Implication

Etant sur un pc, je prends un peu de temps pour rédiger ce post, au milieu des Vosges (enfin entre Vosges et forêt noire). Je n'ai pas retrouvé un fil récent où j'étais intervenu, mais c'est pas grave, je ne me rappelle pas non plus si j'avais déjà fait un tel fil, donc tant pis si ça fait doublon avec un éventuel vieux fil.

L'idée est d'économiser du temps aux gens (sincères) qui abordent l'éternel serpent de mer de l'implication en leur donnant un lien à cliquer. Je ne traite que la logique classique, mais avec éventuelles allusions aux autres logiques.

1/ (A=>B) est synonyme de "si A alors B"

2/ L'axiome primordial des maths (dans toutes les logiques, même les plus faibles) est :

3/ En particulier, on a
(faux=>faux) ainsi que
(vrai =>vrai)

4/ En logique classique, on considère que
[non(non(X)] = X et aussi que
(U=>V)=((nonV)=>(nonU))

5/ Les égalités sont "en dur" et jamais contestées (par qui que ce soit). A noter que ce sont les logiciens eux-mêmes qui ont "fouillé" les nuances et je ne les aborderai pas dans ce fil.

6/ Le serpent de mer évoqué sont les deux phrases génériques suivantes:

6.1/ X=> vrai
6.2/ faux =>X

7/ On sait déjà que pour 6, le problème "populaire" ne se pose que pour :

$X:=faux$ dans 6.1 et pour
$X:=vrai$ pour 6.2.

8/ Comme (faux => X) = ((nonX)=>vrai) d'après 4, il ne s'agit en fait que d'un seul et même problème.

9/ En conséquence de quoi les SEULS GENS qui peuvent "discuter" faux=>X sont les gens et seulement eux qui discutent X=>vrai

10/ Je m'adresse maintenant aux gens qui sont d'accord que

11/ Ils sont d'accord que
$100>500$ => $100>3$ donc pour eux le problème n'existe pas ou n'existe plus une fois lu ce point 11, puisqu'ils sont d'accord avec :


vrai est égal à
$100>500$ => $100>3$ qui est égal à
faux => vrai

De sorte qu'on a : (faux=>vrai) = vrai

12/ Un point clé souvent omis par les discuteurs est de savoir s'ils admettent ou pas qu'une phrase a une valeur de vérité dans {vrai; faux}

13/ Là, il est important de rappeler que les maths c'est précis et que les deux phrases suivantes n'ont rien à voir l'une avec l'autre:

13.1/ A=>B
13.2/ Il existe une preuve irréfutable de "A=>B"


14/ Il est tout à fait possible que 13.2 soit fausse (elle l'est pour presque tout A,B) dans bin des situations où 13.1 est vraie.

15/ Une confusion due à juste un manque de précision ou de rigueur fait souvent confondre les deux dans des discussions populaires. Ce n'est pas grave, mais c'est un peu une perte de temps quand les gens ne reconnaissent pas qu'ils ont confondu 13.1 avec 13.2

16/ Sur la notion de conséquence matérielle.

17/ Il ,n'existe pas de signe mathématique pour désigner le fait qu'il existerait un lien matérielle contraignant qui forcerait B à devenir vraie quand A l'est.

Cela est dû (entre autre) au fait que les énoncés mathématiques sont précis et hors du temps. Il n'y a pas de "causalité" en sciences.

Le terme générique de causalité ne peut être introduit en science qu'avec des dépendances supplémentaires au temps. La phrase A est vraie à 15h02 ne peut pas être notée A, quand on en regarde une instance ressemblante, mais évaluée à 16h14.

La localité de la RR par exemple interdit toute causalité immédiate à distance.

18/ Sur le conditionnel

19/ Le problème logique du conditionnel est un "problème non résolu" actuellement en sciences.
La phrase "s'il avait fait beau, j'aurais fait une randonnée"
n'a rien à voir avec
"s'il fait beau alors je fais une radonnée"



20/ Autres preuves: ça me coute peu cher en temps, je rappelle d'autres preuves de tout ça.

21/ nonA = (A=>Tout).
Preuve: supposons nonA, il suit nonTout=>nonA, donc A=>Tout
Réciproquement, supposons A=>Tout, il suit non(Tout) => non A, donc nonA (pour les gens qui admettent non Tout)

22/ De 21, il résulte que si nonA, alors A=>B. En effet, supposant nonA, il suit A=>Tout, donc en particulier A=>B

23/ Rappel mnémo pour les gens vraiment bouchés qui privilégient la mémoire:

23.1/ [A sans B] abrège [A et non B].
[A=>B] signifie [non(A sans ]
23.2/ Le mieux est peut-être de rappeler que (A=>B) est une abréviation aussi de $A\leq B$ dans l'identification $(1,0):=(vrai, faux)$.

24/ De 23.1/ il résulte (A=>B) = ((nonA ou (définition commandée par les programmes scolaires)

25/ Jean Coret (un logicien mort d'un cancer des poumons suite à tabagisme) m'a proposé un jour le slogan suivant: "à mes étudiants, je leur dis que "si vous avancez alors je tire" veut dire pareil que "vous n'avancez pas ou je tire". Comme ça, ils se rappellent de (24)"

Remarque : on retrouve (ce qui a été évoqué plus bas) la différence entre le sens mathématique précis et l'extension populaire fautive bien connue:

- si tu ne manges pas ta soupe, je te frappe. L'enfant mange sa soupe et pourtant, il s'en prend une (la phrase du tortionnaire ne lui a pourtant pas menti)

- si tu avances alors je tire. Le menacé avance et se prend une balle et pourtant la menace n'était pas un mensonge.

Cela provient comme chacun l'a compris du sous-entendu populaire qui met en encre blanche l'implicite "peu important". En maths, pas d'implicite. Le chantage populaire "sous-entend" une équivalence comme suit:

Fais X sinon je t'inflige Y (truc important, la menace : si tu ne fais pas X alors je t'inflige Y. Est place en implicite populaire: et si tu fais X, je serai gentil et ne t'infligerai pas Y).

Ca n'a pas lieu en maths: "si tu es plus grand que 50 alors tu es plus grand que 9" (il n'y a pas l'implicite populaire ajouté "et si tu n'es pas plus grand que 50,alors tu n'es pas plus grand que 9").


26/ Ajout d'un item 26. Ici pour les gens non convaincus par ce qui précède, voici une autre preuve.

On prouve que [(A et <=> A] si et seulement si (A=>B).

Supposons A=>B. Supposons A. Alors B, donc A et B, puisqu'on a A. La réciproque est toujours vraie

Réciproquement, supposons A=>(A et . Alors comme (A et => B, il suit A=>B

27/ Ces arguments ne passent (en apparence) par aucun des axiomes dont le peuple douterait contrairement aux matheux.

28/ Ce qui précède permet de calculer Faux=>Vrai. En effet, de 26, il découle que c'est la même chose que:

Comme (Faux et Vrai) = Faux, il suit que c'est la même chose que Faux<=>Faux, donc c'est Vrai.