Est-ce que, $ 2 \pi i \in \overline{\Q} $ ?
Réponses
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merci Pablo_de_retour!Je suis donc je pense
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Il y a une erreur dans la page wikipedia que j'ai inséré dans mon message précédent.
L'auteur, au lieu d'affirmer, ''A genric matrix is not invertible'', affime, ''A . genric matrix is invertible''. Ce qui est faux. A corriger. -
Une matrice carrée générique est inversible.
La matrice carrée générique est inversible.
Pour les matrices carrées, la propriété d'inversibilité est générique -
Pablo: Pourquoi y-aurait-il une erreur?
Pour qu'une matrice carrée à coefficients réels ne soit pas inversible il faut que son déterminant prenne l'unique valeur $0$.
Toutes les autres valeurs qui ne sont pas $0$, qui sont en nombre indénombrable, pour le déterminant d'une matrice font que cette matrice est inversible. -
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Ah oui, c'est vrai. C'est l'ensemble $ N = \{ \ A \in \mathcal{M}_n ( \mathbb{C} ) \ | \ \mathrm{det} \ A = 0 \ \} $ qui est négligeable dans $ \mathcal{M}_n ( \mathbb{C} ) $. :-D
Pardon. :-) -
J'ai confondu non nulle et non inversible. :-)
C'est normal que $ \mathrm{GL}_n ( \mathbb{C} ) $ soit générique dans $ \mathcal{M}_n ( \mathbb{C} ) $, puisque, $ \mathcal{M}_n ( \mathbb{C} ) = \overline{ \mathrm{GL}_{n} ( \mathbb{C} ) } $. -
Bonjour,
Est ce que $ \overline{\mathbb{Q}} $ est dénombrable ?
Je rappelle que, $ \ \overline{\mathbb{Q}} $ est la cloture algébrique de $ \mathbb{Q} $ dans $ \mathbb{C} $.
Merci d'avance. -
1. Montrer que $\mathbb Z_n[X]$ (l'ensemble des polynômes à coefficients entier de degré $\leq n$) est dénombrable.
2. En déduire que $\mathbb Z[X]$ est dénombrable.
3. Conclure. -
Merci Héhéhé.
- $ \mathbb{Z}_n [X] = \mathbb{Z}^n $ est dénombrable.
- $ \mathbb{Z} [X] = \mathbb{Z}^{( \mathbb{N} ) } $ est dénombrable.
- $ \overline{\mathbb{Q}} $ est l'ensemble des entiers algébriques de $ \mathbb{C} $. Donc, $ \mathbb{Z} [X] \to \overline{\mathbb{Q}} $ qui associe à tout $ \alpha \in \overline{\mathbb{Q}} $, un annulateur $ P \in \mathbb{Z} [X] $ est surjective. D'où $ | \overline{ \mathbb{Q} } | \leq | \mathbb{Z} [X] | $. D'où, $ \overline{ \mathbb{Q} } $ est au plus dénombrable, et donc dénombrable.
:-) -
Pablo:
Combien de coefficients possède un polynôme de degré $n$? -
Marrant de définir une application par l'image d'un élément de l'ensemble d'arrivée.
-
@FdP,
Oui, $ \mathbb{Z}_n [X] \simeq \mathbb{Z}^{n+1} $.
Une autre question que j'adresse à @tout le monde,
Pourquoi affirme-t-on qu'il n'est pas accessible mathématiquement de définir un élément du groupe de Galois absolu $ \mathrm{Gal} ( \overline{ \mathbb{Q} } / \mathbb{Q} ) $, hormis la conjugaison, alors que $ \overline{\mathbb{Q}} $ est au plus dénombrable ? Pourquoi ne peut-on pas construire à la main un automorphisme de $ \overline{ \mathbb{Q} } $, alors que, $ \overline{ \mathbb{Q} } $ est dénombrable au plus ? Si c'était le cas, on aurait pas aussi pu construire un automorphisme entre deux espaces de Hilbert par exemple. Ce qui est faux. Quel est votre avis sur ce point précisément ?
Merci d'avance. -
$\overline{\mathbb{Q}}$ désigne sauf erreur une clôture algébrique de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{C}$.
Ce n'est pas l'ensemble des entiers algébriques sur $\mathbb{Q}$. -
FdP a écrit:Ce n'est pas l'ensemble des entiers algébriques sur $\mathbb{Q}$.
C’est l'ensemble des nombres algébriques sur $\mathbb{Q}$. -
Pablo a écrit:
Ne peut-on pas exhiber une base du $ \mathbb{Q} $ - espace vectoriel $ \overline{ \mathbb{Q} } $ ?
Merci d'avance.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD] -
Pablo: Peux-tu m'exhiber une base du $\mathbb{R}$-espace vectoriel des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ à valeurs réelles?
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FdP,
Il me semble que $ ( p_t )_{ t \in \mathbb{R} } $ avec, $ p_t ( (m_{ \displaystyle s } )_{ \displaystyle s \in \mathbb{R} } ) = m_{ \displaystyle t } $ est un élément de l'espace vectoriel réel des fonctions réelles $ \mathcal{F} ( \mathbb{R} , \mathbb{R} ) $, pour tout $ t \in \mathbb{R} $, est une base de $ \mathcal{F} ( \mathbb{R} , \mathbb{R} ) $. Tout élément $ f \in \mathcal{F} ( \mathbb{R} , \mathbb{R} ) $ s'exprime par, $ f = ( p_t \circ f )_{ t \in \mathbb{R} } = \displaystyle \sum_{ t \in \mathbb{R} } ( p_t \circ f ) \ p_t $. Est ce que c'est faux ? -
Complètement faux oui.
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Pourquoi c'est complètement faux Poirot ?
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Ça veut dire quoi une somme indexée par $\mathbb R$ ?
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Toujours les mêmes problème de non apprentissage des cours de L1 : définition d'une base, définition de combinaison linéaire.
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Pablo:
Je n'ai rien compris à ce que tu as écrit.
Quand on parle d'espace vectoriel, on parle de sommes finies. La seule définition d'un espace vectoriel ne permet pas de définir ce que pourrait être une somme infinie d'éléments de cet espace vectoriel.
Je pense que personne ne sait donner explicitement une base au $\mathbb{R}$-espace vectoriel des fonctions définies sur l'ensemble des réels et à valeurs réelles.
Fait qui m'a toujours émerveillé, cet $\mathbb{R}$-espace vectoriel est somme directe de deux $\mathbb{R}$-espaces vectoriels $I$ et $P$. $I$: le SEV des fonctions impaires, $P$:le SEV des fonctions paires.
En effet, soit $f$ une fonction fonctions définies sur l'ensemble des réels et à valeurs réelles.
On a pour tout $x$ réel, $\displaystyle f(x)=\underbrace{\frac{1}{2}\Big(f(x)+f(-x)\Big)}_{\text{définit un élément de P}}+\underbrace{\frac{1}{2}\Big(f(x)-f(-x)\Big)}_{\text{définit un élément de I}}$ -
@FdP,
Ne peut-on pas exhiber une base du $ \mathbb{Q} $ - espace vectoriel $ \overline{ \mathbb{Q} } $ ?
$ \overline{\mathbb{Q}} $ est une cloture algébrique de $ \mathbb{Q} $ dans $ \mathbb{C} $.
$ \overline{ \mathbb{Q} } $ est dénombrable, comme on l'a vu plus haut.
Merci d'avance. -
On sait que cela existe si on travaille dans certaines axiomatiques et on est content de le savoir mais autrement on ne connaît pas de base explicitement* à ma connaissance. D'ailleurs, quelle en serait l'utilité ?
On doit pouvoir montrer que le $\mathbb{Q}$ espace vectoriel $\overline{\mathbb Q}$ n'est pas de dimension finie (par exemple en montrant que les nombres $\sqrt{p_n}$, avec $p_n$ le $n$ème nombre premier, sont rationnellement indépendants**)
*: je serais bien incapable de définir précisément cet adverbe dans le contexte.
** Plus précisément, pour tout $N\geq 2$ entier naturel, les nombres $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\ldots,\sqrt{p_N}$ sont rationnellement indépendants. -
FdP a écrit:D'ailleurs, quelle en serait l'utilité?
Pour préparer le terrain à la résolution du problème suivant, que j'avais posé au début :Pablo a écrit:Pourquoi affirme-t-on qu'il n'est pas accessible mathématiquement de définir un élément du groupe de Galois absolu $ \mathrm{Gal} ( \overline{ \mathbb{Q} } / \mathbb{Q} ) $, hormis la conjugaison, alors que $ \overline{\mathbb{Q}} $ est au plus dénombrable ? Pourquoi ne peut-on pas construire à la main un automorphisme de $ \overline{ \mathbb{Q} } $, alors que, $ \overline{ \mathbb{Q} } $ est dénombrable au plus ? Si c'était le cas, on aurait pas aussi pu construire un automorphisme entre deux espaces de Hilbert par exemple. Ce qui est faux. Quel est votre avis sur ce point précisément ? -
Tout ce dont tu parles (base de $\overline{\mathbb Q}$ sur $\mathbb Q$, application entre Hilbert) relève de l'axiome du choix. J'ai fait l'effort de te donner des arguments dans l'autre fil, mais pour les comprendre il faudrait que tu travailles certaines choses, ce que tu refuses de faire depuis une quinzaine d'années sur ce forum.
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Pablo: Il faudra faire sans. Et on fait sans.
Je te conseille la lecture du livre Fearless symmetry, de Avner Ash et Robert Gross aux éditions de l'université de Princeton.
C'est un livre de vulgarisation mathématique mais pas destiné au tout venant.
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Bonjour!
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