Multiplication des nombres réels (original ?)

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]lourrran
Il est facile de surinterpréter mes idées, donc le format vidéo est peut être recommandable. Mais globalement, ma suggestion est que les “longueurs” dont la droite est constituée reflèteraient implicitement l’opération additive. L’opération multiplicative latente se trouverait dans le choix arbitraire de l’unité. Le gros potentiel pour la représentation de la multiplication viendrait dans le fait de se donner possibilité de “tisser” les changements d’unités sans sortir de la représentation des nombres (comme pour les axiomes qui définissent les nombres dans un corps dans lequel le nombre est implicitement multipliable).

En horizontal, le “tissu représentatif” est additif (la dimension spatiale usuelle de la droite des nombres réels), en “diagonal descendant”, le tissu est multiplicatif. Un nombre dispose à la fois d’une interprétation additive et d’une interprétation multiplicative. (2 + 2 = 4, en ajoutant côte à côte des longueurs dans l’espace ; 2 x 2 = 4, en descendant le tissu multiplicatif a partir de l’unité au sommet jusqu’à 2 (“1er espace” atteint par multiplication par 2); puis jusqu’à 4 ( “2ème espace” atteint par multiplication par 2) ). Le nombre 4 a une flèche multiplicative venant de l’unité comme tout autre nombre et donc n’est pas vraiment dans le “2ème espace”, mais dans le tissu général sous l’unité au sommet.

Pour interpréter la dimension multiplicative, il s’agit de parler de sa definition (existence de l’inverse, distributivité sur l’addition, …), et la notion de temps convient (“temps réversible sauf après passage par 0”, “le temps (multiplicatif) coule uniformément dans l’espace”, …).

Le tissu représentatif s’interprète donc comme de l’espace-temps particulier. Le côté absorbant de 0 lui donne cocassement une interpretation de “trou noir” particulier. Ajoutons à ça les signes, et on se retrouve avec de l’espace-temps portant “l’équipe +” ou “l’équipe –“ – avec l’unité au sommet, ou au moins son image, dans l’équipe +. Et à ce moment, j’ai une interprétation à l’américaine, avec la “graine de l’espace-temps” en haut réflexivement interprétée comme le “Dieu de Christopher Langan” (G.O.D.) (transfert des références de notre espace-temps à l’Eespace-temps). L’algèbre des signes est obtenue en stratifiant + en “bien/conservation”, - en “mal/inhibition-changement d’équipe” ( “+ x + = +” ; “ - x + = - “ ; etc…). Ce qui fait qu’on a un modèle des nombres comme des points dans un tissu espace-temps et téléologie.

Avec mes réflexions personnelles que les nombres complexes en tournant pourraient très bien refléter un demi-plan haut positif téléologiquement, et un demi-plan bas négatif téléologiquement, avec l’image de “G.O.D.” 1, qui reste sans rotation dans le “Paradis”. J’ai un potentiel assez large de mysticisme qui s’accroche à tout ça. Mais globalement, j’ai un modèle des nombres qui correspond à leur définition – qui représente concrètement les nombres dans un “tissu” qui permet de parler des propriétés de l’addition ou de la multiplication (interprétation géométrique directe hautement compatible avec les axiomes). Quand à savoir la valeur pédagogique exacte, à voir.

Depuis ma lecture de Kant, qui m’a fait imaginer que l’espace (plus précisément son étendue dans notre représentation de l’extérieur) est contingent, je trouve incroyable que l’espace représente les nombres, et j’essaie de parler sérieusement d’espace (en ne le laissant pas n’être que la droite des nombres réels). On me dit que mes propos ne sont pas des maths, mais je compare mes modèles à des objets mathématiques répandus donc suis en un certain désaccord.

En ce qui concerne les considérations expérimentales sur la perception des nombres, dont les travaux de Stanislas Dahaene qui constituent ma principale source à ce sujet, je les ai progressivement évacuées dans ma réflexion.

La position philosophique platonicienne associée est de considérer que le monde sensible n'est que l'ombre (projetée sur les murs de la caverne) du monde des Idées, et donc que la perception empirique de la droite ou des nombres n'est que l'ombre de l'espace euclidien décrit par Thales, Pythagore, Euclide ou plus récemment Kant et Schopenhauer. Pour savoir si la droite réflète l'information additive ou multiplicative, je procède par expérience sur le concept idéalisé de longueur (qui différencierait les différents points les uns des autres). Peut-elle être ajoutée ? Oui (à elle-même par exemple). Savons-nous quel nombre elle représente ? Pas sans savoir ce qu'est l'unité. Donc la longueur emporte des régles additives sans ne réfleter par elle même aucune information multiplicative. L'information multiplicative est obtenue quand une longueur est définie comme l'unité d'une autre. Et pour se donner la multiplication le plus généralement possible, il s'agit de pouvoir ré-itérer des multiplications, et donc d'avoir la dimension de "temps" que je viens de décrire, avec l'unité seule en haut pour ne pas garder d'ambiguité sur ce qu'est l'unité. D'ailleurs, même si le "sens inné des nombres" est multiplicatif, cela caractériserait-il la droite ?

Avec la position moderne considérant que le monde est "notre représentation" (séparé éventuellement d'un monde plus parfait des Idées), alors la perception visuelle des nombres est considérée comme une brique essentielle à ce qu'ils seraient spatialement (puisque le cerveau construirait ce qu'ils sont spatialement à partir de ça), mais il est toujours possible de comprendre notre représentation dans un univers qui se génére et se sélectionne (non seulement physiquement, mais aussi intellectuellement, cf. CTMU de Christopher Langan, ou même dans ces syntaxes perceptives (d'un espace euclidien parfait) ), et donc, pour ce qui nous concerne; de se replonger dans l'espace des grecs avec une forme d'enthousiasme générateur. Je trouve très intéressante l'idée de comprendre comment l'espace dont je parle est généré par le cerveau (qui est une image de notre représentation), mais j'ai plus de mal à modifier mes concepts à partir d'observations empiriques sur la perception de l'espace et des nombres.

La question mathématique est : à quoi ressemble quelque chose qui satisfait les axiomes des nombres réels ? (i.e. à quoi ressemble un nombre réel). La réponse est : pas un point sur une droite mais ce que je décris (un point dans un "tissu-compositionnel" additif(espace)/multiplicatif(temps)). Après, on peut toujours être satisfait d'être à l'aise avec quelque chose qui ne marche pas :-D

Théorème :  La droite des réels ne représente pas les nombres réels.

Proposition 1 : La droite des réels est un "groupe additif".
Proposition 2 : La droite des réels n'est qu'un "groupe additif".  
Proposition 3 :  Les nombres réels sont définis axiomatiquement comme un corps archimédien totalement ordonné.     
Proposition 4 : Un corps archimédien totalement ordonné ne peut pas être représenté par un objet qui est (seulement) un groupe additif.
Conclusion : La droite des réels ne représente pas les nombres réels.

Preuve de Proposition 1 :
1) La droite est un objet rectiligne infini constituée de points. 
2) Tous les points appartiennent à la droite, donc la droite ne différencie pas les points. 
3 ) Un point est différent d'un autre point parce qu'il est différent d'un autre point. 
4 ) Prenons deux points P1, P2 sur la droite. Passer de P1 à P2 est une opération équivalente à ajouter la différence P2 - P1 à P1.
5 ) Dès lors, les points sont définis et identifiés par différence (additive).

Preuve de Proposition 2 :
1 ) Supposons que la droite emporte une information multiplicative sur les points. Prenons deux points P1 et P2.
2 ) P1 ne peut pas être multiplié à P2.

Note : 
3 ) Donnons nous une origine 0. Il existe un chemin multiplicatif entre P2 - 0 et P1 - 0. Mais la droite est constituée de points et non de différences entre points, donc la droite n'emporte pas cette information multiplicative sur les points.
4 ) Même raisonnement pour autres relations entre les nombres.

Preuve de Proposition 3 :  
1 ) Définition axiomatique des nombres réels.

Preuve de Proposition 4 :  
1 ) Définition axiomatique des nombres réels. 

CQFD.

Pourquoi la droite représenterait-elle malgré tout des nombres réels ?

• La définition de l'unité (sous la forme usuelle de la définition de deux points 0, 1)  initialise l'environnement de la droite. La différence P1 - 0 devient un ratio à l'unité x identifiant P1 au nombre x.

Critique du principe du choix de l'unité.

• Arbitraire/Impossible (donc "fictif".  les nombres multiplient une unité en général, non pas "cette unité avec cette différence de longueur avec l'origine")
• Impropre (L'unité multiplicative est définie sans chemin multiplicatif qui la connecte aux points, dès lors la multiplication sensée être apportée aux points devient une transformation de différence en différences réalisée non pas sur la droite mais avec une heuristique par l'observateur de la droite (représentation dans le cerveau du mathématicien ?) )
  

Conséquence sur la multiplication :

• Tissu multiplicatif restreint :  seul le rapport multiplicatif à l'unité est "bidouillé" sur la droite, mais pas la nature multiplicative générale, pouvant être réitérée et décrite quant à ses propriétés. Par exemple, on multiplie avec un rectangle ou des triangles similaires, mais pas avec le nombre sur la droite (pourtant un nombre, ça multiplie... et ça le fait par définition).

Correction de la situation  : 

• Représentation directe de la nature multiplicative du nombre avec un chemin qui passe de l'unité au nombre x (avec une "dimension compositionnelle" appelée temps, qui représente le nombre multiplicativement par rapport à l'unité dans un temps antérieur).

Note : Correction analogue au principe que la droite représente additivement le nombre x par sa différence additive au nombre 0 (avec un chemin directe sur la droite appelé longueur). Les dimensions compositionnelles communiquent (temps (multiplicatif) "coulant uniformément" dans la longueur, i.e. distributivité de x par rapport à +)

Problème conceptuel de fond associé :

•  Théorie des ensembles "hors sol" : les éléments sont conçus définis par appartenance - gardant par eux-mêmes leur identité. Les opérations sur les éléments s'utiliseraient pour manipuler les éléments ou pour confirmer l'appartenance d'un élément à l'ensemble. Les points "porteraient par eux même leur identité". Critique : les opérations soutiennent les différences entre les éléments et donc "leur nature et identité". Il en irait de même pour la droite.

Conclusion : La droite serait un "groupe additif" sur lequel sont déposés des objets d'un "corps" (archimédien etc...). Cela viendrait du fait que le corps est "bidouillé" sur la droite. En tout cas, il me semble que ça ne marche pas fort.  Placer des nombres dans un tissu-compositionnel d'espace/temps, permet de représenter un corps dans un corps et il me semble que ça marche mieux.

Je m'explique la magie de la droite des réels par le fait qu'il n'y aurait pas de redondance de l'information. Le nombre serait identifié par une information unique (son aspect additif). Ca paraît "lourd et facultatif" de rajouter une information multiplicative à ça (comme je le suggère), mais l'intégrer fait en fait respirer les nombres une fois qu'on décrit la multiplication généralement.

Ce qui est difficile de voir est que l'information multiplicatrice est vraiment génératice et pas cosmétique. Pour ça, il faut se rendre compte que la droite toute seule ne représente aucun nombre sans unité, et que l'unité n'a aucun moyen d'être choisie. Dès lors, le temps qui amène l'unité aux points de la droite est réellement générateur des nombres - plus que les longueurs.

@Dreamer, quelles sont les références de "Neper, Briggs et consort " que tu avais en tête ?

A ce moment de la discussion, je crois que je vais récapituler ce que j'entends par espace, temps, etc... dans un pdf car les discussions tournent en boucle. Je peux jeter un oeil sur tes références en effet avant de repartir. Je réfléchis à des choses élémentaires donc ça ne m'étonnerait pas que ça a été pensé d'une manière ou d'une autre - après je peux toujours réactualiser des idées. Par exemple, puisque je comprends les choses axiomatiquement, mon retard pourrait n'être que d'1 siècle ?

En effet, je n'ai pas prêté trop attention à mes cours de latins, et il me sera difficile de parcourir ce document. Je ne suis pas sûr que le logarithme correspond réellement à ce que je décris. En tout cas, merci Dreamer, car le sujet est très pertinent.

En particulier, pour la compréhension axiomatique des nombres, l'existence du logarithme transporte l'associativité/commutativité de l'addition vers la multiplication.

En outre, le logarithme transforme les nombres > 1 vers les positifs, les nombres < 1 vers les négatifs. Dès lors, l'interprétation de la multiplication comme une temperature (chaude > 1, neutre 1, froide < 1, 0 absolu) prend plus de sens lorsqu'elle est "regardée à travers le logarithme"

J'ai résumé ma thèse sur la représentation des nombres réels en 9 pages, j'espère que vous la trouverez intelligible, exigeante et intéressante !

Représentation axiomatique des nombres réels.

Cordialement,

Les analogies psychologiques des signes (amour (+), haine (-), indifférence (+-)) (un peu en mode ancien testament) conforment à leur algèbre, qui se traduisent en posture de choix (acceptance + /refus -) du bien et du mal (plus neutre), forment un langage qu'il revient à vous de considérer aléatoire et exotique. Croyant personnellement que les états/syntaxes du monde dérivent de la télesis (et donc d'une dimension psychologique), conformément aux thèse de Christopher Langan, ça ne me paraît pas aléatoire. Ce sont des langages qui me paraissent aussi descriptifs et référencables que des symboles dans des ensembles avec des lois de composition décrites sur des bouts de papier