Un et les nombres premiers impairs
dans Shtam
Saluts à toutes et tous
Soit 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... la suite des nombres premiers impairs P(i)
Soit P(i)#/2 le produit 3*5*7*11*...*P(i) soit la suite 3, 15, 105, 1155, 15015, 255255, ...
Soit Q(1)=1 puis Q(i)=Q(i-1)*(P(i)-1); on trouve la suite 1, 2, 8, 48, 480, 5760 ....
Démontrer que la somme 1/3 + 2/15 + 8/105 + 48/1155 + 480/15015 + 5760/255255 + .... + Q(i)/P(i)# /2 tends vers 1 si i tends vers l'infini
Modifié pour tenir compte d'une remarque pertinente de Dreamer
Soit 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... la suite des nombres premiers impairs P(i)
Soit P(i)#/2 le produit 3*5*7*11*...*P(i) soit la suite 3, 15, 105, 1155, 15015, 255255, ...
Soit Q(1)=1 puis Q(i)=Q(i-1)*(P(i)-1); on trouve la suite 1, 2, 8, 48, 480, 5760 ....
Démontrer que la somme 1/3 + 2/15 + 8/105 + 48/1155 + 480/15015 + 5760/255255 + .... + Q(i)/P(i)# /2 tends vers 1 si i tends vers l'infini
Modifié pour tenir compte d'une remarque pertinente de Dreamer
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Réponses
Ceci est connu depuis bien longtemps et vient en particulier du fait que la série $\sum_{k\geq 1} \frac{1}{p_k}$ diverge, ce qui peut se démontrer élémentairement ou bien à l'aide du théorème des nombres premiers.
Juste une petite précision, le P(i)# du message de départ est la moitié de la primorielle de i.
Le lien me fait penser que la combinaison des notations [P(i) et #] à été mal comprise, une notation en excluant une autre.
À bientôt.
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\begin{align*}
Q_i&=\prod_{k=1}^i(p_k-1)=\phi(p_i\#) \\
P_i\sharp&=\prod_{k=2}^{i+1}p_k=\frac{p_{i+1}\#}{2} \\
\frac{Q_i}{P_i\sharp}&=\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right) \\
\sum_{i=1}^n\frac{Q_i}{P_i\sharp}&=1-\prod_{k=2}^{n+1} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)
\end{align*} et la remarque de bisam, la limite tend bien vers $1$ (Note: $p_2=3$)
Pour montrer que
$$
\prod_{k=2}^{n+1} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\sum_{i=1}^n\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right)=1,
$$ il suffit de voir que les termes s'annulent de proche en proche :
\begin{align*}
\Big(1-\frac{1}{p_{n+1}}\Big)\prod_{k=2}^{n} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\frac{1}{p_{n+1}}\prod_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right)&=1 \\
\prod_{k=2}^{n} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right)&=1 \\
\left(1-\frac{1}{p_{n}}\right)\prod_{k=2}^{n-1} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\frac{1}{p_{n}}\prod_{k=2}^{n-1}\left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\sum_{i=1}^{n-2}\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right)&=1 \\[2mm]
\cdots \\
\prod_{k=2}^{2} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\sum_{i=1}^{1}\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right)&=1 \\
\left(1-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}&=1
\end{align*}
J'ai retrouvé cet exercice dans un écrit de 1956 sur un cahier ainsi que la démonstration par compréhension donnée par notre Professeur de Mathématiques ( en classe préparatoire aux grandes écoles):
1/3 représente la fraction des nombres impairs divisibles par 3
1/5 représente la fraction des nombres impairs divisibles par 5 et 1/3 sont multiple de trois donc 2/15 = 3/15-(3/3)/15 = 2/15 représente la fraction des nombres impairs divisibles par 5 et non divisible par 3.
1/7 représente la fraction des nombres impairs divisibles par 7, 1/3 sont multiples de trois et 1/5 sont multiples de 5 donc 15/105-5/105 = 10/105 et 10/105-(10-10/5)/105 = 8/105 et 8/105 représente la fraction des nombres impairs divisibles par 7 et non divisible par 3 ou par 5.
Par récurrence on démontre que Q(i)/(P(i)#)/2) représente la fraction des nombres impairs divisibles par P(i) et non divisible par les nombre premiers impairs inférieur à P(i).
Par définition la somme 1/3 + 2/15 + 8/105 + ... + Q(i)/(P(i)#/2) est égale à 1 si elle contient tous les nombres premiers, donc elle tends bien vers UN quand i tends vers l'infini, CQFD
C'est plus simple en comphéension qu'avec des symboles, oui ou non?
$\phi(p_i\#)$ (Indicatrice d'Euler) est le nombre de nombres copremiers à tous les premiers inférieurs ou égaux à $p_i$ dans $p_i\#$, et si on le divise par $p_i\#$, ça nous donne leur proportion.
Si on le divise par $p_{i+1}\#$ au lieu de $p_i\#$, ça nous donne alors la proportion des multiples de $p_{i+1}$ dans $p_{i+1}\#$ qui ne sont pas multiples de premiers inférieurs.
On peut aussi voir que multiplier par $\big(1-\frac{1}{p_k}\big)$ c'est simplement une façon de retirer la proportion des multiples de $p_k$ (et donc le produit sur tous les $p_k$ revient à retirer tous les multiples de $p_k$ ce qui nous mène à pas "grand chose" vu que tout nombre (supérieur à 1) est multiple d'un $p_k$)
Note qu'en ignorant $p_1=2$ tu oublies les puissances de $2$ (même si leur densité est égale à 0)
Edit: Ok, je vois que dans ton dernier post tu te limites aux nombres impairs, mais ce n'est absolument pas nécessaire. Enlève chaque occurrence de "impairs" et cela reste aussi valable (lié à ma remarque sur les puissances de 2 et au principe de coprimalité).
Tu pourrais même commencer par les multiples de 5, de 7 .... que ça donnerait le même résultat:
1/5 + 4/35 + 24/385 + 240/5005 + 2880/85085 + ... tend aussi vers 1.
Dans ce cas tu pourrais même remplacer "impairs" par "multiple de 2", de 3, de 6 que ça ne changerait rien au résultat.
Je ne comprends pas ce que tu dis , quelle est la définition de la densité des puissances de 2? Si elle est égale à 0 OK mais ça ne donne aucune indication sur la définition de " la densité" dans le contexte!
Deux types différents de nombres pairs
1- Les nombres doubles des nombres impairs qui sont : 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, ...
2- Les nombres doubles des nombres impairs + 2 soit : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ... ces derniers sont des puissances de deux multipliées par un nombre impair
On a bien deux nombres pairs différents pour chaque nombre impair et on trouve alors que 2/3 + 1/9 + 2/45 + 8/135 + ... tends vers 1.