Foncteur représentable amusant

Voici un autre truc amusant,
$ \mathbb{N} $ en tant que $ 2 $ - catégorie est Morita-equivalent à la $ 2 $ - catégorie $ \mathrm{Sym} = \{ \mathrm{Sym}_A \}_A $ des catégories des - $ A $ - groupes symétriques, par l'équivalence de Morita suivante,
Pour tout $ A, B \subset \mathbb{N} $, $$ A \sim B \ \ \Longleftrightarrow \ \ |A| = |B| \ \ \Longleftrightarrow \ \ \mathrm{Sym}_A \sim \mathrm{Sym}_B $$
D'où, $ \mathbb{N} = \mathrm{Sym} $ à équivalence de Morita près.

Edit,

$$ \mathbb{N} = \mathrm{Sym} = \{ \mathrm{Sym}_A \}_A = \{ \ \{ \mathfrak{S}_1 \} , \dots , \{ \mathfrak{S}_n \} , \dots \ \} = \{ \ \mathfrak{S}_1 , \dots , \mathfrak{S}_n , \dots \ \} $$
D'où, $ \mathbb{N} $ s'identifie en tant que $ 1 $ - catégorie, à la catégorie, des groupes symétriques $ \{ \ \mathfrak{S}_1 , \dots , \mathfrak{S}_n , \dots \ \} $ à équivalence de Morita près.

Edit,

$ \{ \ \mathfrak{S}_1 , \dots , \mathfrak{S}_n , \dots \ \} $ a une structure d'opérade, et non de catégorie si je ne m'abuse.

Edit,

Donc, dans ce fil, j'ai montré que, $ \mathbb{N} $ a à la fois, une structure de,
- $ 2 $ - catégorie.
- $ 1 $ - catégorie.
- opérade.

Merci Lupulus. :-)