$ \mathbb{Z} $-compacité

Bonjour

Soit $ (X , \mathrm{Ouv} (X) ) $ un espace topologique muni de son treillis des ouverts $ \mathrm{Ouv} (X) $.

$ X $ est compact si, pour tout recouvrement $ X = \displaystyle \bigcup_{ i \in I } U_i $, où, $ (U_i)_{ i \in I } \subset \mathrm{Ouv} (X) $, il existe un sous recouvrement fini $ X = \displaystyle \bigcup_{ i = 1 , \dots , n } U_i $, où, $ (U_i)_{ i = 1 , \dots , n } \subset \mathrm{Ouv} (X) $.

En notation additive, $ X $ est compact si, pour tout recouvrement $ X = \displaystyle \sum_{ i \in I } U_i $, où, $ (U_i)_{ i \in I } \subset \mathrm{Ouv} (X) $, il existe un sous recouvrement fini $ X = \displaystyle \sum_{ i = 1 , \dots , n } U_i $, où, $ (U_i)_{ i = 1 , \dots , n } \subset \mathrm{Ouv} (X) $

Autrement dit,
Si on note par $ \mathbb{Z}^{ ( \mathrm{Ouv} (X) ) } $ le groupe abélien libre engendré par les ouverts de $ X $, alors, $ X $ est compact, si $ X $ est dans l'image de l'injection canonique suivante, $ i \ : \ \mathbb{Z}^{ ( \mathrm{Ouv} (X) ) } \hookrightarrow \mathbb{Z}^{ \mathrm{Ouv} (X) } $ défini par, $ i (U ) = U $

Donc, la compacité, est un cas très très particulier d'une notion de compacité plus générale qu'on a pas encore utilisé ou exploité en mathématiques, que j’appellerai $ \mathbb{Z} $ - compacité pour désigner le fait suivant,

Soit $ X \in \mathbb{Z}^{ \mathrm{Ouv} (X) } $.
Pour tout $ (n_i)_{ i \in I } \in \mathbb{Z}^{I} $, pour tout $ (U_i)_{ i \in I } \subset \mathrm{Ouv} (X) $, tel que, $ X = \displaystyle \sum_{ i \in I } n_i U_i $, $ X $ est $ \mathbb{Z} $ - compact, si il vérifie la condition suivante,
Il existe $ (n_{j} ' ) \in \mathbb{Z}^{(I)} $ il existe $ (U_{j_{i}} )_{ j_{i} = 1 , \dots , n } \subset \mathrm{Ouv} (X) $, tel que, $ X = i ( \displaystyle \sum_{ j_{i} = 1 }^{n} n_{j} ' U_{j_{i}} ) $.

Bref, ce qui est différent dans cette notion nouvelle est que la compacité de $ X $ est caractérisée par la donnée des images $ i(U_i) $ vérifiant tout simplement, $ i(U_i ) = U_i $ ( Injection triviale ). Pa contre, pour la $ \mathbb{Z} $ - compacité, elle est caractérisé par la donnée des images $ i(U_i ) $ sous leur forme générale suivante, $ i(U_i ) = \displaystyle \sum_{ i \in I } n_i U_i $. Ce qui est différent.

Quelle est d'après vous, l'utilité de cette nouvelle notion ?

Merci d'avance.