Les limites de l'implication logique

Une petite réflexion sur l'implication logique, voici un exemple qui me paraît bien illustrer les limites de celles-ci, en espérant avoir bien compris.

Voici un énoncé très intéressant extrait d'une autre source :

"Montrer que l'implication réciproque de celle-ci n'est pas vraie :

$[(\forall x\in E); A(x)\Rightarrow B(x)] \Rightarrow [((\forall x\in E);A(x))\Rightarrow((\forall x\in E);B(x))]$ "


Voici un contre-exemple non-mathématique proposé mais qui illustre bien le propos :

"Dans une population,on peut avoir la situation :
si tout le monde est vacciné alors tout le monde est protégé contre une maladie.
Cela n'implique pas que si quelqu'un est vacciné alors il est protégé. La vaccination de tout le monde peut être nécessaire."

Voici une solution logique proposée :

"Prenons E=$\R$

On peut donc dire que $\forall x\in\R, x<0$ est une proposition fausse.
De même, $\forall x\in\R, x^2<0$ est une proposition fausse.

Il en résulte que $(\forall x\in\R, x<0)\Rightarrow(\forall x\in\R, x^2<0)$ est une proposition vraie. ("faux implique faux" est vrai).

Par contre, $\forall x\in\R,( x<0\Rightarrow x^2<0)$ est évidemment faux.

Donc la réciproque que vous évoquez $\Big((\forall x\in\R, x<0)\Rightarrow(\forall x\in\R, x^2<0)\Big)\Rightarrow\Big(\forall x\in\R,( x<0\Rightarrow x^2<0)\Big)$ est fausse ("vrai implique faux" est faux)."

Même si d'un point de vue purement technique/logique ça semble juste, peut-on vraiment qualifier cela de contre-exemple?
On s'attend quand même plutôt à un contre-exemple similaire à celui de la vaccination mais qui soit mathématique.
Et si on n'en trouve pas peut-on dire que l'implication est fausse ?

Ce "contre-exemple" logique montre quand même la limite de la définition de l'implication logique, non?

Qu'en pensez-vous ?