Obstruction d'une applic. à devenir morphisme
dans Shtam
Bonjour
Soient $ G_1 $ et $ G_2 $ deux groupes distincts. Soient $ a,b \in G_1 $.
Soit $ f \ : \ G_1 \to G_2 $ une application qui n'est pas nécessairement un morphisme de groupes (par exemple, pour tout $ g \in G_1 $, $ f(g) = agb^{-1} $).
Par quel moyen peut-on calculer l'obstruction de $ f $ à devenir un morphisme de groupes ?
Par exemple, en théorie des probabilités.
Soient $ X_1 , X_2 \ : \ ( E , \mathcal{A} , \mathbb{P}_E ) \to ( \mathbb{R} , \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) , \mathbb{P} ) $ deux variables aléatoires réelles.
Alors, $ \mathbb{P} \ : \ ( \mathcal{A} , \ { \displaystyle , } \ ) \to ( [ 0 , 1 ] , \times ) $ qui est une mesure de probabilité, est une application qui n'est pas nécessairement un morphisme entre les deux structures $ ( \mathcal{A} , \ { \displaystyle , } \ ) $ et $ ( [ 0 , 1 ] , \times ) $ que si $ X_1 $ et $ X_2 $ sont deux variables aléatoires indépendantes, dans le sens où si $ \{ X_1 = a_1 \} $ et $ \{ X_2 = a_2 \} $ sont deux événements de la tribu $ \mathcal{A} $, alors, $ \mathbb{P} $ devient un morphisme entre deux structures, dans le sens où, $$ \mathbb{P} ( X_1 = a_1 , X_2 = a_2 ) = \mathbb{P} ( X_1 = a_1 ) \times \mathbb{P} (X_2 = a_2 ) .
$$ Par conséquent, le moyen par lequel on calcule le degré d'obstruction que l'application $ \mathbb{P} $ à devenir un morphisme est la probabilité conditionnelle vérifiant, $$ \mathbb{P} ( X_1 = a_1 , X_2 = a_2 ) = \mathbb{P} ( X_1 = a_1 \ | X_2 = a_2 ) \times \mathbb{P} ( X_2 = a_2 ) .
$$ J'espère que j'étais clair.
Merci d'avance.
Soient $ G_1 $ et $ G_2 $ deux groupes distincts. Soient $ a,b \in G_1 $.
Soit $ f \ : \ G_1 \to G_2 $ une application qui n'est pas nécessairement un morphisme de groupes (par exemple, pour tout $ g \in G_1 $, $ f(g) = agb^{-1} $).
Par quel moyen peut-on calculer l'obstruction de $ f $ à devenir un morphisme de groupes ?
Par exemple, en théorie des probabilités.
Soient $ X_1 , X_2 \ : \ ( E , \mathcal{A} , \mathbb{P}_E ) \to ( \mathbb{R} , \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) , \mathbb{P} ) $ deux variables aléatoires réelles.
Alors, $ \mathbb{P} \ : \ ( \mathcal{A} , \ { \displaystyle , } \ ) \to ( [ 0 , 1 ] , \times ) $ qui est une mesure de probabilité, est une application qui n'est pas nécessairement un morphisme entre les deux structures $ ( \mathcal{A} , \ { \displaystyle , } \ ) $ et $ ( [ 0 , 1 ] , \times ) $ que si $ X_1 $ et $ X_2 $ sont deux variables aléatoires indépendantes, dans le sens où si $ \{ X_1 = a_1 \} $ et $ \{ X_2 = a_2 \} $ sont deux événements de la tribu $ \mathcal{A} $, alors, $ \mathbb{P} $ devient un morphisme entre deux structures, dans le sens où, $$ \mathbb{P} ( X_1 = a_1 , X_2 = a_2 ) = \mathbb{P} ( X_1 = a_1 ) \times \mathbb{P} (X_2 = a_2 ) .
$$ Par conséquent, le moyen par lequel on calcule le degré d'obstruction que l'application $ \mathbb{P} $ à devenir un morphisme est la probabilité conditionnelle vérifiant, $$ \mathbb{P} ( X_1 = a_1 , X_2 = a_2 ) = \mathbb{P} ( X_1 = a_1 \ | X_2 = a_2 ) \times \mathbb{P} ( X_2 = a_2 ) .
$$ J'espère que j'étais clair.
Merci d'avance.
Réponses
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Par exemple, pour le morphisme $ f $ défini plus haut, par, $ f(g) = agb^{-1} $, pour tout $ g \in G_1 $. On n'a pas, $ f(gg' ) = f(g)f(g') $ pour tout $ g \in G_1 $, mais, on a, $ f(gg') = agg' b^{-1} =(aga^{-1})(ag'b^{-1}) = f_{g|g' } (g) f(g') $, avec, $ f_{g|g' } (g) = aga^{-1} $ pour tout $ g \in G_1 $, qui est le morphisme d'obstruction qui calcule à mon avis l'obstruction que $ f $ devient un morphisme de groupes. C'est un morphisme de groupes.
Qu'est ce que vous en pensez ?
Merci d'avance.
Edit,
D'où, $ f_{g|g'} (g) = f(gg')( f(g') )^{-1} $, pour tout $ g , g' \in G_1 $.
Donc, de manière générale, le morphisme qui calcule le degré d'obstruction qu'une application $ f \ : \ G_1 \to G_2 $ entre deux groupes soit un morphisme de groupes est donnée par la formule suivante, $$ f_{g|g'} (g) = f(gg')( f(g') )^{-1} $$ pour tous $ g,g' \in G_1 $
Qu'est ce que vous en pensez ?
Edit,
C'est le début de naissance d'une nouvelle théorie portant sur la création d'un nouveau invariant, $ T $ défini par, $ (G_1 , G_2 ) \to T(G_1 , G_2) $, où $ T $ mesure le degré d'obstruction qu'une application $ f \in \mathrm{Hom}_{ \mathrm{Ens} } (G_1 , G_2 ) $ entre deux objets $ G_1 $ et $ G_2 $ devient un morphisme de groupes.
On a donc, étudié l'obstruction qu'une application entre deux objets $ G_1 $ et $ G_2 $ devient un morphisme de groupes, on étudie maintenant dualement, l'obstruction qu'un objet $ G $ devient un groupe, il me semble que c'est par une opération plus faible que l'opération de groupe de Grothendieck $ G \to T (G) $ qui rend un monoïde un groupe abélien. Est ce que c'est ça ? -
Puisque tu inventes une nouvelle théorie profonde et fondamentale, pourquoi est-ce que tu poses tes questions sur ce forum ?
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Poirot a écrit:Puisque tu inventes une nouvelle théorie profonde et fondamentale, pourquoi est-ce que tu poses tes questions sur ce forum ?
Pour recevoir de l'aide et du soutien, et pour compléter ensemble la théorie jusqu’au bout. :-)
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