Bonjour, je joins un PDF avec les formules que j'ai trouvées ces jours-ci. Je ne les ai jamais vues mais elles sont certainement connues .. Que pensez-vous ?
Salutations cordiales.
Fibonacci
P.S. Je devrais ajouter les conditions de résolvabilité, je le ferai plus tard.
Réponses
Tout est faux puisque tu ne précises pas les variables.
Et toutes ces formules (bien écrites et définies) sont connues.
Qu'est-ce que tu peux être méchant YvesM parfois. Ses formules peuvent être vraies sur les bons domaines, même s'il a oublié de quantifier les variables. Est-ce que tu as vérifié les formules avant de dire "tout est faux" ? Toi aussi tu commets ce genre d'imprécision parfois et personne ne vient te dire que ce que tu écris est archi faux (exemples : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2187272,2187274#msg-2187274, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2197126,2197128#msg-2197128).
Comme tu le dis, ces formules sont vraies quand elles ne sont pas fausses.
Au bout d’un moment, il faut savoir quantifier ou passer son chemin.
Le moment est venu pour @Fibonacci.
Dans presque toutes les formules, il n'y a rien à préciser. Vous dites qu'elles sont connues : je n'y crois pas du tout, il est vraiment improbable qu'elles soient toutes connues et je doute fort que vous puissiez citer des sources.
J'ajoute une formule que j'ai trouvée il y a quelques minutes.
$\arctan a+\arctan\frac{1-a}{a}+\arctan\frac{a^2}{a^2-a+1}=\frac{\pi}{2}$
a+
Fibonacci
Par exemple, arctan(ab) et arctan(na), ça fait complètement double emploi.
arctan(a+b) et arctan(a-b), pareil, ça fait double emploi.
Pareil arctan(ab) et arctan(a/b) ... c'est la même formule que tu écris 2 fois.
Quand j'étais au lycée, on nous apprenait que : pour tout x,y, arctan(x)+arctan(y)= arctan((x+y)/(1-xy)).
Recherche des bouquins des années 80, tu trouveras ça.
Tout ce que tu écris là, c'est cette même égalité, avec des petits changements de variables.
YvesM a raison de dire que s'il n'y a pas de quantificateurs, alors on sous-entend qu'elles sont vraies partout.
Or, pour montrer qu'une proposition écrite avec un quantificateur universel est fausse, il suffit de trouver au moins une valeur de la variable sur laquelle porte la quantification pour montrer que cette proposition est fausse.
@Fibonacci: Ta dernière égalité est manifestement fausse pour tout $a<0$.
Et c'est la même chose pour toutes les autres égalités que tu as trouvées.
Si tu te bases sur l'égalité $\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\dfrac{x+y}{1-xy}\right)$ pour tout $x$ et $y$ tels que $xy\neq 1$ qui est fausse, ou $\arctan(x)+\arctan\left(\dfrac 1x\right)=\dfrac{\pi}2$ pour tout $x\neq 0$ qui est également fausse, alors tes formules ont toutes les chances d'être fausses.
À moins que tu ne précises le domaine de validité de tes formules, elles ne risquent pas d'être acceptées. Tu ferais bien de suivre le conseil d'YvesM.
J'étais bien conscient de cette lacune, mais je voulais 'recentrer' le débat sur une autre direction : Les formules en question sont des répétitions de résultats très classiques.
Je m'adapte au public, je deviens laxiste.
En effet je l’ai trouvé agressif en première lecture et presque gratuitement.
Je suis le premier à demander qu’on déclare toutes les lettres qu’on utilise.
Là, dès qu’on parle de formulaire, j’en comprends un usage « bête et méchant » (c’est non péjoratif !) et surtout personnel donc ça ne me gênait pas.
Mais comme le souligne Philippe, la simple « formule » faisant intervenir $x$ et $1/x$ dans le $Arctan$ est dangereuse car fausse pour les $x$ négatifs.
C’est dans ce sens que le message de Yves a un fond davantage mathématique que maladroit pédagogiquement.
Salutations cordiales.
P.S: J'ai calculé ces formules ces derniers jours, dans le passé j'en ai trouvé beaucoup d'autres. Les mathématiques sont pour moi un excellent compagnon qui me donne une grande satisfaction.
il ne suffit pas de prendre le pseudo d'un mathématicien pour devenir bon en maths. Philippe Malot te dit avec raison que tes formules sont fausses, parce que sans précision sur a, b et c. Un étudiant en mathématiques de première année d'université sait ça !
"Je les ai conçus avec l'arc tangente des nombres positifs à l'esprit." Alors il fallait le dire. Tu ne peux reprocher à ceux qui ne savent pas ce qu'il y a dans ta tête de penser autrement.
Cordialement.
@Fibonacci : Il te suffit alors de rajouter au début de ton document : $a$, $b$ et $c$ désignent des nombres réels strictement positifs.
Ton document sera alors peut-être valable : libre à toi de donner des démonstrations de chacune de tes formules.
Tu peux aussi tenter de généraliser tes formules dans le cas où les nombres qui y figurent sont négatifs.
edit: la formule pour $\arctan(4a)$ est trivialement fausse.