Relation sur les racines des nombres premiers

Soit deux nombres premiers consécutifs p_n et p_n+1 démontrons alors p_n+1^1/2 - p_n^1/2 < 1 pour tout n > 0

On sait que lorsque n >> 1 alors p_n vaut approximativement [size=medium]nln(n)[/size] on déduit alors :


P_n+1/(n+1) est très proche de p_n/n ainsi (p_n+1 - p_n) est de l'ordre de p_n/n or on sait que :

p_n/n < ln(pn)


Ainsi : (p_n+1 - p_n) < ln(pn)


Or on a : p_n+1^1/2 - p_n^1/2 = (p_n+1 - p_n)/(p_n+1^1/2 + p_n^1/2)


Soit ; p_n+1^1/2 - p_n^1/2 < ln(p_n)/(2p_n^1/2) puisque p_n+1 > p_n



Etudions la fonction f(x) = 0.5ln(x)/x^1/2 on remarque que très vite quand x > 1 alors f(x) <1 mais cette fonction passe par un maximum avant de tendre vers zéro quand x tend vers +l'infini.


Le calcul direct montre que les p_n+1^1/2 - p_n^1/2 semblent passer par un max pour les petites valeurs puis semblent décroître assez rapidement.



Le maximum semble obtenu pour 11^1/2 - 7^1/2 soit 0.67 < ln(2) < 1



Puisque la relation est vraie pour les grandes valeurs de n et via le calcul direct pour les valeurs relativement faibles de n alors la relation :



Ou bien encore :