Le pgcd(0;0)=0 et pgcd(infini;infini)=?

Que valent pgcd(n,n+1) et pgcd(n,2n) ? Maintenant en faisant tendre n vers l'infini vois le problème.

Il me semble que la réponse est évidente pour pgcd(n,n).
Seulement c'est totalement inutile comme définition. Quand on fait varier deux paramètres vers l'infini (pour pouvoir écrire un truc type "pgcd(infini, infini)"), il faut que les deux paramètres puissent être n'importe quel infini, et distincts.

Une définition convaincante de ton pgcd devrait donc fonctionner à la fois pour mes deux exemples, mais ce n'est pas possible.

A vrai dire je n'ai jamais vu la convention pour pgcd(0,0) mais je veux bien la croire. En pratique elle ne m'a jamais servi.

Là le procédé le plus intuitif est de faire tendre n vers l'infini, et ça donnerait l'infini. Mais ça n'a pas grand intérêt. Quand on utilise des choses avec la notation infini, il faut qu'elles fonctionnent avec tous les infinis pour les deux arguments. Sinon on se perdrait dans les raisonnements en croyant utiliser quelque chose de valide à cause de la notation, mais qui ne marche que pour un seul cas très spécifique et franchement pas intéressant (le pgcd de deux fois le même nombre, c'est ce nombre...).

Pour (0,0) une tentation serait de dire l'infini aussi donc pourquoi pas prendre 0 pour ton problème, si je comprends ce que tu veux dire ?

Bon anniversaire Chaurien.

e.v.

Bonjour,

Je plussoie, bon anniversaire, Chaurien, et qu'il y en ait encore beaucoup.

Cordialement,

Rescassol

Quel rapport entre le peigne de Dirac et l'arithmétique ?

Penses-tu que l'infini est un nombre entier ? Si oui, tu te trompes. Sinon, tu n'as aucune raison d'espérer que le pgcd de l'infini avec quoi que ce soit soit défini – par exemple, tu ne t'attends pas à ce qu'il y ait un pgcd d'un triangle et d'un concombre, n'est-ce pas ?

C'est quoi le rapport entre la difficulté à définir le pgcd de 0 et 0 et son signe ?
La difficulté vient de ce quand on n'a pas le point de vue "anneau" ou "Bezout" de Chaurien, on a la définition "plus grand commun diviseur" pour seul appui. Et les diviseurs de 0 c'est...absolument tout le monde. D'où le fait que je puisse comprendre qu'on ait envie de mettre +infini pour cette valeur, mais 0 est plus pertinent grâce à la remarque faire par Chaurien.

Mais nous t'avons expliqué pourquoi ça n'a aucun sens ni aucun intérêt ton pgcd de l'infini.

Brian : à mon niveau personnel je comprends, niveau pédagogique pour un apprenant je conçois juste qu'on ait cette envie. Le réflexe d'oublier la relation d'ordre $\leq$ ne vient pas forcément de soi quand on attaque l'arithmétique, ou plutôt le réflexe de considérer la divisibilité comme une relation d'ordre, et même LA relation d'ordre sur les entiers.

A l'origine ''pgcd'' veut dire simplement ''plus grand commun diviseur''. Et on peut d'abord le comprendre comme tel d'abord dans $\mathbb{N}$ avant son étude dans tout autre ensemble. Et alors pgcd(chat, chat) = chat, mais pgcd(chat, chien) on ne peut pas le savoir si on arrive pas à décomposer chat et chien en produit de facteurs (pas forcément premiers).

Cordialement.

Mathi.10 a écrit:

Peut on définir le pgcd(infini;infini) comme pour pgcd(0;0)=0?

Voila une question.

Ha oui en effet, l’un des points de vue est de considérer $\infty \mathbb Z$.

D’ailleurs c’est intéressant de travailler dans $\mathbb Z / \infty \mathbb Z$, mais c’est un autre sujet.

Haaaaa !

Mais qu’est-ce que ce $\infty$ alors ?

Et c’est quoi « je pense que », une conjecture ?

Baun anivairsèr Chaurien. !

(c'est mon cadeau d'anniversaire: un bouquet de fautes d'orthographe à corriger X:-( )

Le produit de tous les entiers ?

$\displaystyle \prod_{k=0}^{\infty} k = ... $ ?

Le $\infty$ de la borne supérieure de ce produit est-il le même $\infty$ ?

Il faut donner le sens des choses avant de jouer.

Sinon ça ressemble à ce que tu appelles « tes preuves ».

Les maths, tu ne sembles pas aimer ça. Tu n’en fais jamais.

Quelle est ta définition ?
Tu n’en as pas donné une seule, le sais-tu ?

« le produit de tous les entiers » n’est pas une définition mathématique.

Soit ça n’existe pas, soit c’est un nombre, soit c’est ...

À toi de définir ton idée.
Là tu ne l’as pas fait.

C’est difficile les maths quand on ne les aime pas.

Je viens seulement de lire le fil : bon anniversaire, Chaurien !

Je viens également de lire ce fil, bonne anniversaire (avec du retard) Chaurien.

Le produit de tous les entiers tel qu'écrit, indexé sur $\N$, vaut a priori $0$ car les produits partiels son tous nuls et par défaut un produit sur $\N$ est la limite des produits partiels.

Ensuite, je ne vois pas l'intérêt de définir le PGCD entre l'infini et lui-même. En tout cas, le seul intérêt de poser une telle convention serait de prolonger des formules à $\N \cup \{+\infty\}$ qui sont valables déjà avec tous les entiers. Je ne parle même pas de l'argument de limite (auquel je suis sensible) et avec lequel on voit que cela n'a guère de sens si l'on souhaite un comportement raisonnable, en revanche une question pourrait-être de savoir si un prolongement ferait sens. Personnellement je ne vois pas l'intérêt d'une telle notion. On peut après évidemment décider de poser quelque chose pour le plaisir, mais à un moment ou à un autre il faut tout de même que la chose ait un intérêt (mathématique ou autre), et un minimum de cohérence avec ce qui existait auparavant.