Quelques questions basiques sur la logique

Eh bien, moi qui n'ai peur de rien, je cite la question http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2239266,2239532#msg-2239532

énigme a écrit:

Quatre cartes sont posées sur une table. Chacune des cartes a un nombre sur un côté et une lettre sur l'autre côté. Les quatre cartes posées sur la table montrent un 7, un E, un 4 et un N.
Bob affirme "Pour chacune de ces cartes, s'il y a une voyelle d'un côté, alors il y a un nombre pair de l'autre côté".
Combien de cartes Alice doit elle retourner pour vérifier l'affirmation de Bob, et lesquelles ?

et je réponds :

Pour mettre en défaut l'affirmation

Pour chacune de ces cartes, s'il y a une voyelle d'un côté, alors il y a un nombre pair de l'autre côté".

il s'agit de trouver au moins une carte qui a une voyelle et un nombre impair.

Il faut donc soulever celles qui risquent d'infirmer, soit ; le 7 et le E.
(en laissant tranquille le 4 et le N)

Si en face du 7, on trouve une voyelle, on dénonce !
Si en face du E, on ne trouve pas un nombre pair, on dénonce !
Sinon, c'est bon.

2021 Bonjour,
J'ajoute aussi ma sauce! :-D
Un dénommé Gros Caramel a posé la même question que toi,
Vers la fin de la discussion , il a été convaincu. Lis ce fil http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1283 et dis-nous si tu es aussi convaincu

2021, Peux-tu rappeler ta vraie question stp?

Soit $f:\{0,1\}^2 \to \{0,1\}$ définie par $f(0,1):=f(0,0):=f(1,1):=1$ et $f(1,0):=0$.

I)Soient $g:\{0,1\}^2\to \{0,1\}$ définie par $g(0,1):=g(1,0):=g(0,0):=0$ et $g(1,1):=1$ et $h:\{0,1\}\to \{0,1\}$ définie par $h(0):=1$ et $h(1):=0$. Exprimer $f$ à l'aide de $g$ et $h$.

II) Soient $i:\{0,1\}^2\to \{0,1\}$ définie par $i(x,y):=1$ si $x=y$ et $i(x,y):=0$ si $x\neq y$.
1° Exprimer $h$ à l'aide de $i$ et de $0$.
2° Exprimer $f$ à l'aide de $g$ et de $i$.

@JP2021,

La question de base est "y a-t-il une démonstration compréhensible et "intuitive" qui utilise faux => P ?"

faux => P est le principe "Ex Falso Quodlibet" (EF) ou encore principe d'explosion.

Une façon de voir les choses qui pourrait peut-être t'aider est de dire qu'il y a la logique minimale de Johansson, que la logique intuitionniste est la logique de Johansson + EF, et que la logique classique est la logique intuitionniste + TE (principe du tiers-exclus).

On montre alors facilement que dans la logique de Johansson, EF + TE est équivalent à DN (principe de la double négation), lui-même équivalent au RPA (raisonnement par l'absurde).
On peut donc dire que d'une certaine façon, tu utilises constamment EF en logique classique en t'appuyant implicitement sur le fait que EF + TE implique DN, dont voici une démonstration :

On suppose donc EF et TE,
Supposons non non P. Si on a P, on a P, et si on a non P, on a faux, et donc P par EF. Dans les deux cas on a P, et avec TE, on en déduit P (si A implique C et si B implique C, A ou B implique C).
Ainsi non non P implique P.

Par exemple, concrètement, si on te dit qu'il n'est pas vrai que le virus n'est pas manufacturé, tu en déduis que soit il est manufacturé, auquel cas il est manufacturé, soit il n'est pas manufacturé, ce qui contredit ce qu'on t'a dit, et donc par le principe d'explosion, il est manufacturé. Donc dans les deux cas, il est manufacturé.

Quand je faisais des maths pour l’informatique et de la logique propositionnelle, on nous mettait en garde sur la confusion entre implication et déductibilité.
La déductibilité, c‘est $p$ implique $q$ où le verbe indique une relation dynamique entre deux propositions ce que ne dit pas, sauf erreur, le « conditionnel de la logique propositionnelle qui s’apparente plus à la formulation complexe d’une proposition comme peut l’être $p \vee q$.
Quand on dit « Si il pleut, le sol est mouillé », on sous-entend « à chaque fois qu’il pleut » et ce type d’implication relève de la logique des prédicats.

L’implication comme opérateur propositionnel sert à construire des propositions qui énoncent un rapport entre des $\textbf{états de choses}$: par exemple l’état du sol mouillé à Paris, et l’état de la météo pluvieuse de Paris.

Pour ce qui est du paradoxe soulevé par JP2021, (je cite l’ouvrage « Logique » de Bernard Ruyer):

« il vient du fait que la logique étend la théorie des opérateurs propositionnels au-delà de leur usage pratique qui est l’expression et la transmission d’une information plus ou moins complète. On a recours à une proposition $p \rightarrow q$ lorsqu’on croit pouvoir exclure le cas ($p$ est vrai, $q$ est faux) et qu’on ignore lequel des trois autres représente la réalité. Si on était en mesure de nier $p$ ou d’affirmer $q$, on n’aurait aucune raison d’affirmer l’implication qui apporte moins d’informations. »

En fait, comme le suggérais Quine, l’implication et l’équivalence devraient s’appeler respectivement « conditionnel » et « bi-conditionnel ».

Je dirais enfin que si cette discussion trouve un jour sa conclusion alors je suis la Reine d’Angleterre.
...

Et peut-être quelques remarques "on a arrosé ?" dans le premier cas ;-)

Cordialement.

Gabu, je vais jouer l'esprit sceptique, si 1=3, peux-tu montrer que je suis le pape?

gebrane, le pape et moi sommes trois donc nous sommes un :-D

Bonjour ev , j'avais un immense désir de piéger Gabu , j'avais le pressentiment qu'il va me dire que la question est bête!
et c'est fait :-D
Russell ne la trouvait pas idiote. C'est une question posé à Russell par un philosophe qui ne comprenait pas que le faux implique n'importe quoi

merci ev corrigé

C'est joli, c'est bien écrit, bien présenté, mais ça n'empêche pas que c'est du n'importe quoi.

GaBuZoMeu écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2239266,2240268#msg-2240268
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

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Je ne comprends pas pourquoi JP2021 ne répond pas aux questions de GaBuZoMeu, dont l'exercice pourrait l'aider utilement à comprendre ce qu'est une implication.
(Peut-être qu'il ne voit pas tous les messages ?)

Gebrane, je ne comprends pas à quoi tu joues. En quoi l'exercice est-il différent de celui (bien classique) que j'ai proposé ?

Il faut retourner la carte verte et le 8.

@JP 2021 est ce que tu es d'accord avec la réponse de identifiantinconnu IdentifiantQuelconque ?

Faut-il ranger JP2021 dans les 90% qui ne passent pas le test ?

Gabu écrivait Faut-il ranger JP2021 dans les 90% qui ne passent pas le test ?
La seule façon de le savoir est d'entendre JP2021 sur ce problème. Comment il va expliquer la réponse de marsup ou IdentifiantQuelconque

@ Dom. Facile :
Si $2>2$ alors $1=0$ donc tous les entiers sont pairs, donc toute suite de Syracuse décroit strictement vers 1.

On a aussi non Syracuse puisque tous les entiers sont impairs.

e.v.

Je crois qu'on peut toujours s'en sortir avec un raisonnement par l'absurde :

Soit $A$ une assertion. On veut montrer faux ${}\implies A$. Supposons donc faux et montrons $A$. Par l'absurde, supposons que $A$ soit fausse. Mézalors, comme faux est vrai, on a une contradiction. Donc $A$ est vraie.

@Dom brian n'a pas triché sa démonstration est bien valide. C'est la démonstration que faux ${}\implies A$. Il a utilisé les règles formelles de démonstration en logique classique.

Tu peux t'amuser à l'écrire avec les séquents...

Ton obstination à ne rien en dire est remarquable, et remarquée.

Mais oui !
C’est une énigme très pertinente !