Démonstration d'une conjecture

PierrelePetit a écrit:

A un nombre impair $(2^{2k-1}\,(3\,n-1)-1)/3\,$, quel que soit $k$ entier positif non nul succédera $3\,n-1$ impair TOUJOURS différent de $(2^{2k}\,(3\,n-1)-1)/3$

Évidemment !

Pour simplifier je poserai $A=(2^{2k-1}\,(3\,n-1)-1)/3\,$, et $B=(2^{2k}\,(3\,n-1)-1)/3$. Il se trouve que $B$ ne peut pas être entier, donc si $A$ l'est on aura par définition $A \ne B$. Tu ne sais même plus ce que tu as écrit plus haut ! Je te cite, en substance : $(2^{2k-1}\,(3\,n-1)-1)/3$ et $(2^{2k}\,(3\,n-2)-1)/3$ sont tous deux entiers à condition que $n$ soit respectivement pair et impair (encore qu'il ait fallu que quelqu'un te le fasse remarquer). Et maintenant tu viens dire que $(2^{2k-1}\,(3\,n-1)-1)/3$ est TOUJOURS différent de $(2^{2k}\,(3\,n-1)-1)/3$ !!!

J'ai bien compris que tu ne me demandais pas mon avis, mais je te le donne quand même : quand tu pondras ton prochain message, relis-le attentivement avant de cliquer sur Envoyer.

Intéressant ce qui est dit au bas de la page 17, chapitre "Longueur des cycles" du document proposé par gerard0. Il est question d'un résultat obtenu par un certain Eliahou, qui imagine un cycle dans lequel il nomme $p$ le nombre de termes pairs, et $q$ le nombre de termes impairs, puis il arrive à la conclusion que $3^q < 2^p < (3+1/m)^q$, où $m$ est la valeur minimale atteinte par le cycle, ce qui je suppose signifie que le successeur impair de $m$ sera égal au premier terme du cycle.

Comme je l'expliquais dans ce message au début de l'année (je vais le résumer ici), pour obtenir $3^q<2^p$ il faut que la valeur minimale de $p$ soit

$p_{min}=\left \lceil q\,\dfrac{\log 3}{\log 2} \right \rceil=\left \lceil 1.585\,q \right \rceil$

Les valeurs successives de $q$ correspondant au rang de chaque terme impair dans le cycle (ou plutôt dans la suite de Collatz) – le premier terme $n_0$ possède le rang 0 – la suite des valeurs de $p_{min}$ est invariable. En partant du second terme impair de la suite ($q=1$) ce sera : $\left \lceil 1.585 \times 1 \right \rceil, \left \lceil 1.585 \times 2 \right \rceil, \left \lceil 1.585 \times 3 \right \rceil, ...= 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, ...$

A chaque étape de la construction d'une suite de Collatz on calcule $(3\,n+1)/2^u$, où $n$ est un terme impair. A une étape donnée, le nombre $p$ de termes pairs obtenus jusque là est la somme cumulée des valeurs successives de $u$.

A l'étape $q$ on compare $p$ à $p_{min}$. Si $p \ge p_{min}$ alors $3^q < 2^p$, et le terme impair de rang $q$ est plus petit que $n_0$. Mais si $p < p_{min}\,$ il est plus grand. Or,

• La suite des valeurs de $p_{min}$ croît lentement puisque l'incrément ne dépasse pas 2.
• $p$, la somme cumulée des valeurs de $u$, croît plus rapidement puisque $u$ peut prendre n'importe quelle valeur.

En conséquence, à une étape quelconque on aura nécessairement $p \ge p_{min}\,$, et la suite commencera à décroître (elle passera en-dessous de $n_0$). Elle pourra bien sûr remonter temporairement, mais $p$ finira toujours par l'emporter sur $p_{min}\,$ et la suite continuera de décroître (ou au moins, chacun de ses termes sera plus petit que $n_0$).

Exemple avec la suite 39, 118, 59, 178, 89, 268, 134, 67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 :



Les 4 premiers $p < p_{min}\,$ montrent que les termes impairs correspondants (59, 89, 67 et 101) sont plus grands que le 1er terme de la suite.

Maintenant, je laisse à ceux qui voudront bien se pencher sur la question le soin de déterminer comment il pourrait se faire que le terme impair $n$ correspondant à l'étape $q$ devienne égal à $n_0$ pour former un cycle non-trivial. Merci de réfléchir au problème et d'apporter une éventuelle réponse.