"implique" et =>
Double compte avec JP2021 ! http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2239266,2239266#msg-2239266
Bon, vu que je suis déjà venu ici et que je sais à maintenant à quoi m'en tenir, je m'abstiendrai de formules de politesse.
Je reviens rectifier certaines choses.
L'implication au sens naturel c'est n'importe quoi ? la plupart réfléchissent et démontrent des théorèmes avec.
Et bien sûr j'en vois venir certains alors autant vous dire que ceci a été déduit d'un petit document universitaire pour mettre en garde les étudiants sur la confusion entre le mot "implique" et le connecteur logique "=>"
Voilà le détail :
Dans le sens mathématique usuel, une propriété de la forme « Si A alors B » est vraie lorsque A « implique » B, c'est-à-dire lorsque « il y a une démonstration qui mène de A à B».
On note alors parfois cela de façon usuelle : « A => B » le symbole « => » représentant alors le raisonnement valable (ou le chemin) qui mène de A à B.
Par exemple :
« x>2 => x^2>4 » où => remplace le raisonnement valable (ou le chemin) ci-dessous :
x>2 => x-2>0 => (x-2)(x+2)>0 => x^2-4>0 => x^2>4
Maintenant,
Choisissons un x : x=5
l'hypothèse (5>2) étant vraie et le raisonnement étant valable, la conclusion (5^2>4) sera vraie.
5>2 => 5^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de 5>2 le raisonnement mène bien à 5^2>4
5>2 => 5^2<4 (ou tout autre conclusion fausse) est « faux » au sens où
si l'on part de 5>2 le raisonnement ne mène pas à 5^2<4
Pour x=-3
l'hypothèse (-3>2) est fausse, mais le même raisonnement toujours valable mène à (-3)^2>4 qui est vraie.
-3>2 => (-3)^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de -3>2 le raisonnement mène bien à (-3)^2>4
Pour x=-1
l'hypothèse (-1>2) est fausse, le même raisonnement toujours valable mène à (-1)^2>4 qui est fausse.
-1>2 => (-1)^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de -1>2 le raisonnement mène bien à (-1)^2>4
Maintenant en logique :
Le symbole => est uniquement un connecteur, et pas toujours un raisonnement valable.
« Faux => P » , ne signifie pas forcément qu'il existe un raisonnement qui mène de Faux à P, dire « Faux implique P » au sens usuel est abusif !
La logique se passe d'une démonstration systématique et décrète : « Faux implique P » est toujours Vrai, c'est donc un axiome (ou une convention si on veut).
Donc la table de vérité logique de l'implication A => B (au sens du connecteur) est définie en reprenant le sens usuel (pour les deux premiers cas) et en appliquant l'axiome précédent (pour les deux derniers) :
A | B | A=>B
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Et c'est la même table que « nonA ou B » donc on peut définir A=>B comme « nonA ou B ».
Donc en logique : 2=50 => pi=92,5 est vrai ne signifie pas "il existe une démonstration" qui mène de 2=50 à pi=92,5. Ça veut juste que si à un moment donné on a 2=50 et pi=92,5 alors on s'autorise par l'axiome (ou par convention) de passer de l'un à l'autre.
Ce dernier exemple nous montre que, "A=>B est vrai" en logique n'est pas toujours chargé de sens, ça signifie juste le passage de l'un à l'autre est autorisé ou valable par axiome (ou par convention) comme dans un circuit électronique ou un programme informatique.
Mais ça n'est pas toujours le vrai mathématique usuel.
Donc, au sens usuel A=>B est :
vraie : signifie « il existe une démonstration »
fausse : signifie « il existe un contre-exemple »
et parfois ni l'un ni l'autre
Et, au sens logique A=>B est :
vrai : signifie « le passage de l'un à l'autre est autorisé ou valable (et parfois par axiome ou convention) »
faux : signifie « le passage de l'un à l'autre n'est pas autorisé ou valable »
et il n'y a aucune autre alternative
Fin.
Bon maintenant en ce qui concerne Anna : « Si tu as une bonne note, je t’achète une glace »
Thierry a eu une mauvaise note et elle lui a acheté une glace.
A-t-elle menti ?
Dans le sens usuel :
« elle a dit la vérité » : il faut une démonstration, autrement dit :
il faut que Thierry ait une bonne note et qu’elle lui achète une glace.
« elle a menti » : pas vérifiable, il faut un contre-exemple, autrement dit :
il faut que Thierry ait une bonne note et qu’elle ne lui achète pas de glace.
Dans tous les autres cas, on ne peut pas savoir si elle a dit la vérité ou menti : cela n’a donc pas de sens de poser la question.
Donc une personne lambda répondra cela n’a pas de sens, et c’est tellement évident…. que je ne comprends même pas qu’il faille l’expliquer.
Ceux (éventuellement normaliens) qui répondent spontanément "elle a menti" et n'ont jamais entendu "cela n’a pas de sens", en sont très surpris et on besoin d'un sondage pour se rendre compte que c'est la réponse naturelle et intuitive, posez-vous des questions.
Voilà, c'était juste une mise au point.
Le ton peut paraître vif, mais pas insultant.
Mais comme je connais par coeur certains messages qui vont suivre, et dont je me fiche, je ne lirai pas la suite mais pour moi il était important de venir rétablir ce qui devait l'être et de ne pas appliquer la maxime préférée de certains "admets et tais-toi", ce genre d'injonction c'est tout sauf de la science.
J'en ai fini et je ne reviendrai plus, n'hésitez pas à supprimer mon compte (je sais qu'au moins une personne m'aura lu et ça me suffit) ça ne m'obligera pas à tenir des propos indésirables afin que vous le fassiez.
Bon, vu que je suis déjà venu ici et que je sais à maintenant à quoi m'en tenir, je m'abstiendrai de formules de politesse.
Je reviens rectifier certaines choses.
L'implication au sens naturel c'est n'importe quoi ? la plupart réfléchissent et démontrent des théorèmes avec.
Et bien sûr j'en vois venir certains alors autant vous dire que ceci a été déduit d'un petit document universitaire pour mettre en garde les étudiants sur la confusion entre le mot "implique" et le connecteur logique "=>"
Voilà le détail :
Dans le sens mathématique usuel, une propriété de la forme « Si A alors B » est vraie lorsque A « implique » B, c'est-à-dire lorsque « il y a une démonstration qui mène de A à B».
On note alors parfois cela de façon usuelle : « A => B » le symbole « => » représentant alors le raisonnement valable (ou le chemin) qui mène de A à B.
Par exemple :
« x>2 => x^2>4 » où => remplace le raisonnement valable (ou le chemin) ci-dessous :
x>2 => x-2>0 => (x-2)(x+2)>0 => x^2-4>0 => x^2>4
Maintenant,
Choisissons un x : x=5
l'hypothèse (5>2) étant vraie et le raisonnement étant valable, la conclusion (5^2>4) sera vraie.
5>2 => 5^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de 5>2 le raisonnement mène bien à 5^2>4
5>2 => 5^2<4 (ou tout autre conclusion fausse) est « faux » au sens où
si l'on part de 5>2 le raisonnement ne mène pas à 5^2<4
Pour x=-3
l'hypothèse (-3>2) est fausse, mais le même raisonnement toujours valable mène à (-3)^2>4 qui est vraie.
-3>2 => (-3)^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de -3>2 le raisonnement mène bien à (-3)^2>4
Pour x=-1
l'hypothèse (-1>2) est fausse, le même raisonnement toujours valable mène à (-1)^2>4 qui est fausse.
-1>2 => (-1)^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de -1>2 le raisonnement mène bien à (-1)^2>4
Maintenant en logique :
Le symbole => est uniquement un connecteur, et pas toujours un raisonnement valable.
« Faux => P » , ne signifie pas forcément qu'il existe un raisonnement qui mène de Faux à P, dire « Faux implique P » au sens usuel est abusif !
La logique se passe d'une démonstration systématique et décrète : « Faux implique P » est toujours Vrai, c'est donc un axiome (ou une convention si on veut).
Donc la table de vérité logique de l'implication A => B (au sens du connecteur) est définie en reprenant le sens usuel (pour les deux premiers cas) et en appliquant l'axiome précédent (pour les deux derniers) :
A | B | A=>B
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Et c'est la même table que « nonA ou B » donc on peut définir A=>B comme « nonA ou B ».
Donc en logique : 2=50 => pi=92,5 est vrai ne signifie pas "il existe une démonstration" qui mène de 2=50 à pi=92,5. Ça veut juste que si à un moment donné on a 2=50 et pi=92,5 alors on s'autorise par l'axiome (ou par convention) de passer de l'un à l'autre.
Ce dernier exemple nous montre que, "A=>B est vrai" en logique n'est pas toujours chargé de sens, ça signifie juste le passage de l'un à l'autre est autorisé ou valable par axiome (ou par convention) comme dans un circuit électronique ou un programme informatique.
Mais ça n'est pas toujours le vrai mathématique usuel.
Donc, au sens usuel A=>B est :
vraie : signifie « il existe une démonstration »
fausse : signifie « il existe un contre-exemple »
et parfois ni l'un ni l'autre
Et, au sens logique A=>B est :
vrai : signifie « le passage de l'un à l'autre est autorisé ou valable (et parfois par axiome ou convention) »
faux : signifie « le passage de l'un à l'autre n'est pas autorisé ou valable »
et il n'y a aucune autre alternative
Fin.
Bon maintenant en ce qui concerne Anna : « Si tu as une bonne note, je t’achète une glace »
Thierry a eu une mauvaise note et elle lui a acheté une glace.
A-t-elle menti ?
Dans le sens usuel :
« elle a dit la vérité » : il faut une démonstration, autrement dit :
il faut que Thierry ait une bonne note et qu’elle lui achète une glace.
« elle a menti » : pas vérifiable, il faut un contre-exemple, autrement dit :
il faut que Thierry ait une bonne note et qu’elle ne lui achète pas de glace.
Dans tous les autres cas, on ne peut pas savoir si elle a dit la vérité ou menti : cela n’a donc pas de sens de poser la question.
Donc une personne lambda répondra cela n’a pas de sens, et c’est tellement évident…. que je ne comprends même pas qu’il faille l’expliquer.
Ceux (éventuellement normaliens) qui répondent spontanément "elle a menti" et n'ont jamais entendu "cela n’a pas de sens", en sont très surpris et on besoin d'un sondage pour se rendre compte que c'est la réponse naturelle et intuitive, posez-vous des questions.
Voilà, c'était juste une mise au point.
Le ton peut paraître vif, mais pas insultant.
Mais comme je connais par coeur certains messages qui vont suivre, et dont je me fiche, je ne lirai pas la suite mais pour moi il était important de venir rétablir ce qui devait l'être et de ne pas appliquer la maxime préférée de certains "admets et tais-toi", ce genre d'injonction c'est tout sauf de la science.
J'en ai fini et je ne reviendrai plus, n'hésitez pas à supprimer mon compte (je sais qu'au moins une personne m'aura lu et ça me suffit) ça ne m'obligera pas à tenir des propos indésirables afin que vous le fassiez.
Cette discussion a été fermée.
Réponses
T'as marché dedans en te levant ce matin ?
Cordialement,
Rescassol
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2241078
Depuis hier inonde les forums de ces propos...X:-(
De mon téléphone, je te signale tes 2 fautes.
La première est que tu essaies de faire une identification entre une erreur populaire consistant à ne pas écrire un implicite et l'absence formelle de cet implicite. C'est la différence entre XOR et OR. Ce point m'apparaît pluss de la crispation idéologique de ta part qu'une erreur sincère.
La deuxième est que tu prétends qu'il peut arriver que mathématiquement A=>B soit vrai sans qu'il n'y y ait de preuve qu'on peut déduire B de A.
Là aussi c'est essentiellement faux si on 'e précise pas ce qu'on entend par preuve. En un sens essentialiste, on a TOUJOURS une preuve. Juste, elle est pas forcément basée sur les axiomes.
Par exemple faux => vrai étant prouvable, le fait que A est faux va ETRE UNE CAUSE matérielle de la vérité de A=> B
Par exemple ton exemple n'est pas pertinent. L'égalité entre pi et 68 est bien UNE CONSEQUENCE MATÉRIELLE du fait que 2=88
Je pense qu’il faut virer ce fil.
alors $\quad 2x=\pi+68 \quad $ et $\quad 2x(\pi-68)=\pi^2-68^2$
donc $\quad 68^2-2x68=\pi^2-2x\pi$
$68^2-2x68+x^2=\pi^2-2x\pi+x^2$
ce qui donne $\quad (68-x)^2=(\pi-x)^2$
d'où $\quad 68-x=\pi-x$ soit $\pi=68$.
bien vu Cidrolin.
Ta première ligne est une implication simple et non une équivalence (si pi= 68 la réciproque est fausse).
Ta dernière ligne est fausse car il y a deux cas, y compris celui où 68-x = x- pi.
Le cas retenu est justement évacué (donc faux) par l'hypothèse de départ.
C'est donc bien une illustration de faux implique tout.
C'est du moins ainsi que je le vois. Me trompè-je ?
Cordialement
Ce posteur a raconté des âneries de même calibre sur au moins trois autres forums. Comme il ne lit pas les réponses, inutile de lui répondre.
S'il lui est possible, j'aimerais bien qu'il nous explique pourquoi ça lui tient tant à coeur.
Ça commence mal. J'ai pô envie de lire la suite, surtout que le 1er post fait 3 km...
Moi, je ferme ce fil afin d'éviter à d'autres de perdre inutilement du temps.
Cordialement,
Thierry