Résolution du paradoxe de l’examen-surprise
Résumé. Résolution du paradoxe de l’interrogation surprise en utilisant une analyse chronologique des évènements. En effet, lorsqu’un problème fait intervenir le temps, il faut, nécessairement, que le temps intervienne dans la résolution du problème. C’est le cas pour « l’interrogation surprise » où l’on montrera que l’effet de surprise est par essence même lié au temps.
Introduction.
De nombreuses «solutions» au problème du paradoxe de l’examen surprise sont basées sur des raisonnements du type « la question posée est stupide - c’est l’œuvre d’un professeur fou - » .
Ayant assisté à un certain nombre de conférences dans ma vie, très souvent le conférencier, au moment réservé pour les questions, disait : « il n’y a pas de question stupide, seules les réponses peuvent l’être ». J’adhère totalement à cet adage. En lisant les articles, j’ai l’impression que l’auteur a cherché très longtemps une solution au paradoxe, et, n’en trouvant pas, il s’exclame : « la question posée est stupide » !
J’ai donc personnellement, abordé ce problème sous un angle assez différent : en me plaçant en physicien plutôt expérimentateur que théoricien. Ce qui n’enlève rien à la rigueur du raisonnement.
Je vous propose donc un article, sous une forme très vivante (un dialogue) qui je pense peut être accessible à un large public. Et qui est suivi par une réflexion méthodologique sur la façon de traiter le problème.
lire l'article dans le fichier joint.
Introduction.
De nombreuses «solutions» au problème du paradoxe de l’examen surprise sont basées sur des raisonnements du type « la question posée est stupide - c’est l’œuvre d’un professeur fou - » .
Ayant assisté à un certain nombre de conférences dans ma vie, très souvent le conférencier, au moment réservé pour les questions, disait : « il n’y a pas de question stupide, seules les réponses peuvent l’être ». J’adhère totalement à cet adage. En lisant les articles, j’ai l’impression que l’auteur a cherché très longtemps une solution au paradoxe, et, n’en trouvant pas, il s’exclame : « la question posée est stupide » !
J’ai donc personnellement, abordé ce problème sous un angle assez différent : en me plaçant en physicien plutôt expérimentateur que théoricien. Ce qui n’enlève rien à la rigueur du raisonnement.
Je vous propose donc un article, sous une forme très vivante (un dialogue) qui je pense peut être accessible à un large public. Et qui est suivi par une réflexion méthodologique sur la façon de traiter le problème.
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Réponses
C'est une comptine qui illustre le fait qu'on peut prouver quelque chose de faux avec des axiomes .. faux, ce qui n'est pas une .. surprise :-D
Si tu veux trouver tout seul, tu peux réduire la semaine à 2 jours, ça t'évitera des répétitions inutiles et là, tout est clair.
** j'ai un peu la flemme de chercher le fil.
Je soupçonne que la personne qui a inventé cet exercice était matheuse ou physicienne. La raison est que ça ressemble à un truc que je qualifierai de "thésard recalé" traumatisé par un revirement.
Je m'explique : X produit un thèse de 100-150 pages, tout va bien, X soutient et 6mois plus tard, le "main result" saute à cause de l'ingrédient contenu dans cet exercice. Ça me semble un scénario vraisemblable.
Ce "paradoxe" a une nature différente des autres puisqu'on y trouve une preuve CORRECTE d'un truc FAUX basée sur des axiomes CONCRETS et des ATTESTATIONS.
La plupart des paradoxes s'appuie sur de l'informel ou une entourloupe.
Or ici c'est le fait de pouvoir aller TOUS LES MATINS déposer l'attestation annulatrice du devoir qui permet de l'annuler, et ça ressemble à un protocole de laborantins.
Au dernier moment on remplace l'examen par un contrôle continu.
Une autre question ?
e.v.
Par contre vous n’avez probablement pas eu le temps de lire, jusqu’à la fin, le document que j’ai écrit. En effet lorsque j’aborde l’analyse du vendredi (l’interrogation n’ayant pas encore eu lieu) cela ressemble comme deux gouttes d’eau à une semaine de deux jours ! (le vendredi et le samedi)
Dans les lectures que j’ai faites, je n’ai jamais vu d’études précises (et encore moins de définitions) sur ce qu’est « l’effet de surprise » et ce n’est que très rarement que le paramètre « temps » apparaît, et si j’ai bonne mémoire c’est plutôt chez des philosophes.
Mon angle d’attaque du problème est tout d’abord la définition de « l’effet de surprise » qui conduit à démontrer qu’il s’agit d’un phénomène intimement lié à l’écoulement du temps. Et par conséquent, cela nécessite une analyse chronologique des évènements, qui débouche sur la démonstration de l’invalidation des raisonnements qui remontent le temps, et donc des raisonnements par récurrence qui remontent le temps.
De façon résumée, voire caricaturale, on peut dire que cette analyse démontre qu’« on ne réécrit pas l’histoire ».
Vous trouverez dans l’article joint des précisions et des exemples sur la résolution du problème.
Les hypothèses, contradictoires, paraissent "gentilles" parce que basées sur ce qu'on appelle en logique l'autoréférence.
Ce sont des "dilutions" de la phrase $A:=$ "j'implique tout". Je te le décris (même si tu le connais, pour les lecteurs ça peut être intéressant) :
La définition de $A$ est que $A=(A\to Tout)$.
En conséquence de quoi, tu as $A\to (A\to Tout)$, donc $A\to Tout$, donc $A$. Et donc... $Tout$ (du fait que tu as $A$ et $A\to Tout$.
La devinette "dilue" ça (elle n'est pas la seule devinette à le faire, mais celle-ci le fait bien car elle divise par 5 ça, nombre de jours de la semaine).
Si tu le fais sur deux jours, tu retrouves l'autoréférence "primordiale" ci-dessus. Sur 5 jours, c'est plus rigolo.
De plus, pour faire jolie, elle introduit la notion de preuve dans l'histoire, ce qui achève la dilution:
Tu as une preuve de B, donc non(B), de sorte que ça prouve A, ce qui entraine non(A). Finalement, avec deux jours, tu obtiens que l'interro n'a jamais lieu (ni le premier jour A, ni le deuxième jour .
A noter que j'aurais dû te répondre que ce serait encore mieux avec UN SEULE jour: la semaine commence le Lundi et termine.. Le lundi. Comme ça tu vois bien ce qu'il se passe.
Tu as une preuve immédiate de A, donc non(A). En français ça donne:
"vous ne pouvez que mettre l'interro cet après-midi, donc voilà, on vous le dit, donc ça l'annule".
Ce à quoi, le vilain tortionnaire répond "ah bin, je la mets quand-même cet après midi".
Dans ce cas, tu vois bien que le mec est méchant et trahit les étudiants.
Dans le cas où il y a 5 jours, pour chaque jour ils lui amènent la preuve (valable!!) qu'elle aura lieu ledit jour, donc annulent l'interro.
Mettons qu'il la mette Mercredi: ils peuvent lui dire "on vous a prouvé qu'elle serait cet après-midi". Et s'il répond "et bé, je vous la mets quand-même cet après midi", sa méchanceté ne se voit que si tu écris le présent dialogue. Mais si tu prends une assemblée d'étudiants extérieurs à qui tu racontes l'histoire, évidemment ils vont trouver que c'est bizarre, il ne vont pas voir sa méchanceté.
Maintenant tu te demandes peut-être à quel titre les preuves apportées sont valables.
Et bien comme toujours en maths, elles ne le sont que parce que "le sceptique" veut bien qu'elles le soient, c'est tout. Il y a un certain nombre d'hypothèses sur lesquelles leur preuve est basée, c'est tout.
A noter que si tu changes la règle du jeu et dit qu'ils ne peuvent venir qu'une seule fois (un seul jour de la semaine), tout tombe à l'eau. L'histoire prend aussi parce que ce point est n'est pas précisé: en effet, pour chaque jour $x$ il existe une preuve $p_x$ que l'interro aura lieu l'après-midi du jour $x$, sauf que les preuves dupliquent les hypothèses faites une seule fois (je me suis servi de ça dans l'autoréférence primordiale, le passage qui a l'air inoffensif de A=>(A=>B) à (A=>B))
Ca fait tomber tout à l'eau s'ils ne peuvent jouer le coup qu'un seul jour, car ils feront alors annuler le devoir par exemple le mardi et c'est tout.
En outre du fait du caractère contradictoire des hypothèses, évidemment que les preuves prouvent des trucs faux, il n'y a pas lieu de s'étonner qu'il y ait une preuve que l'interro ait lieu le jeudi par exemple. Note que les hypothèses entrainent qu'il y a une interro chaque jour
Le caractère "surprise" ne joue aucun rôle. Il invite à la philosophie si on veut, mais cette énigme est totalement formelle.
Imaginons une ville soudainement secouée par un tremblement de terre dévastateur. Les survivants sont totalement surpris, n'est-ce pas, et à coup sûr en état de choc !
Supposons maintenant qu'un sismologue, après avoir relevé les données des capteurs disséminés dans la région, en ait déduit qu'un tremblement de terre allait se produire dans la semaine et en ait averti la population. Du point de vue des dégâts occasionnés, ça ne fait aucune différence. Ce qui change est le fait qu'une certaine partie des habitants aura pu s'éloigner de la ville en prévision de la catastrophe, laquelle aura donc probablement fait moins de victimes. L'effet de surprise sera également réduit, voire annulé, puisque tout le monde s'y attendait. Le temps est-il intervenu dans ce cas précis ? Absolument pas.
Tu vois, ce n'est pas la peine de faire des études sur l'effet de surprise pour comprendre de quoi il s'agit.
Dans le cas de l'interro, il n'y a aucun effet de surprise puisque tous les élèves savent qu'elle va avoir lieu. Cet effet aurait existé si le prof n'en avait pas parlé.
on ne demande plus une preuve, mais une prévision.
Et bien si tu ne précises pas les règles du jeu, les étudiants iront chaque matin dire "on prévoit qu'elle est cet après-midi". Et il la feront annuler chaque jour (dont fait partie le supposé bon jour)
S'ils ne peuvent aller qu'un seul matin, c'est un jeu à pari.
L'aspect "vous devez venir me voir EN PROUVANT que vous avez raison, pas juste en L'AFFIRMANT" semble changer quelque chose car les gens sont habitués à ce qu'on ne puisse prouver que des choses qui sont vraies.
Mais il n'en est évidemment rien (en dehors bien entendu, a priori des preuves sans aucun axiome, mais bon, avec elles on raconte pas des histoires concrètes)
1. Relativité restreinte et relativité générale
2. Principe de causalité : « la cause précède l’effet (la conséquence) ». Le verbe « précède » signifie : est nécessairement antérieure.
Cet évènement postérieur peut être :
soit un acte qui n’était pas connu des élèves AVANT « l’effet de surprise » (pièce fausse par exemple)
soit un raisonnement logique qui ne pouvait pas être fait, ou avéré, AVANT « l’effet de surprise » (par exemple, le raisonnement du samedi qui débute par « si le samedi matin l’interrogation n’a pas encore eu lieu » qui peut ne pas être vrai le vendredi, donc il est indéterminé le vendredi).
Je conviens qu’il s’agit, bien sûr, d’un raisonnement de physicien, mais si l’on abandonne le Principe de causalité, je ne sais pas si la logique formelle (dans l’hypothèse où elle peut continuer à fonctionner, ce qui est hors de mes compétences) peut encore servir à quelque chose.
Et la non localité?
Dans l'énigme, il n'y a aucune affaire de surprise, mais de non connaissance (ou pas) de quelque chose. Et le seul endroit où ça joue c'est dans le droit ou pas de tenter plusieurs fois sa chance en allant le matin avec une prose.
Comme il existe pour chaque jour une prose acceptable, si tu as le droit d'y aller chaque matin, tu annules chaque après midi et l'interro n'existe pas.
Si tu ne peux te présenter qu'une fois, je le répète, avec une prose acceptable, ça ne change rien, tu l'as dans l'os. Non pas parce que ta prose est défaillante, mais parce que tu ne peux pas la présenter au prof.
J'insiste: si tu portes ta prose le vendredi matin (en ayant parié et gagné par chance que l'interro n'a pas été mise avant) tu la gaspilles à perte si le prof te répond "merci, oui vous êtes venu avec une preuve valable, mais pas de bol, l'interro est demain"
Comme les hypothèses autoréférentes de la devinette sont dynamiques, il n'existe d'ailleurs AUCUNE prose acceptable en dehors du samedi matin, si tu intègres la règle d'au plus une visite matinale dans les axiomes. Le seul jour gagnant est le samedi après midi et seulement pour lui, une prose gagnante existe.
(fichier corrigé, il y avait une faute de frappe)
"Nous avons cours avec Monsieur Martin le lundi, le mardi, le mercredi, le jeudi, le vendredi et le samedi. Puisqu’il nous dit que nous ne pourrons pas connaître le jour de l’interrogation, celle-ci ne se déroulera pas le samedi, car samedi matin, sachant que l’interrogation se fera dans la semaine (affirmation a), elle ne pourrait avoir lieu que le samedi et donc nous saurions de manière certaine qu’elle va avoir lieu. Il est donc acquis que l’interrogation n’aura pas lieu le samedi. Mais alors, le vendredi, elle ne peut pas avoir lieu non plus, car sachant qu’elle ne peut pas avoir lieu le samedi, quand nous arriverons dans la classe le vendredi, nous saurons qu’elle va avoir lieu. Il est donc acquis aussi que l’interrogation n’aura pas lieu le vendredi."
C'est si mal exprimé qu'on rate l'essentiel. Une version plus explicite serait :
"L’interro ne peut pas avoir lieu le samedi, car si elle n'a pas eu lieu les jours précédents (du lundi au vendredi) nous saurons dès vendredi soir qu'elle aura lieu le lendemain, ce qui annulera l'effet de surprise". Tout est dans le "si elle n'a pas eu lieu les jours précédents" : lorsque les élèves arrivent en cours du lundi au vendredi ils n'ont aucun moyen de savoir si l'interro aura lieu ou non ce jour-là. Si ce n'est pas le cas, lorsque le samedi arrive ils savent avec certitude qu'elle va avoir lieu.
C'est le terme "effet de surprise" qui pose problème. Si on le remplace par "incertitude" (du lundi au vendredi) ou par "certitude" (le samedi), la situation est parfaitement claire et il faut vraiment se faire des nœuds au cerveau pour y voir un paradoxe.
En fait c'est l'énoncé lui-même qui permet ce tour de passe-passe. Soit $n$, le nombre de jours consécutifs, à partir du lundi, durant lesquels les élèves ont cours avec M. Martin. Les $n-1$ premiers jours les voient dans l'incertitude quant à l'éventualité d'une interro ce jour-là ; si elle n'a toujours pas eu lieu lorsque arrive le jour $n$, alors ils sont certains d'y avoir droit avant la fin de la journée.
Dans la première partie de son énoncé, @Desi14 déclare que $n$ est une constante égale à 6. Il introduit l'idée d'un paradoxe dans la seconde partie en transformant cette constante en variable égale successivement à 6, 5, 4, 3 et 2, ce qu'il traduit par l'assertion : "en poursuivant de la même manière, Mathilde en déduit que l’interrogation ne peut avoir lieu ni le jeudi, ni le mercredi, ni le mardi, ni le lundi, et donc qu’elle n’aura pas lieu". Il n'était pas nécessaire de parler du lundi : si $n=1$ il n'y aura de toute façon aucune surprise.
L'édifice repose entièrement sur l'idée que l'interro doit surprendre, c'est-à-dire être imprévisible. Comme seule une interro le jour $n$ peut être prévisible, l'astuce consiste à décrémenter $n$ jusqu'à montrer qu'aucun jour de la semaine ne pouvant être qualifié d'imprévisible, l'interro n'aura jamais lieu. Mais puisque par définition $n$ ne peut pas être décrémenté, ce raisonnement est faux.