Un et les nombres premiers impairs

On peut imaginer qu'il veut dire que $\displaystyle P_n=\prod_{k=2}^n p_k$ où $p_k$ est le $k$-ème nombre premier et $n \geq 2$.

Avec
\begin{align*}
Q_i&=\prod_{k=1}^i(p_k-1)=\phi(p_i\#) \\
P_i\sharp&=\prod_{k=2}^{i+1}p_k=\frac{p_{i+1}\#}{2} \\

\frac{Q_i}{P_i\sharp}&=\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right) \\
\sum_{i=1}^n\frac{Q_i}{P_i\sharp}&=1-\prod_{k=2}^{n+1} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)

\end{align*} et la remarque de bisam, la limite tend bien vers $1$ (Note: $p_2=3$)
Pour montrer que
$$
\prod_{k=2}^{n+1} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\sum_{i=1}^n\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right)=1,

$$ il suffit de voir que les termes s'annulent de proche en proche :
\begin{align*}
\Big(1-\frac{1}{p_{n+1}}\Big)\prod_{k=2}^{n} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\frac{1}{p_{n+1}}\prod_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right)&=1 \\
\prod_{k=2}^{n} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right)&=1 \\
\left(1-\frac{1}{p_{n}}\right)\prod_{k=2}^{n-1} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\frac{1}{p_{n}}\prod_{k=2}^{n-1}\left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\sum_{i=1}^{n-2}\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right)&=1 \\[2mm]
\cdots \\
\prod_{k=2}^{2} \left(1-\frac{1}{p_k}\right)+\sum_{i=1}^{1}\frac{1}{p_{i+1}}\prod_{k=2}^i\left(1-\frac{1}{p_k}\right)&=1 \\
\left(1-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}&=1
\end{align*}

Pas si on a une idée de ce que repésentent les symboles.
$\phi(p_i\#)$ (Indicatrice d'Euler) est le nombre de nombres copremiers à tous les premiers inférieurs ou égaux à $p_i$ dans $p_i\#$, et si on le divise par $p_i\#$, ça nous donne leur proportion.
Si on le divise par $p_{i+1}\#$ au lieu de $p_i\#$, ça nous donne alors la proportion des multiples de $p_{i+1}$ dans $p_{i+1}\#$ qui ne sont pas multiples de premiers inférieurs.

On peut aussi voir que multiplier par $\big(1-\frac{1}{p_k}\big)$ c'est simplement une façon de retirer la proportion des multiples de $p_k$ (et donc le produit sur tous les $p_k$ revient à retirer tous les multiples de $p_k$ ce qui nous mène à pas "grand chose" vu que tout nombre (supérieur à 1) est multiple d'un $p_k$)

Note qu'en ignorant $p_1=2$ tu oublies les puissances de $2$ (même si leur densité est égale à 0)

Edit: Ok, je vois que dans ton dernier post tu te limites aux nombres impairs, mais ce n'est absolument pas nécessaire. Enlève chaque occurrence de "impairs" et cela reste aussi valable (lié à ma remarque sur les puissances de 2 et au principe de coprimalité).

Tu pourrais même commencer par les multiples de 5, de 7 .... que ça donnerait le même résultat:
1/5 + 4/35 + 24/385 + 240/5005 + 2880/85085 + ... tend aussi vers 1.

Dans ce cas tu pourrais même remplacer "impairs" par "multiple de 2", de 3, de 6 que ça ne changerait rien au résultat.