Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?

Ah oui, tu as raison @FdP,
- $ 2 $ a pour polynôme minimale dans $ \mathbb{Q} $ le polynôme, $ P(X) = X - 2 $.
- $ i $ a pour polynôme minimale dans $ \mathbb{Q} $, le polynôme, $ P(X) = X^2 + 1 $.
Est ce que, alors, $ \pi \in \overline{ \mathbb{Q} } $ ?
Merci d'avance.

Héhéhé a écrit:

Ca dépend si tu acceptes l'axiome du choix ou pas.

Tu voulais dire qu'il fallait que j'ajoute l'expression : ''à isomorphisme près'', c'est ça ? Mais, c'est juste une étourderie. ;-)

Merci Poirot. (tu)

Non. Pas forcément.
$ \mathbb{Q} $ est un corps indépendant de son plongement dans un sur-corps.

Il n y a qu'un.

Soit $ P_1 $ et $ P_2 $ deux sous corps premiers de $ \mathbb{C} $,
Alors; $ P_1 \subset P_2 \subset \mathbb{C} $ et $ P_2 \subset P_1 \subset \mathbb{C} $,
D'où, $ P_1 = P_2 $.

Afin de soulager vos douleurs, voici ce qu'il faut retenir, :-D
Une propriété $ P $ est valide s'il est génériquement valide.
Une propriété $ P $ est génériquement valide, si $ P(x) $ est valide pour presque tous les $ x $.
Ceci dit, Si $ P(x) $ est non valide pour tout $ x $ appartenant à un négligeable $ N $, alors, $ P $ est valide.
Donc, si vous trouvez qu'une propriété ( Ici, la propriété de transcendance ) n'est pas valide dans certains cas négligeables, il ne faut pas se dire que la propriété de transcendance n'est pas valide.
Il faut toujours travailler dans le cas générique, et négliger ce qui est négligeable ( Ce genre de trucs pathétiques foisonnent en géométrie algébrique ). Donc, surtout, oubliez ce que vous a fait remarquer Héhéhé , les cas négligeables qui font invalider la notion de transcendance. Ce sont juste des cas pathétiques.

Donc, oui, $ P \ : \ \text{ transcendant } \times \text{ pas transcendant } = \text{ transcendant } $ est une propriété valide., parce qu'elle est génériquement valide.
@Quentino37 a tout à fait raison.

$ N $ dépend de $ P $. C'est à dire, $ N $ varie lorsque $ P $ varie.

Lorsque $ P $ est la propriété définie par, $$ P \ : \ \text{ transcendant } \times \text{ pas transcendant } = \text{ transcendant } $$ Alors, $ N = \{ \ x \ | \ \neg ( P ) \ \} $.

raoul.S a écrit:

Moi ce que je retiens c'est que tu t'es fait dégager du sous-forum Algèbre B-)-

Les modérateurs ont besoin de se sentir flattés de temps en temps. (:D