Groupe simple d'ordre 168
Réponses
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Toujours d'après ce meme pdf, à la page $ 1) $, on dit que, $ |N_{G} (Q) | = 10 $ implique que, $ N_G (Q) $ est isomorphe à $ C_{10} $ ou, à $ D_5 $. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?
$ D_5 $, c'est $ C_2 \rtimes_f C_5 $ ou bien $ C_5 \rtimes_f C_2 $ ?
Merci d'avance. -
C'est absurde de vouloir « classer » les groupes simples d'ordre 168 si le groupe diédral pose problème.
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Comme ici, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2150146
$ N_G (Q) $ est d'ordre $ 10 = 2.5 $.
Soit $ n_2 = | \mathrm{Syl}_2 (N_G (Q)) | $,
D'après les deux derniers théorèmes de Sylow,
- $ n_2 = 1 \ [ 2 ] $
- $ n_2 | 5 $.
Donc, $ n_2 = 1 $ ou $ n_2 = 5 $.
- Si, $ n_2 = 1 $.
Soit $ C_2 $ l'unique $ 2 $ - Sylow de $ N_G ( Q ) $. C'est un sous groupe distingué isomorphe à $ \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} $.
Soit $ C_5 $ un $ 5 $ - Sylow, alors, puisque, $ [N_G (Q) : C_2 ] = 5 $, et $ [N_G (Q) : C_5 ] = 2 $, et $ 2 \wedge 5 = 1 $ ( Voir, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2149522,page=4 ), alors, $ N_G ( Q) = C_2 C_5 $, et puisque, $ C_2 \cap C_5 = \{ e \} $, alors, $ N_G ( Q ) = C_2 \rtimes C_5 $. C'est ça ? ( Ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_diédral , il faut avoir, obtenir $ N_G ( Q ) = C_5 \rtimes C_2 $ au lieu de $ N_G ( Q ) = C_2 \rtimes C_5 $. C'est bizarre )
- Si, $ n_2 = 5 $, alors, $ | \mathrm{Syl}_2 ( N_G ( Q ) ) | = 5 $, comment, alors montrer que, $ N_G (Q) = C_{10} = C_2 \times C_5 $ ? Il faut montrer que $ C_5 $ est distingué, mais, je ne sais pas le faire. J'ai essayer de mimer ce qui est écrit ici, http://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/Antoine.Diez/groupes12.pdf , page, $ 2) $, cas $ r = 4 $, je n'ai pas saisi pourquoi si $ G $ contient un $ 3 $ - Sylow, alors, il n’est pas abélien. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ? et pourquoi le fait que si les intersections entre deux $ 3 $ -Sylow sont triviales, il y a exactement $ 4 \times ( 3 - 1 ) = 8 $ éléments d'ordre $ 3 $ ?
Merci infiniment. -
Tu auras toutes les réponses si tu lis un bon cours sur la théorie des groupes. Je ne peux que te recommander le remarquable livre d'AD Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes.
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Je ne lirai aucun autre cours ou document jusqu'à ce que j'arrive à finir le document que tu m'as posé, sinon, on va dans tous les sens sans que ce soit utile. Viens m'aider plus vite, au lieu de me remplir de recommandations qui ne correspondent pas à ce qui me sera bien de faire.
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Bon courage.
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Je ne lirai aucun cours d'analyse de niveau supérieur au lycée tant que je n'aurai pas lu la preuve du théorème de Carleson sur les séries de Fourier !
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Est ce que vous pouvez répondre aux questions figurant ici,Pablo a écrit:Comme ici, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2150146
$ N_G (Q) $ est d'ordre $ 10 = 2.5 $.
Soit $ n_2 = | \mathrm{Syl}_2 (N_G (Q)) | $,
D'après les deux derniers théorèmes de Sylow,
- $ n_2 = 1 \ [ 2 ] $
- $ n_2 | 5 $.
Donc, $ n_2 = 1 $ ou $ n_2 = 5 $.
- Si, $ n_2 = 1 $.
Soit $ C_2 $ l'unique $ 2 $ - Sylow de $ N_G ( Q ) $. C'est un sous groupe distingué isomorphe à $ \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} $.
Soit $ C_5 $ un $ 5 $ - Sylow, alors, puisque, $ [N_G (Q) : C_2 ] = 5 $, et $ [N_G (Q) : C_5 ] = 2 $, et $ 2 \wedge 5 = 1 $ ( Voir, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2149522,page=4 ), alors, $ N_G ( Q) = C_2 C_5 $, et puisque, $ C_2 \cap C_5 = \{ e \} $, alors, $ N_G ( Q ) = C_2 \rtimes C_5 $. C'est ça ? ( Ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_diédral , il faut avoir, obtenir $ N_G ( Q ) = C_5 \rtimes C_2 $ au lieu de $ N_G ( Q ) = C_2 \rtimes C_5 $. C'est bizarre )
- Si, $ n_2 = 5 $, alors, $ | \mathrm{Syl}_2 ( N_G ( Q ) ) | = 5 $, comment, alors montrer que, $ N_G (Q) = C_{10} = C_2 \times C_5 $ ? Il faut montrer que $ C_5 $ est distingué, mais, je ne sais pas le faire. J'ai essayer de mimer ce qui est écrit ici, http://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/Antoine.Diez/groupes12.pdf , page, $ 2) $, cas $ r = 4 $, je n'ai pas saisi pourquoi si $ G $ contient un $ 3 $ - Sylow, alors, il n’est pas abélien. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ? et pourquoi le fait que si les intersections entre deux $ 3 $ -Sylow sont triviales, il y a exactement $ 4 \times ( 3 - 1 ) = 8 $ éléments d'ordre $ 3 $ ?
Merci infiniment.
?
Merci d'avance. -
Si $a$ et $b$ sont dans des 3-Sylow distincts, il faut se demander si $ab$ et $ba$ peuvent être rangés dans le même 3-Sylow. Si c'était le cas... il suffit de l'écrire.
Et pour l'autre question, où sont rangés les éléments d'ordre 3 ? -
RLC a écrit:Si $a$ et $b$ sont dans des 3-Sylow distincts, il faut se demander si $ab$ et $ba$ peuvent être rangés dans le même 3-Sylow.
Pourquoi si $ab$ et $ba$ peuvent être rangés dans le même $3$-Sylow, alors, cela signifie que, $ ab=ba $ ?RLC a écrit:Et pour l'autre question, où sont rangés les éléments d'ordre 3 ?
Dans les quatres $ 3 $ - Sylow de $ G $. Donc, leur nombre vaut, $ 4 \times ( \text{quelque chose} ) $. Pourquoi, $ \text{quelque chose} $ vaut $ 3 - 1 $ ?
Merci d'avance. -
Amuse-toi bien RLC.
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Poirot a écrit:Amuse-toi bien RLC.
Pour l'inciter à ne plus m'aider. (td) -
Déjà, est-ce évident que $ab$ et $ba$ sont forcément dans les 3-Sylow ? Il y a à peu près un seul théorème pour s'en assurer. Une fois que c'est établi, suppose qu'ils sont dans le même et trouve le problème.
Pourquoi les éléments d'ordre 3 sont dans les 3-Sylow d'ailleurs ?
Qui peut être ce fameux "- 1" ?
Je recommanderais quand même de faire quelque chose de plus simple pour maîtriser Sylow :
Montrer que tout groupe d'ordre 15 est cyclique. -
Merci.RLC a écrit:Déjà, est-ce évident que $ab$ et $ba$ sont forcément dans les 3-Sylow ? Il y a à peu près un seul théorème pour s'en assurer.
Je n’arrive pas à me rappeler de ce théorème auquel tu fais allusion.RLC a écrit:Une fois que c'est établi, suppose qu'ils sont dans le même et trouve le problème.
Si $ a $ et $ b $ sont dans le meme $ 3 $ - Sylow, $ N $, d'ordre premier $ 3 $, et donc, cyclique, et donc, abélien, alors, $ ab = ba $.RLC a écrit:Pourquoi les éléments d'ordre 3 sont dans les 3-Sylow d'ailleurs ?
Parce qu'ils appartiennent à un sous groupe d'ordre $ 3 $, et l'ordre de tout élément divise l'ordre du groupe, d'après le théorème de Cauchy.RLC a écrit:Qui peut être ce fameux "- 1" ?
Le neutre ? Mais, je ne sais pas pourquoi. Pourquoi c'est le neutre ?RLC a écrit:Je recommanderais quand même de faire quelque chose de plus simple pour maîtriser Sylow :
Montrer que tout groupe d'ordre 15 est cyclique.
J'ai résolu un exercice ( Exercice, IV, question, $ 1) $, ici, http://www.logique.jussieu.fr/~alp/L3-Algebre/Liret-partiel-12-13.pdf ) qui lui ressemble ici, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2149522,page=1 -
Pardon, il faut montrer que, $ G $ n'est pas abélien, et non, abélien. Donc, ton raisonnement ne fonctionne pas RLC. Non ?
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1) Fait important en théorie des groupes : $ab$ et $ba$ sont conjugués.
Je crois que je suis parti sur une bêtise quand même. Justifie juste que si on suppose que $a$ et $b$ commutent, leur produit est d'ordre 3. Pas besoin de gros théorème autant pour moi.
2) Tu pars mal. Ce que tu veux montrer c'est que $a$ et $b$ ne commutent pas. Je te demande de les prendre chacun dans un 3-Sylow différent. Les produits dans les deux sens sont encore dans des 3-Sylow. Il suffit de justifier que ça ne peut pas être le même. Mais le raisonnement tient seulement car les 3-Sylow ont une structure très simple.
3) C'est vrai. Ma question était insuffisante cependant. Plus précisément, pourquoi énumérer les éléments d'ordre 3 revient à énumérer les éléments des 3-Sylow EN RETIRANT NE NEUTRE ?
4) Non je ne cliquerai même pas. -
RLC a écrit:1) Fait important en théorie des groupes : $ab$ et $ba$ sont conjugués.
Comment l'établir ?RLC a écrit:2) Les produits dans les deux sens sont encore dans des 3-Sylow.
Pourquoi ?RLC a écrit:3) C'est vrai. Ma question était insuffisante cependant. Plus précisément, pourquoi énumérer les éléments d'ordre 3 revient à énumérer les éléments des 3-Sylow EN RETIRANT LE NEUTRE ?
Je ne sais pas. Ce n'est pas clair pour moi pourquoi. Pourquoi ? -
Pablo_de_retour a écrit:RLC a écrit:1) Fait important en théorie des groupes : $ab$ et $ba$ sont conjugués.
Comment l'établir ?
$a^{-1}(ab)a=?$Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
J'ai édité mon truc sur la conjugaison. C'est vrai mais inutile, c'est bien plus élémentaire que ça (mais c'est important de savoir justifier qu'ils sont bien conjugués quand même, ce ne sont pas les douze travaux d'Hercule...).
Le reste est réduit à un degré vraiment élémentaire qui ne nécessite plus aucun gros théorème. Tu vas devoir réfléchir. -
Merci Nicolas. (tu) :-)
Donc, $ ba = a^{-1} (ab)a $.
Donc, $ ab $ et $ ba $ sont conjugués. -
RLC a écrit:Le reste est réduit à un degré vraiment élémentaire qui ne nécessite plus aucun gros théorème. Tu vas devoir réfléchir.
Je ne trouve pas la réponse. -
Pablo en pleine réflexion...
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RLC a écrit:Justifie juste que si on suppose que $a$ et $b$ commutent, leur produit est d'ordre 3. Pas besoin de gros théorème autant pour moi.
On a, $ (ab)^3 = ababab= aaabbb = (a^3)(b^3) = e.e = e $.
En quoi cela prouve-t-il que, $ ab $ et $ ba $ sont dans un meme $ 3 $ - Sylow ? -
J'ai dit cinquante fois qu'on voulait qu'ils ne soient pas dans le même justement.
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Tu peux me rédiger la réponse ? ( car il me semble que tu es entrain de dribler mon cerveau ).
Le cerveau ne fonctionne pas de manière séquentielle, il faut que l'idée soit compris dans sa globalité pour pouvoir attaquer ce qui est minuscule. -
Après la conjecture de Hodge tu nous révèles tes connaissances en neurologie
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Est ce que quelqu'un peut me donner la réponse ? J'ai cherché longtemps, mais, je n'ai pas trouvé.
Merci d'avance. -
RLC a écrit:2) Tu pars mal. Ce que tu veux montrer c'est que $a$ et $b$ ne commutent pas. Je te demande de les prendre chacun dans un 3-Sylow différent. Les produits dans les deux sens sont encore dans des 3-Sylow. Il suffit de justifier que ça ne peut pas être le même. Mais le raisonnement tient seulement car les 3-Sylow ont une structure très simple.
Si $ ab $ et $ ba $ commutent, alors, $ ab $ et $ ba $ sont d'ordre $ 3 $, et donc, $ ab $ et $ ba $ sont chacun dans un $ 3 $ - Sylow car, il est d'ordre $ 3 $.
Notons $ N $ et $ M $ ses deux $ 3 $ - Sylow.
Montrons que, $ M \neq N $.
Supposons que $ M = N $.
Il n y aura dans ce cas là que trois $ 3 $ - Sylow, dans $ G $ au lieu de quatre. Est ce que, c'est ça ? Ce qui est absurde.
Donc, $ M \neq N $, et à fortiori, $ ab \neq ba $.
D'où, $ G $ n’est pas abélien.
Est ce que, c'est ça ?
Merci d'avance. -
Pablo, as-tu vraiment résolu la conjecture de Hodge ?
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RLC a écrit:3) C'est vrai. Ma question était insuffisante cependant. Plus précisément, pourquoi énumérer les éléments d'ordre 3 revient à énumérer les éléments des 3-Sylow EN RETIRANT LE NEUTRE ?
Je ne sais pas. Pourquoi ? -
Poirot a écrit:Pablo, as-tu vraiment résolu la conjecture de Hodge ?
Pourquoi me demandes tu ça ? -
Déjà c'est "si $a$ et $b$ commutent", pas les produits. Ensuite j'ai l'impression que tu n'as aucune idée de la structure des groupes à trois éléments.
Dis-toi qu'un type ayant bien travaillé sa théorie des groupes arrive aux théorèmes de Sylow et raisonnements associés en raisonnant tes questions de tête moyennant une petite gym mentale. -
Car tu ne sais pas faire des exercices de L1 en théorie des groupes, ce qui est objectivement plus simple à comprendre que ne serait-ce que l'énoncé de la conjecture de Hodge. Tu as aussi révélé que tu ne comprenais rien au monde projectif, alors que la conjecture de Hodge parle de variétés projectives.
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Poirot a écrit:Car tu ne sais pas faire des exercices de L1 en théorie des groupes.
Mais, ce n'est pas ce qui m’intéresse ici. Ce qui m’intéresse est Sylow. Je n'ai pas envie de perdre mon temps à faire ce genre de raisonnement, qui n'est qu'un gâchis du temps, et d'énergie. -
T'as gâché surtout 10 ans de ta vie à lire des maths bien au dessus de ton niveau et que tu ne comprends pas juste pour entretenir ton ego, 10 minutes de perdues en plus on s'en fout...
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RLC a écrit:Ensuite j'ai l'impression que tu n'as aucune idée de la structure des groupes à trois éléments.
Ils sont simple ?RLC a écrit:Dis-toi qu'un type ayant bien travaillé sa théorie des groupes arrive aux théorèmes de Sylow et raisonnements associés en raisonnant tes questions de tête moyennant une petite gym mentale.
Ça viendra avec le temps. -
@noobey,
Viens à l'aide au lieu de t’inquiéter de moi. -
On a dépassé le stade de l'inquiétude, on ne peut que se désoler de ce que tu as fait de ton temps ces dernières années, et ton attitude actuelle.
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D'accord, je vais régler ça. Alors, on fait ce qui reste de cet exercice, parce que, vous rallongez trop la durée de travail sur un exercice qui ne demande que $ 30 $ minutes.
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Il faut à tout prix savoir quels sont les groupes de cardinal premier, et à plus forte raison de cardinal 3 puisque ça se fait à la main...
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Bon bah démerde-toi.
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''Démerde-toi'' se dit de quelqu'un qui ignore la réponse, et n'est capable de rien. Or, toi, tu as la réponse, mais, tu ne veux pas la partager.
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Bonsoir,Pablo a écrit:''Démerde-toi'' se dit de quelqu'un qui ignore la réponse, et n'est capable de rien. Or, toi, tu as la réponse, mais, tu ne veux pas la partager.
Quand l'élève refuse les conseils du professeur, il est normal que le professeur laisse tomber l'élève.
Cordialement,
Rescassol -
RLC n'est pas mon professeur, c'est juste un internaute que je considère comme tous les autres internautes qui fréquentent ce forum.
Edit,
Je préfère le qualifier de professeur inexpérimenté, s'il est réellement, professeur dans la vie de tous les jours.
Je ne lui souhaite pas cette profession. -
C’est du propre...
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Bah elle est pas mal celle-là !
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Pardon. Je corrige le passage suivant, ( J'espère que ça va être correct, cette fois çi ).Pablo a écrit:On a, $ \mathrm{PGL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) = H \sqcup \{ \infty \} = \mathrm{GL}_1 ( \mathbb{F}_7 ) \sqcup \{ \infty \} $, avec, $ H $ un hyperplan de $ \mathrm{PGL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) $.
D'où, $ \mathrm{PGL}_2 ( \mathbb{F}_7 ) = 7 + 1 = 8 $.
C'est $ \{ \infty \} $ qui est l’hyperplan à l'infini.
$ H $, j'ai oublié comment il s'appelle, c'est un ouvert principal $ D(T) $, avec, $ T $ que, je sais pas définir. Peut être, $ T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} $, par opposiition à $ \infty = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} $.
Est ce que, quelqu'un peut m'éclairer sur ce point ?
Merci d'avance. -
C'est stupéfiant. Cela n'a aucun sens. Aucun.
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Bonjour!
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