je recommanderais quand même de faire quelque chose de plus simple pour maîtriser Sylow :
Montrer que tout groupe d'ordre 15 est cyclique.
Je n’arrive pas à me rappeler de ce théorème auquel tu fais allusion.
Si $ a $ et $ b $ sont dans le meme $ 3 $ - Sylow, $ N $, d'ordre premier $ 3 $, et donc, cyclique, et donc, abélien, alors, $ ab = ba $.
Parce qu'ils appartiennent à un sous groupe d'ordre $ 3 $, et l'ordre de tout élément divise l'ordre du groupe, d'après le théorème de Cauchy.
Le neutre ? Mais, je ne sais pas pourquoi. Pourquoi c'est le neutre ?
J'ai résolu un exercice ( Exercice, IV, question, $ 1) $, ici, http://www.logique.jussieu.fr/~alp/L3-Algebre/Liret-partiel-12-13.pdf ) qui lui ressemble ici, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2149522,page=1
Je crois que je suis parti sur une bêtise quand même. Justifie juste que si on suppose que $a$ et $b$ commutent, leur produit est d'ordre 3. Pas besoin de gros théorème autant pour moi.
2) Tu pars mal. Ce que tu veux montrer c'est que $a$ et $b$ ne commutent pas. Je te demande de les prendre chacun dans un 3-Sylow différent. Les produits dans les deux sens sont encore dans des 3-Sylow. Il suffit de justifier que ça ne peut pas être le même. Mais le raisonnement tient seulement car les 3-Sylow ont une structure très simple.
3) C'est vrai. Ma question était insuffisante cependant. Plus précisément, pourquoi énumérer les éléments d'ordre 3 revient à énumérer les éléments des 3-Sylow EN RETIRANT NE NEUTRE ?
4) Non je ne cliquerai même pas.
Comment l'établir ?
Pourquoi ?
Je ne sais pas. Ce n'est pas clair pour moi pourquoi. Pourquoi ?
$a^{-1}(ab)a=?$
-- Schnoebelen, Philippe
Le reste est réduit à un degré vraiment élémentaire qui ne nécessite plus aucun gros théorème. Tu vas devoir réfléchir.
Donc, $ ba = a^{-1} (ab)a $.
Donc, $ ab $ et $ ba $ sont conjugués.
Je ne trouve pas la réponse.
On a, $ (ab)^3 = ababab= aaabbb = (a^3)(b^3) = e.e = e $.
En quoi cela prouve-t-il que, $ ab $ et $ ba $ sont dans un meme $ 3 $ - Sylow ?
Le cerveau ne fonctionne pas de manière séquentielle, il faut que l'idée soit compris dans sa globalité pour pouvoir attaquer ce qui est minuscule.
Merci d'avance.
Si $ ab $ et $ ba $ commutent, alors, $ ab $ et $ ba $ sont d'ordre $ 3 $, et donc, $ ab $ et $ ba $ sont chacun dans un $ 3 $ - Sylow car, il est d'ordre $ 3 $.
Notons $ N $ et $ M $ ses deux $ 3 $ - Sylow.
Montrons que, $ M \neq N $.
Supposons que $ M = N $.
Il n y aura dans ce cas là que trois $ 3 $ - Sylow, dans $ G $ au lieu de quatre. Est ce que, c'est ça ? Ce qui est absurde.
Donc, $ M \neq N $, et à fortiori, $ ab \neq ba $.
D'où, $ G $ n’est pas abélien.
Est ce que, c'est ça ?
Merci d'avance.
Je ne sais pas. Pourquoi ?
Pourquoi me demandes tu ça ?
Dis-toi qu'un type ayant bien travaillé sa théorie des groupes arrive aux théorèmes de Sylow et raisonnements associés en raisonnant tes questions de tête moyennant une petite gym mentale.
Mais, ce n'est pas ce qui m’intéresse ici. Ce qui m’intéresse est Sylow. Je n'ai pas envie de perdre mon temps à faire ce genre de raisonnement, qui n'est qu'un gâchis du temps, et d'énergie.
Ils sont simple ?
Ça viendra avec le temps.
Viens à l'aide au lieu de t’inquiéter de moi.
Quand l'élève refuse les conseils du professeur, il est normal que le professeur laisse tomber l'élève.
Cordialement,
Rescassol
Edit,
Je préfère le qualifier de professeur inexpérimenté, s'il est réellement, professeur dans la vie de tous les jours.
Je ne lui souhaite pas cette profession.
C'est $ \{ \infty \} $ qui est l’hyperplan à l'infini.
$ H $, j'ai oublié comment il s'appelle, c'est un ouvert principal $ D(T) $, avec, $ T $ que, je sais pas définir. Peut être, $ T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} $, par opposiition à $ \infty = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} $.
Est ce que, quelqu'un peut m'éclairer sur ce point ?
Merci d'avance.