Somme des entiers naturels

Oui, naïvement j'aurais aimé trouver la somme des puissances sans faire appel à Bernoulli, en vain.
Il y a autre chose qui me tracasse, c'est de ne pas avoir le contrôle de cette borne inférieur pour cette égalité.
$$\sum^{n^2}_{k=(n-1)^2+1}k=(n-1)^3+n^3.
$$ Une petite insomnie m'a donné un début de réponse. Un exemple simple :
$$\sum^{n}_{k=1}1=n,
$$ de manière plus générale
$$\sum^{n}_{k}1=n-(k-1)
$$ ça marche aussi pour :
$$\displaystyle\sum_{k=1}^mk=\frac{m(m+1)}2.
$$ Les histoires d'amour, en général :
$$\displaystyle\sum_{k}^mk=\frac{m(m+1)}2-\frac{(k-1)((k-1)+1)}2.
$$ Ça devrait donc fonctionner aussi pour :
$$\sum^{n^2}_{k=(n-1)^2+1}k=(n-1)^3+n^3.
$$ Mais là ça me pique les yeux, j'y reviendrai plus tard.
Comme d'habitude je ne comprends pas alors modestement on va utiliser la méthode tâtonnement.
$$\sum^{n^2}_{k=(n-1)^2+1}k=\frac{n^2(n^2+1)}2-\frac{(n-1)^2((n-1)^2+1)}2.
$$ Là je sens qu'il y a un truc, je ne suis pas loin. Que je suis bête.
$$\sum^{n^2}_{k=(n-1)^2+1}k=(n-1)^3+n^3,
$$ la simplification de la borne inférieur me donne tout simplement la dernière égalité.
Par contre, je n'ai pas expliqué comment passer de l'avant dernière égalité à la dernière.
On verra ça se soir.
$$\sum^{n^2}_{k=1}k=\frac{n^2(n^2+1)}2.
$$ Pourquoi la forme généralisée d'une somme arithmétique n'est pas présentée sur Wikipedia ?

De manière plus générale
$$\sum^{(n+m)^2}_{k=(n-1)^2+1}k=\sum^{m}_{l=0}(n+l-1)^3+(n+l)^3.
$$ Cas particulier où $n=1$
$$\sum^{(m+1)^2}_{k=1}k=\sum^{m}_{l=0}l^3+(l+1)^3.
$$ Liens déjà connu avec la somme de puissance $3$ mais vue autrement.
\begin{align*}
\sum^{t}_{k=1}k&=\sum^{\sqrt{t}-1}_{l=0}l^3+(l+1)^3 \\

\sum^{t}_{k=1}k&=\frac{t((\sqrt{t}-1)^2+(\sqrt{t}+1)^2)}{4}.
\end{align*} Tiens, je suis tombé sur ça https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Faulhaber
Je vais papoter pour passer le temps.
Oui c'est ça il est possible d'éviter les nombres de Bernoulli en passant par les polynômes de Faulhaber https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Faulhaber#Polynômes_de_Faulhaber

Bon je continue sur mes divagations.
Y a un truc que je viens de comprendre.
$$\sum^t_{l=s}(n+u-l)^p=\sum^{n-s+u}_{k=n-t}k^p.
$$ Évident et tellement simple.
Ça explique la récurrence.
Exemple simple ou $p=3$ , $t=1.$ , $u=0.$ et $s=0.$
$$(n-1)^3+n^3=\sum^n_{k=n-1}k^3=\sum^{n^2}_{k=(n-1)^2+1}k.
$$ Par contre je ne m'explique pas la dernière égalité.
Encore un peu d'efforts.
Oui peut être qu'avec ça.
$$\sum^{(n+m)^2}_{k=(n-1)^2+1}k=\sum^{m}_{l=0}(n+l-1)^3+(n+l)^3.
$$ On va avoir un début d'explication.
Faut faire un truc du genre double somme et quelques chapots mais là, je n'ai plus le temps.

Bon on oublie tout et on repart de zéro.
On commence par la base.
$$\sum^{n-s}_{k=u}k^p=\sum^{n-u}_{l=s}(n-l)^p$$
revenons a notre cas particulier ou u=n-t et s=0.
$$\sum^{n}_{k=n-t}k^p=\sum^{-t}_{l=0}(n-l)^p$$
bon du coups on somme avec t négatif, un peu bizard mais ça reviens au même entre 0 et -4 on compte 4 comme de 0 a 4.
l’apéro a été peut être trop fort se soir.
En fait il faudrait que je trouve comment écrire en latex un nombre relatif uniquement en positif.

puis on continue de rentrer dans un cas particulier ou t=1 et p=3
$$\sum^{n}_{k=n-1}k^3=(n-1)^3+n^3$$
Ensuite faudra surement fouiner avec cette identité qui doit surement être la raison du pourquoi.
$$\sum^{n}_{k=1}k^3=({\sum^{n}_{k=1}k})^2$$

Bon ça c'est la dernière définition que j'ai trouvé mais je pense qu'elle est fausse.
$$\sum^{\lvert{n-s}\rvert}_{k=0=u}(k+x)^p=\sum^{\lvert{n-u}\rvert}_{l=0=s}(n-l+x)^p$$
En fait c'est encore un cas particulier d'une égalité plus primitive.
$$0=\sum^{\lvert{n}\rvert}_{k=s}k^p-(n+s-k)^p$$
Peut être qu'il va falloir s'amuser avec l’identité différence des puissances.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Identité_remarquable#Différence_ou_somme_de_puissances
A force de tâtonner je vais biens finir par trouver.
J'ai même l'impression que ça pourrait expliquer les relations qu'il y a avec toutes les puissances.

Bon je suis une branque.
Je continue dans les banalitées.
n qui peu être relatif.
$$0=\sum^{n}_{k=0=s+n}k^p-(n+s-k)^p$$
Bon je suis trop débile en fait pour que n puisse être relatif il suffit que k=0.
Mais je ne vois pas l’intérêt d'avoir n en relatif.
$$\sum^{n}_{k=0}k^p$$
hmmmmm la somme des k sera toujours en absolut.
Bon je crois que je m'acharne sur un truc qu'on peu pas toucher.
Les sommes arithmétiques ne fonctionnent que pour les nombres entiers non relatif.

Tiens en trifouillant j'ai trouvé çà.
Surement connu.
$$n^p=S_{n}^p-S_{n-1}^p$$
comme
$${S_{n}^1}^2=S_{n}^3$$
$$n^3={S_{n}^1}^2-{S_{n-1}^1}^2$$

$$(n-1)^3+n^3={S_{n}^1}^2-{S_{n-2}^1}^2$$
Je ne désespère pas, je vais finir par comprendre.
Je pensse que grace a ca
$$\sum_{i \mathop =m}^n a_i =\sum_{i \mathop =k}^n a_i -\sum_{i \mathop =k}^{m-1} a_i$$
On va pouvoir continuer.
$${S_{n-2}^1}={S_{n}^1}-\sum^n_{k=n-1}k$$
Et la je me perd.
$$(n-1)^3+n^3=2{S_{n}^1}\sum^n_{k=n-1}k-{\sum^n_{k=n-1}k}^2$$
Le but est d'arrivé a la dernière égalité mais entre les deux il y a un désert cosmique pour moi.
$$(n-1)^3+n^3=\sum^{n^2}_{k=(n-1)^2+1}k$$
On reprend a zéro
$$n^p=S_{n}^p-S_{n-1}^p$$

$$n^3={S_{n}^3}-{S_{n-1}^3}$$

$$(n-1)^3+n^3={S_{n}^3}-{S_{n-2}^3}$$

$$\sum_{i \mathop =m}^n a_i =\sum_{i \mathop =k}^n a_i -\sum_{i \mathop =k}^{m-1} a_i$$

$${S_{n-2}^3}={S_{n}^3}-\sum^n_{k=n-1}k^3$$

$$(n-1)^3+n^3=\sum^n_{k=n-1}k^3$$

$$(n-1)^3+n^3={\sum^n_{k=n-1}k}^2$$

Encore un petit effort pour cerner le problème et je vais pouvoir faire joujou.

$$(n-1)^3+n^3=\sum^{n^2}_{k=(n-1)^2+1}k$$

Bon je viens de comprendre en fait c'est très simple.
1) On commence par la base.
$$\sum_{k \mathop =m}^n a_k =\sum_{k \mathop =r}^n a_k -\sum_{k \mathop =r}^{m-1} a_k.
$$ 2) que l'on retourne pour la lisibilité.
$$\sum_{k \mathop =r}^{m-1} a_k=\sum_{k \mathop =r}^n a_k-\sum_{k \mathop =m}^n a_k,
$$ 3) puis on remplace m par $(n'-1)^2+1$
$$\sum_{k \mathop =r}^{(n'-1)^2} a_k=\sum_{k \mathop =r}^n a_k-\sum_{k \mathop =(n'-1)^2+1}^n a_k $$
si $n=n'$ y a un truc qui cloche, la borne supérieur est inférieure à la borne inférieure :)o donc on remplace $n$ par $n'^2.$
$$\sum_{k \mathop =r}^{(n'-1)^2} a_k=\sum_{k \mathop =r}^{{n'}^2} a_k-\sum_{k \mathop =(n'-1)^2+1}^{{n'}^2} a_k,
$$ 4) puis on retourne pour la lisibilité. avec $r=1$ j'avais oublié et $a_k=k^p$ ou $p=1$.
$$\sum_{k \mathop =(n'-1)^2+1}^{{n'}^2} k=\sum_{k \mathop =1}^{{n'}^2} k-\sum_{k \mathop =1}^{(n'-1)^2} k .
$$ Ensuite il est tard et je suis fatigué donc je recollerai les morceaux un autre jour.
On a donc construit une autre récurrence qu'il va falloir bosser demain.

Bon, J' assemble les morceaux.
$$\sum_{k=n-1}^nk^3=n^3+(n-1)^3=\sum^{n^2}_{k=(n-1)^2+1}k.$$
$$S_{n}^3\pm x-S_{n-2}^3\pm x=n^3+z+(n-1)^3-z=S_{n^2}^1\pm y-S_{(n-1)^2}^1\pm y.$$
En fait x et y n'ont pas d’influence sur l’égalité mais ça nous permet de voir qu'il y a juste un décalage de $S_{n-1}^3$
On peu même faire plusieurs égalités qui vont nous en apprendre d’avantage.
Si je ne me trompe on peu en conclure que.
$$S_{n}^3+S_{n-1}^3=S_{n^2}^1$$ et $$S_{n-2}^3+S_{n-1}^3=S_{(n-1)^2}^1$$
Le mystère reste encore biens épais pour moi.
Je pense qu'une fois bien compris y'a moyens de s'amuser.
On peut même creuser avec z=x ou z=y

Voila en fin une relation simple. entre les cubes , les sommes de cube et les sommes d'entiers naturels.
En fait la somme de deux cubes n'est qu'une embrouille a la télescopique.
$$n^3+2S_{n-1}^3=S_{n^2}^1$$
Bon maintenant on va tenter de généraliser
Bon je bloque l'espoir que j'avais de trouver des variantes s’amoindrissent.