Sur les nombres premiers

babsgueye
babsgueye
dans Shtam
Salut.
J'affirme que $2k + 1$ est premier, si et seulement si $k^k\equiv \pm 1 \bmod {2k + 1}$.
Je voudrais savoir si cette conjecture est connue, et si possible recevoir des idées, des pistes pour une éventuelle démonstration.

Merci.

Réponses

  • Fin de partie
    Fin de partie
    Mais c'est une conjecture fausse.

    Prends $k=170$. Donc, $2k+1=341$ et on vérifie que $170^{170}\equiv 1\mod{341}$ mais hélas: $341=11\times 31$.

    (cela ne marche pas non plus pour $2k+1=561$ et d'autres nombres)

    PS:
    Il faudra vraiment que tu te mettes à utiliser un programme comme GP PARI (ou Python si tu préfères) pour vérifier tes "conjectures".

    PS2:
    Cela m'a pris moins de dix minutes pour trouver un contre-exemple.
  • babsgueye
    babsgueye
    Tu as raison @Fdp. Je suis désolé
    Merci.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Par contre, les $10000$ premiers nombres premiers semblent vérifier ta congruence.
  • babsgueye
    babsgueye
    Est-ce que parmi les contre-exemples il y en a a qui vérifient $k^k\equiv -1\bmod{2k+1}$ ?
  • noobey
    noobey
    Hello !
    Oui y a des -1 dedans.
    Cependant jusqu'à 150000 ta conjecture semble marcher (l'implication 2k+1 premier => k^k = +/-1 [2k+1] )

    A toi de jouer !


    Indice : k et 2k+1 sont premiers entre eux, et (Z/pZ)* est ...
  • babsgueye
    babsgueye
    On peut dire que $(\Z/p\Z)$ est d'ordre $\varphi(p) = p - 1$ si $p$ est premier. Donc $k^{2k} = (k^k)^2\equiv 1\bmod{2k + 1}$ et conclure.
    Mais ça équivaut à utiliser le petit théorème de Fermat non.
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