Quelques questions basiques sur la logique
[Il n'est pas correct d'effacer le message initial de la discussion dès lors que quelqu'un s'est donné la peine d'y répondre. Je le rétablis. AD]Chers amis logiciens,
en plongeant un peu dans l'étude de la logique par mes propres moyens, j'ai remarqué qu'en déduction on a le principe suivant : "faux" => P
Auriez un exemple simple où l'on utilise ce principe dans une démonstration qui ait du sens
?
Merci.
(PS : j'aurai sûrement d'autres questions au fil de mon apprentissage d'où le pluriel dans le titre)
en plongeant un peu dans l'étude de la logique par mes propres moyens, j'ai remarqué qu'en déduction on a le principe suivant : "faux" => P
Auriez un exemple simple où l'on utilise ce principe dans une démonstration qui ait du sens
?Merci.
(PS : j'aurai sûrement d'autres questions au fil de mon apprentissage d'où le pluriel dans le titre)
Réponses
-
Bonjour.
En attendant des remarques plus pertinentes, je te ferai remarquer que tu l'as déjà utilisé très souvent, quand tu partais du principe "si l'hypothèse est vraie ...". Tu ne traitais pas le cas où elle est fausse.
Par exemple, pour prouver, dans les réels : $x>1\Rightarrow x^2>x$, tu partais de $x>1$; donc tu admettais implicitement que cette implication est vraie quand $x\le 1$.
Cordialement. -
...
-
Bonjour,
Gérard à raison. Je donne un autre exemple : "$\forall x \in\{0,1\}, \,x>0 \Rightarrow x\geqslant 1$". Par définition du $\forall$, c'est équivalent à "$(0>0\Rightarrow 0\geqslant 1) \wedge (1>0\Rightarrow 1\geqslant 1)$" (le symbole $\wedge$ veut dire "et"). Donc pour prouver cet énoncé, il faut prouver deux choses :- "$0>0\Rightarrow 0\geqslant 1$"
- "$1>0\Rightarrow 1\geqslant 1$"
-
C'est amusant, JP2021,
tu es tellement habitué à ta pratique que tu n'arrives pas à la regarder vraiment, alors que tu redis exactement ce que je t'expliquais. Puis un doute surgit (ta parenthèse).
Je donnais toujours à mes élèves la preuve suivante :
2=3 ==> 5=5.
Dès la fin du collège, on pouvait la rédiger ainsi :
2 = 3, donc
3 = 2
(addition membre à membre)
5 = 5
Cordialement. -
...
-
"Pour tout $x\in\mathbb R$, $(x>1) \implies (x^2 > x)$".
Cet énoncé est vrai, non ?
Si oui, il doit être vrai en prenant $x=0$. En $x=0$, cet énoncé dit $(0>1) \implies (0>0)$, autrement dit faux $\implies P$.
L'énoncé $A \implies B$ est vrai précisément si on n'est pas dans la situation où $A$ est vrai et $B$ faux.
Il est important de ne pas le confondre avec une implication "intuitive" où on voit une corrélation entre $A$ et $B$ ("$B$ est vrai """"parce que""""" $A$ est vrai"), qui n'est pas vraiment formalisable à ce niveau là.
Donc oui, $2>2$ implique $2=1$, mais aussi $2>2$ implique $0=0$, même si la validité de ce dernier ne "dépend pas" de ce que le premier le soit. -
Il y a une définition de $ \forall$, et dans le cas proposé par Calli elle se spécialise à ce qu'il a proposé.
-
...
-
...
-
J’ai tout de suite pensé à la remarque de Gérard.
Mais maintenant je comprends la demande.
Comment prouver que 2>2 => 3=$\pi$ ?
Est-ce un axiome, finalement ?
On tombe sur quelque chose de faux « point barre », existe-t-il un raisonnement qui mène à « donc la suite est vraie ».
Si l’on définit « => » comme habituellement avec le où et des tables de vérités, ok.
Si on prend la négation de « => » (mais sous quelle définition ?).
Édit : je n’avais pas vu le dernier message de JP2021. -
Facile : Dire que $2 >2$ c'est dire qu'il existe $a>0$ tel que $2 = 2+a$. En soustrayant les deux membres, on a $a=0$. En divisant par $a\neq0$ on a $1=0$. En ajoutant $1$ aux deux membres on a $2=1$.
e.v.
[De plus je suis le pape.]Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
...
-
En effet, j’imagine qu’on va tôt ou tard se servir d’un OU avec un $Vrai$ ou bien d’un ET avec un $Faux$.
Bien joué ev ;-).
Bon, et pour : quel que soit P, 2>2 => P ? On a un truc ?
En gros c’est ça la question je pense... -
Je répète la définition du mot "implique" en mathématiques classiques: A implique B veut dire exactement (par définition !!! si vous voulez débattre de ça, ok, mais soyons clair-e-s de ce de quoi on débat) qu'on ne se trouve pas dans la situation où A est vrai et B faux.
Si A est faux, on ne se trouve pas dans cette situation, donc "A implique B" est vrai.
Maintenant, il s'avère que cette définition est celle que tout le monde utilise en mathématiques classiques, est-ce que ça veut dire qu'elle est absolument bonne? Non, d'ailleurs j'ai ajouté le mot "classiques" parce qu'on peut faire autrement, mais je ne pense pas que ce soit la question ici.
Les définitions des différents connecteurs ont été données précisément pour qu'elles correspondent aux raisonnements qu'on fait intuitivement. On a envie que "Pour tout $x$, $x>1$ implique $x^2 > x$" soit un énoncé vrai, donc on définit les connecteurs et on vérifie que ça colle - si tu n'es pas d'accord que cette phrase doit être vraie, alors il faut discuter de ça.
Il faudrait donc préciser ce qui te gêne plus précisément. En particulier j'imagine que la réponse : c'est vrai par définition/ par axiome (ce qui est à peu près équivalent ici) ne te satisfait pas ? -
Je vais rajouter un exemple de la vie de tous les jours, qui je crois convainc beaucoup de gens.
Supposons que Anna a un fils, Thierry.
Anna dit à Thierry "Si tu as une bonne note en maths, je t'achète une glace !".
Malheureusement, Thierry a mal dormi et a une mauvaise note.
Cas 1 : Anna achète une glace à Thierry.
Anna a-t-elle menti ?
Cas 2 : Anna n'achète pas de glace à Thierry..
Anna a-t-elle menti ? -
JP2021, il faut comprendre que "$\forall$" a une définition et "$\Rightarrow$" en a aussi une. Elles sont :
- pour tout ensemble $E$, l'énoncé "$\forall x\in E, P(x)$" signifie que $P(x)$ est réalisé pour tout $x$ élément de $E$
- $P\Rightarrow Q$ signifie $Q\vee\neg P$.
Donc "$\forall x\in E, P(x)\Rightarrow Q(x)$" (énoncé n°1) signifie que pour tout $x$ élément de $E$, $Q(x)$ est vrai ou $P(x)$ est faux. Le fait que l'énoncé (1) soit équivalent à "$\forall x\in\{x'\in E\mid P(x')\} , Q(x)$" (énoncé n°2) est une conséquence du principe Faux => Q. Et quand on rédige une démonstration en commençant par "soit $x\in E$ tel que $P(x)$", on démontre en fait l'énoncé (2) et on sous-entend qu'il est équivalent à (1) d'après le principe Faux => Q.
Ça c'est l'approche mathématique de la logique en partant de définitions. Tu peux aussi considérer les choses du point de vue intuitif, et la définition intuitive de l'implication. Dans ce cas tu n'as plus besoin du principe Faux => Q, mais alors tu ne fais plus vraiment de la logique mathématique*.
*Classique devrais-je peut-être ajouter car la logique dite "intuitionniste" est peut-être différente. -
...
-
...
-
Attention, $A\Longrightarrow B$ est bien un prédicat, qui peut être vrai ou faux. Il a une négation.
Mais quelle est la négation de [Si $A$, alors $B$] ? -
Et attention à ne pas confondre l'implication : l'opération mathématique qui, à deux prédicats $A,B$, associe le prédicat $[A\Longrightarrow B]$.
Avec la déduction logique, qui est typiquement une indication au lecteur et qui se note $A \vdash B$, et qui se lit : Nous savons que la condition $A$ est satisfaite. D'après le lemme 53.12, on en déduit que la conclusion $B$ s'ensuit. -
...
-
@JP2021 je ne sais pas si ça peut t'aider mais dans les règles de démonstrations utilisées en logique classique (voir Calcul des séquents) il y a une règle qui se nomme "introduction de l'implication" et ça correspond exactement à "l'implication habituelle" (voir Règle d'introduction de l'implication).
En gros cette règle dit que pour démontrer $A\Rightarrow B$ il faut supposer $A$ et démontrer $B$, ce qui correspond à notre intuition. Mais on peut montrer (enfin je ne l'ai jamais fait car rédiger des démonstrations formelles est un véritable cauchemar) que démontrer $A\Rightarrow B$ revient à démontrer $\neg A \vee B$. -
...
-
...
-
@JP2021
On peut facilement vérifier que le raisonnement usuel (on suppose $A$ et on montre qu'alors $B$) est bien une façon de prouver $A \implies B$ définie comme $\lnot A \lor B$ (rappelons que $\lor$ est le « ou » logique, $\lnot$ le « non »).
En effet, soient deux assertions $A$ et $B$. On souhaite démontrer que $\lnot A \lor B$. En logique classique, on a le tiers exclu : $A \lor \lnot A$.- Si $\lnot A$, ce que l'on voulait prouver ($\lnot A \lor B$) est vrai et il n'y a rien eu à faire.
- Si $A$, on sait que $\lnot A$ est faux, donc pour montrer $\lnot A \lor B$, il n'y a pas le choix : il faut (et il suffit de) montrer $B$.
(Je ne suis pas logicien.) -
JP2021 a écrit:est-ce que tu as une référence accessible sur le web ou à m'envoyer?
il y a la démonstration formelle de $\neg A \vee B \Rightarrow (A\Rightarrow
$ à l'exemple 6 de cette page web https://www.lri.fr/~paulin/MathInfo/html/cours003.html.
La démonstration de la réciproque est faite par brian ci-dessus (reste à la formaliser avec les séquents). -
"Mais s'il faut rajouter "Si non A alors B" cette partie là n'étant pas traitée dans les démonstrations, "A implique B" n'est alors pas démontré ? tu n'es pas d'accord avec ça?"
Il y a un gros malentendu ici. Il ne faut rien rajouter du tout !! c'est "si A alors B" : mais cet énoncé ne dit rien de ce que qui se passe si A est faux !! Cet énoncé ne t'apprend rien si tu sais que A est faux, puisqu'il commence par "si A" !!
Tu n'as pas répondu à mon exemple de la glace http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2239266,2239370#msg-2239370, qui est pourtant, je pense, une manière de comprendre explicitement et concrètement ce qui se passe -
raoul : toutes les preuves de ce truc là seront circulaires, d'une manière ou d'une autre - ça n'aidera pas JP2021 je pense
-
Soient
$A$ = "il fera beau demain."
$B$ = "j'irai me promener demain."
$A\Longrightarrow B$ signifie : "s'il fait beau demain, j'irai me promener."
$\bar A \vee B$ signifie : "demain, il ne fera pas beau ou j'irai me promener (éventuellement les deux !)"
C'est la même chose. cqf"d" -
...
-
...
-
Si t'as tout compris, le fil est terminé, alors. :-S
C'est quoi, ta question, finalement ? -
Sans blague, c'est littéralement la définition.
Qu'est ce qu'on fait dans ce fil ?
Ta question au début est une règle de calcul à partir de la définition.
De quoi parle-t-on ? -
...
-
C'est la définition de la définition.en quoi a-t-on pour x=0, 0>=1 => 0^2>1 ?
Ça n'a aucun intérêt, à mon avis. C'est comme de demander un exemple de démonstration qui utilise le fait que $0 \times 1274623,123 = 0$.je cherche un exemple de démonstration (déduction) simple qui utilise "faux" => P -
Je demande pardon aux intervenants car je n’ai pas lu tout le fil.
Mais je m’aperçois que JP2021 ne semble pas avoir compris et n’aurait pas eu sa réponse.
Un autre essai :
Comment démontrer « 2>2 => la conjecture de Syracuse est vraie ».
Je pense qu’il attend une réponse du style « construite » où un moment on a quelque chose du genre « ça c’est admis ».
Encore une fois, je peux me tromper et surtout j’ai forcément loupé des choses (ma lecture diagonale en est responsable).
Remarque : la démonstration donnée par ev utilise des théorèmes « des réels » et là je crois qu’on attend autre chose. -
...
-
Je tente un dernier coup... Soit l'assertion à démontrer : $\forall x \in \mathbb{R}, \, (x > 1 \implies x^2 > 1)$.
Soit $x$ dans $\mathbb{R}$. Notons $P$ l'assertion $(x > 1 \implies x^2 > 1)$.- Ou bien $x>1$. Alors $(x-1)(x+1) >0$, donc $x^2 > 1$, d'où $\lnot (x>1) \lor (x^2 > 1)$ et donc $P$.
- Ou bien $x \leqslant 1$. Alors $P$ est vraie car elle est de la forme $\text{faux} \implies Q$.
-
...
-
Si tu définis $A\implies B$ comme $\lnot A \lor B$ (c'est le cas dans mes deux messages précédents), il est tout à fait évident que $\text{faux} \implies Q$ est vraie pour n'importe quelle assertion $Q$, non ?
-
Pour moi c’est ça, l’admis : « Vrai $ou$ n’importe quoi » est vrai.
-
...
-
...
-
De mon téléphone, je te prouve que faux=> P
C'est équivalent à (nonP) => vrai par contraposee.
.. qui est vrai.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Christophe,
Et pourquoi c’est vrai, « (nonP) => vrai » ?
Car j’y ai pensé ;-)
Cordialement -
@JP2021 il n'est pas du tout paradoxal que "du faux suit n'importe quoi".
C'est intuitif si on considère par exemple l'assertion "si je gagne au loto, alors je m'achète un château" :
- Si je gagne au loto et que j'achète un château, cette assertion est vraie. L'assertion s'écrit aussi (vrai => vrai), et elle est vraie.
- Si je gagne au loto mais que pourtant je n'achète pas de château, l'assertion est fausse. L'assertion s'écrit (vrai => faux), et elle est fausse.
- Si je ne gagne pas au loto, alors l'assertion est vraie, peu importe que j'achète un château ou pas. L'assertion s'écrit ici (faux => vrai) si j'achète un château, ou alors (faux=>faux) si je n'achète pas de château, et elle est vraie dans les deux cas.
C'est pourquoi on dit que "vrai implique vrai ; faux implique n'importe quoi"
On peut raisonner de même pour toute assertion de la forme A => B. Une telle assertion est fausse lorsque A est vraie et B est fausse. Dans les 3 autres cas (qui sont : A vrai et B vrai, A faux et B vrai, A faux et B faux), cette assertion est vraie.
En écrivant ceci dans une table de vérité, et en écrivant aussi la table de vérité de ((non A) ou, on voit que A=>B est équivalent à ((non A) ou car ils ont les mêmes valeurs de vérité (ils sont tous les deux vrais et tous les deux faux exactement pour les mêmes valeurs de vérité de A et de . -
Bonjour,
Pour JP2021, je ressors un exercice très classique.
Quatre cartes sont posées sur une table. Chacune des cartes a un nombre sur un côté et une lettre sur l'autre côté. Les quatre cartes posées sur la table montrent un 7, un E, un 4 et un N.
Bob affirme "Pour chacune de ces cartes, s'il y a une voyelle d'un côté, alors il y a un nombre pair de l'autre côté".
Combien de cartes Alice doit elle retourner pour vérifier l'affirmation de Bob, et lesquelles ? -
De mon téléphone :
Dom, voyons ce qu'en dit JP2021. L'avantage de cette équivalence est que justement elle force ces deux énoncés à être traités en même temps.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
JP2021 : non tu ne m'as pas répondu, tu as parlé de table de vérité de l'implication, qui est une notion qui n'apparait pas dans ma question sur les glaces.
Je t'ai posé une question de vie de tous les jours (un parent qui essaie de motiver son enfant), et je t'ai demandé, dans 2 situations, si le parent avait rompu sa promesse. Aucune table de vérité ici.
J'attends toujours ta réponse ;-) -
...
Cette discussion a été fermée.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 28
+22 Invités