Décomposition en facteurs premiers, nouveauté
dans Shtam
Bonjour,
Le théorème fondamental de l'arithmétique permet d'affirmer que tout entier strictement positif possède une unique décomposition en facteurs premiers. C'est-à-dire qu'il peut s'écrire de manière unique comme le produit fini de nombres premiers à une puissance adéquate.
La méthode pour trouver cette décomposition est de diviser un entier N par les nombres premiers inférieurs à sa racine carrée : N = 60 => 60 / 2 = 30 => 30 / 2 = 15 => 15 / 3 = 5 => 5 / 5 = 1 => 2, 3 et 5 sont les diviseurs premiers de N = 60, et Racine[ 60 ] = 7,745967...
Les calculs étant faits, nous écrivons : N = 60 = 2².3.5 [size=x-small]<= le point est le signe multiplicatif[/size]
[size=large]Factorisation, nouveauté :[/size]
Les nombres entiers s'écrivent en fonction des puissances de 10.
[size=large]Nous les écrirons en fonction des factorielles de nombres premiers[/size].
Factorielles de nombres premiers :
Si p est premier, nous noterons la factorielle F[size=small]p[/size] de p ainsi : F[size=small]p[/size] = p(!) , et si p = { 1, 2, 3, 5, 7, 11 } , nous écrivons,
1(!) = 1
2(!) = 1x2 = 2
3(!) = 1x2x3 = 6
5(!) = 1x2x3x5 = 30
7(!) = 1x2x3x5x7 = 210
11(!) = 1x2x3x5x7x11 = 2 310
Le nombre entier 14 s'exprime ainsi en base 10 => 14 = 1x10 + 4x10^0
En base de factorielles de nombres premiers, il s'écrit de la sorte :
14 = 2.3(!) + 2(!)
.....= 2x6 + 2
.....= 14
[size=large]Méthode de factorisation par l'entremise des factorielles de nombres premiers en vue de produire la décomposition unique en facteurs premiers de tout nombre entier :[/size]
[size=large]Tout nombre entier supérieur à zéro peut s'écrire sous la forme d'une somme de factorielles de nombres premiers.[/size]
Je suis parti de N = 1 pour en arriver à N = 407 = 7(!) + 6.5(!) + 2.3(!) + 2.2(!) + 1
Cette façon d'écrire les nombres permet des factorisations aisées, au moins pour les nombres pairs, les multiples de 3, et les multiples de 5.
Pour les autres multiples, j'ai trouvé une méthode qui, quand on l'applique, permet de repérer les nombres premiers, sans effectuer de division.
Il est passionnant de voir comment les décompositions en facteurs premiers surgissent des factorisations effectuées.
Jusqu'à 334, je n'ai fait aucune erreur, et ai repéré tous les nombres premiers inférieurs à lui.
Pour exemple :
8 = 3(!) + 2+(!)
...= 2.3 + 2 [size=x-small]<= le point est le signe multiplicateu[/size]r
...= 2.(3+1)
...= 2.(4)
...= 2.(2.2)
...= 2.2.2
8 = 2^3
9 = 3(!) + 2(!) + 1(!)
...= 2.3 + 2 + 1
...= 2.3 + 3
...= 3(2+1)
...= 3.3
9 = 3^2
10 = 3(!) + 2(!) + 1 + 1
.....= 3(!) + 2(!) + 2
.....= 3(!) + 2.2
.....= 2.3 + 2.2
.....= 2(3+2)
.....= 2(5)
10 = 2.5
11 = 3(!) + 2.2(!) + 1
.....= 2.3 + 2.2 +1
Pour 11, aucune factorisation n'est possible, et Racine[ 11 ] = 3,316625...
Il s'agit de soustraire à le(s) nombre(s) premier(s) inférieur(s) ou égal(égaux) à sa racine carrée.
Une fois le(s) nombre(s) trouvé(s) : 3 et 2 sont inférieurs 3,316625
- soit 11 - 3 = 8 est factorisable par 3, et 11 est encore analysable,
- soit 11 - 3 = 8 n'est pas factorisable par 3, et l'on pratique la soustraction par 2.
Donc,
- soit 11 - 2 = 9 est factorisable par 2, et 11 est encore analysable,
- soit 11 - 2 = 9 n'est pas factorisable par 2, et l'on en arrive à l'enchaînement :
=> 11 - 3 = 8 n'est pas factorisable par 3, alors on pratique la soustraction par 2,
=> 11 - 2 = 9 n'est pas factorisable par 2.
Conclusion : 11 est premier, et 11 = 1.11
Calculons sur des nombres plus conséquents : à partir de 198, par exemple.
198 = 6.5(!) + 3.3(!)
.......= 2.3.2.3.5 + 3.2.3
.......= 2.3.3(2.5) + 2.3.3
.......= 2.3.3(10+1)
198 = 2.3².11
199 = 6.5(!) +3.3(!) +1
...... = 2.3.2.3.5 + 3.2.3 +1
.......= 2.2.3.3.5 + (2.3²+1)
.......= 2².3².5 + ( 18+1)
199 = 2².3².5 + 19 => 199 = A + B , si A = 2².3².5 et B = 19
On observe que les nombres composant A et B sont premiers entre eux, donc il n'y a pas de factorisation possible.
Nous concluons que 199 est premier.
200 = 6.5(!) +3.3(!) + 1 +1
.......= 6.5(!) + 3.3(!) + 2(!)
.......= 2.3.2.3.5 + 3.2.3 +2
.......= 2².3².5 + 2.3² + 2
.......= 2(2.3².5 + 3² + 1 )
.......= 2(90+9+1)
.......= 2(100) [size=x-small]<= puisque j'ai fait les décompositions en facteurs premiers de 1 à 334, celle de 100 a déjà été faite, et nous rappelons que 100 = 2².5²[/size]
.......= 2.2².5²
200 = 2^3.5²
201 = 6.5(!) + 3.3(!) + 2(!) + 1
.......= 2.3.2.3.5 + 3.2.3 + 3
.......= 2².3.3.5 + 2.3.3 + 3
.......= 3(2².3.5 + 2.3 +1 )
.......= 3(60+6+1)
.......= 3.67 [size=x-small]<= dans mes précédents calculs, il avait été trouvé que 67 = 2.3.77 + 1 , donc que 67 est premier[/size]
201 = 3.67
Nous commençons à saisir la nouveauté de factorisation par les factorielles de nombres premiers.
Nous aborderons dans un prochain post quelques particularités.
Cordialement,
Le théorème fondamental de l'arithmétique permet d'affirmer que tout entier strictement positif possède une unique décomposition en facteurs premiers. C'est-à-dire qu'il peut s'écrire de manière unique comme le produit fini de nombres premiers à une puissance adéquate.
La méthode pour trouver cette décomposition est de diviser un entier N par les nombres premiers inférieurs à sa racine carrée : N = 60 => 60 / 2 = 30 => 30 / 2 = 15 => 15 / 3 = 5 => 5 / 5 = 1 => 2, 3 et 5 sont les diviseurs premiers de N = 60, et Racine[ 60 ] = 7,745967...
Les calculs étant faits, nous écrivons : N = 60 = 2².3.5 [size=x-small]<= le point est le signe multiplicatif[/size]
[size=large]Factorisation, nouveauté :[/size]
Les nombres entiers s'écrivent en fonction des puissances de 10.
[size=large]Nous les écrirons en fonction des factorielles de nombres premiers[/size].
Factorielles de nombres premiers :
Si p est premier, nous noterons la factorielle F[size=small]p[/size] de p ainsi : F[size=small]p[/size] = p(!) , et si p = { 1, 2, 3, 5, 7, 11 } , nous écrivons,
1(!) = 1
2(!) = 1x2 = 2
3(!) = 1x2x3 = 6
5(!) = 1x2x3x5 = 30
7(!) = 1x2x3x5x7 = 210
11(!) = 1x2x3x5x7x11 = 2 310
Le nombre entier 14 s'exprime ainsi en base 10 => 14 = 1x10 + 4x10^0
En base de factorielles de nombres premiers, il s'écrit de la sorte :
14 = 2.3(!) + 2(!)
.....= 2x6 + 2
.....= 14
[size=large]Méthode de factorisation par l'entremise des factorielles de nombres premiers en vue de produire la décomposition unique en facteurs premiers de tout nombre entier :[/size]
[size=large]Tout nombre entier supérieur à zéro peut s'écrire sous la forme d'une somme de factorielles de nombres premiers.[/size]
Je suis parti de N = 1 pour en arriver à N = 407 = 7(!) + 6.5(!) + 2.3(!) + 2.2(!) + 1
Cette façon d'écrire les nombres permet des factorisations aisées, au moins pour les nombres pairs, les multiples de 3, et les multiples de 5.
Pour les autres multiples, j'ai trouvé une méthode qui, quand on l'applique, permet de repérer les nombres premiers, sans effectuer de division.
Il est passionnant de voir comment les décompositions en facteurs premiers surgissent des factorisations effectuées.
Jusqu'à 334, je n'ai fait aucune erreur, et ai repéré tous les nombres premiers inférieurs à lui.
Pour exemple :
8 = 3(!) + 2+(!)
...= 2.3 + 2 [size=x-small]<= le point est le signe multiplicateu[/size]r
...= 2.(3+1)
...= 2.(4)
...= 2.(2.2)
...= 2.2.2
8 = 2^3
9 = 3(!) + 2(!) + 1(!)
...= 2.3 + 2 + 1
...= 2.3 + 3
...= 3(2+1)
...= 3.3
9 = 3^2
10 = 3(!) + 2(!) + 1 + 1
.....= 3(!) + 2(!) + 2
.....= 3(!) + 2.2
.....= 2.3 + 2.2
.....= 2(3+2)
.....= 2(5)
10 = 2.5
11 = 3(!) + 2.2(!) + 1
.....= 2.3 + 2.2 +1
Pour 11, aucune factorisation n'est possible, et Racine[ 11 ] = 3,316625...
Il s'agit de soustraire à le(s) nombre(s) premier(s) inférieur(s) ou égal(égaux) à sa racine carrée.
Une fois le(s) nombre(s) trouvé(s) : 3 et 2 sont inférieurs 3,316625
- soit 11 - 3 = 8 est factorisable par 3, et 11 est encore analysable,
- soit 11 - 3 = 8 n'est pas factorisable par 3, et l'on pratique la soustraction par 2.
Donc,
- soit 11 - 2 = 9 est factorisable par 2, et 11 est encore analysable,
- soit 11 - 2 = 9 n'est pas factorisable par 2, et l'on en arrive à l'enchaînement :
=> 11 - 3 = 8 n'est pas factorisable par 3, alors on pratique la soustraction par 2,
=> 11 - 2 = 9 n'est pas factorisable par 2.
Conclusion : 11 est premier, et 11 = 1.11
Calculons sur des nombres plus conséquents : à partir de 198, par exemple.
198 = 6.5(!) + 3.3(!)
.......= 2.3.2.3.5 + 3.2.3
.......= 2.3.3(2.5) + 2.3.3
.......= 2.3.3(10+1)
198 = 2.3².11
199 = 6.5(!) +3.3(!) +1
...... = 2.3.2.3.5 + 3.2.3 +1
.......= 2.2.3.3.5 + (2.3²+1)
.......= 2².3².5 + ( 18+1)
199 = 2².3².5 + 19 => 199 = A + B , si A = 2².3².5 et B = 19
On observe que les nombres composant A et B sont premiers entre eux, donc il n'y a pas de factorisation possible.
Nous concluons que 199 est premier.
200 = 6.5(!) +3.3(!) + 1 +1
.......= 6.5(!) + 3.3(!) + 2(!)
.......= 2.3.2.3.5 + 3.2.3 +2
.......= 2².3².5 + 2.3² + 2
.......= 2(2.3².5 + 3² + 1 )
.......= 2(90+9+1)
.......= 2(100) [size=x-small]<= puisque j'ai fait les décompositions en facteurs premiers de 1 à 334, celle de 100 a déjà été faite, et nous rappelons que 100 = 2².5²[/size]
.......= 2.2².5²
200 = 2^3.5²
201 = 6.5(!) + 3.3(!) + 2(!) + 1
.......= 2.3.2.3.5 + 3.2.3 + 3
.......= 2².3.3.5 + 2.3.3 + 3
.......= 3(2².3.5 + 2.3 +1 )
.......= 3(60+6+1)
.......= 3.67 [size=x-small]<= dans mes précédents calculs, il avait été trouvé que 67 = 2.3.77 + 1 , donc que 67 est premier[/size]
201 = 3.67
Nous commençons à saisir la nouveauté de factorisation par les factorielles de nombres premiers.
Nous aborderons dans un prochain post quelques particularités.
Cordialement,
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Réponses
J’ai peut-être mal lu.
J’ai eu l’impression que l’on avait le droit au « 1(!) ».
Dans ce cas... c’est trivial.
Aussi il y a quelques coquilles dès le départ (le théorème fondamental de l’arithmétique commence à 2, par exemple).
Je n’ai pas compris non plus la facilité observée de factoriser.
Peut-être faudrait-il essayer avec des gros nombres ?
Par exemple : 5(!)=5.3.2 dans le texte de Gonzague. Il ne considère que des produits de nombres premiers.
Mais j'aurais dû prendre l'exemple de 200, qui se factorise de tête et pour lequel il arrive en 6 calculs à l'évident 2 fois 100.
Cordialement.
Dom évoque le fait de factoriser de grands nombres. Je le fais maintenant en factorisant [size=large]38 894 240[/size].
Je rappelle que cette méthode de factorisation passant par les factorielles de nombres premiers, n'est pas faite, pour l'instant, à aller plus vite dans la factorisation des nombres.
Il s'agit d'une méthode AUTRE. La factorisation habituelle en facteurs premiers utilise la division euclidienne. Mon processus ne l'utilise que pour transformer les nombres à factoriser de base 10 en base factorielle.
Pour le reste, les trois opérations de l'addition, de la multiplication, et de la soustraction me suffisent.
Avant de factoriser 38 894 240, je désire donner quelques précisions sur le modus operandi des factorielles de nombres premiers.
209 = 6.5(!) + 4.3(!) + 2.2(!) + 1
210 = 6.5(!) + 4.3(!) + 2.2(!) + 1 + 1
210 = 6.5(!) + 4.3(!) + 2.2(!) + 2(!)
210 = 6.5(!) + 4.3(!) + 3.2(!) [size=x-small]<= 3.2(!) = 3.2 = 2.3 = 3(!)[/size]
210 = 6.5(!) + 4.3(!) + 3(!)
210 = 6.5(!) + 5.3(!) [size=x-small]<= 5.3(!) = 5.2.3 = 2.3.5 = 5(!)[/size]
210 = 6.5(!) + 5(!)
210 = 7.5(!) [size=x-small]<= 7.5(!) = 7.2.3.5 = 2.3.5.7 = 7(!)[/size]
210 = 7(!)
Cela dit, venons-en à la factorisation en facteurs premiers de 38 894 240.
A = 38 894 240
...= 4.19(!) + 3.13(!) + 2.11(!) + 3.7(!) + 4.5(!) + 3.3(!) + 2
...= ( 2.2.2.3.5.7.11.13.17.19 ) + ( 3.2.3.5.7.11.13 ) + ( 2.2.3.5.7.11 ) + ( 3.2.3.5.7 ) + (2.2.2.3.5 ) + ( 3.2.3 ) +2
... = ( 23.3.5.7.11.13.17.19 ) + ( 2.3².5.7.11.13 ) + ( 2².3.5.7.11 ) + ( 2.3².5.7 ) + ( 23.3.5 ) + ( 2.3² ) + 1
...= 2.[ ( 2².3.5.7.11.13.17.19 ) + ( 3².5.7.11.13 ) + ( 2.3.5.7.11 ) + ( 3².5.7 ) + ( 2².3.5 ) + 3² + 1 ]
...= 2.[ 19 399 380 +45 045 +2 310 +315 +60 + 9 +1 ]
A = 2.[ 19 447 120 ]
B = 19 447 120
...= 2.19(!) + 13(!) + 7.11(!) + 7.7(!) + 2.5(!) + 3(!) + 2.2(!)
...= ( 2.2.3.5.7.11.13.17.19 ) + ( 2.3.5.7.11.13 ) + ( 7.2.3.5.7.11 ) + ( 7.2.3.5.7 ) + ( 2.2.3.5 ) + ( 2.3 ) + ( 2.2 )
...= 2.[ ( 2.3.5.7.11.13.17.19 ) + ( 3.5.7.11.13 ) + ( 3.5.7².11 ) + ( 3.5.7² ) + ( 2.3.5 ) + 3 + 2 ]
...= 2.[ 9 699 690 + 15 015 + 8 085 + 735 + 30 + 5 ]
B = 2.[ 9 723 560 ]
C = 9 723 560
...= 19(!) +10.11(!) +3.7(!) + 4.5(!) + 3.3(!) + 2
...= ( 2.3.5.7.11.13.17.19 ) + ( 2.5.2.3.5.7.11 ) + ( 3.2.3.5.7 ) + ( 2.2.2.3.5 ) + ( 3.2.3 ) + 2
...= 2.[ ( 3.5.7.11.13.17.19 ) + ( 2.3.5².7.11 ) + ( 3².5.7 ) + ( 2².3.5 ) + 3² + 1 ]
...= 2.[ 4 849 845 + 11 550 +315 + 60 + 9 1 ]
C = 2.[ 4 861 780 ]
D = 4 861 780
...= 9.17(!) + 8.13(!) + 11.11(!) +7.7(!) + 2.5(!) +3(!) + 2.2(!)
...= ( 3.3.2.3.5.7.11.13.17 ) + ( 2.2.2.2.3.5.7.11.13 ) + ( 11.2.3.5.7.11 ) + ( 7.2.3.5.7 ) + ( 2.2.3.5 ) + ( 2.3 ) + ( 2.2 )
...= 2.[ ( 33.5.7.11.13.17) + ( 23.3.5.7.11.13 ) + ( 3.5.7.11² ) + ( 3.5.7² ) + ( 2.3.5 ) + 3 + 2 ]
...= 2.[ 2 297 295 +120 120 + 12 705 + 735 + 30 + 5 ]
D = 2.[ 2 430 890 ]
E = 2 430 890
...= 4.17(!) + 12.13(!) + 12.11(!) +3.7(!) + 4.5(!) +3.3(!) + 2
...= ( 2.2.2.3.5.7.11.13.17 ) + ( 2.2.3.2.3.5.7.11.13 ) + ( 2.2.3.2.3.5.7.11 ) + ( 3.2.3.5.7 ) + ( 2.2.2.3.5 ) + ( 3.2.3 ) + 2
...= 2.[ ( 2².3.5.7.11.13.17 ) + ( 2².3².5.7.11.13 ) + ( 2².3².5.7.11 ) +( 3².5.7 ) + ( 2².3.5 ) + 3² + 1 ]
...= 2.[ 1 021 020 +180 180 +13 860 + 315 +60 + 9 + 1 ]
E = 2.[ 1 215 445 ]
F = 1 215 445
...= 2.17(!) + 6.13(!) + 6.11(!) + 7(!) +5.5(!) + ( 4.3(!) + 1 ) (*)
...= ( 2.2.3.5.7.11.13.17 ) + ( 2.3.2.3.5.7.11.13 ) + ( 2.3.2.3.5.7.11 ) + ( 2.3.5.7 ) + ( 5.2.3.5 ) + ( 5.5 )
...= 5.[ ( 2².3.7.11.13.17 ) + 2².3².7.11.13) + ( 2².3².7.11 ) + ( 2.3.7 ) + ( 2.3.5 ) + 5
...= 5.[ 204 204 + 36 036 + 2 772 + 42 +30 + 5 ]
F = 5.[ 243 089 ]
[size=x-small](*) 4.3(!) +1 = ( 2.2.2.3 ) + 1 ne présente pas de factorisation possible. Par contre ( 23 + 1 ) + 1 = 24 + 1 = 25 = 5.5 ce qui nous permet une factorisation par 5 ici.[/size]
G = 243 089
...= 8.13(!) +11(!) +2.7(!) + 119
...= ( 2.2.2.2.3.5.7.11.13 ) + ( 2.3.5.7.11 ) + ( 2.2.3.5.7 ) + ( 7.17 ) (*)
...= 7.[ ( 24.3.5.11.13 ) + ( 2.3.5.11 ) + ( 2².3.5 ) + 17 ]
...= 7.[ 34 320 + 330 + 60 + 1 ]
G = 7.[ 34 727 ]
[size=x-small](*) Le nombre 119 a été décomposé en facteur premier dans ma table de décomposition des nombres du début de la numération jusqu'à 407. Mais nous verrons dans le prochain post comment opérer.[/size]
H = 34 727
...= 13(!) + 2.11(!) + 2.5(!) + 2.3(!) + 5
...= ( 2.3.5.7.11.13 ) + ( 2.2.3.5.7.11 ) + ( 2.2.3.5 ) + ( 2.2.3 ) + 5
[size=x-small]=> à cause de 5, H n'est pas factorisable : nous essayons la somme ( 60 + 12 + 5 = 77 (*) = 7.11 )
.....(*) 77 se trouve dans ma table de factorisation jusqu'à 407. Mais nous verrons au prochain post comment procéder[/size]
...= ( 2.3.5.7.11.13 ) + ( 2².3.5.7.711 ) + ( 7.11 )
...= ( 7.11 ).[ ( 2.3.5.13 ) + ( 2².3.5 ) + 1 ]
...= ( 7.11 ).[ 390 + 60 + 1 ]
H = ( 7.11 ).[ 451 ]
J = 451 [size=x-small]<= ce nombre est visiblement un multiple de 11.[/size]
J = 11.41 [size=x-small]<= Nous factoriserons 451 au prochain post.[/size]
Nous arrivons au terme de la factorisation du nombre A = 38 894 240
A = 2.B
B = 2.C
C = 2.D
D = 2.E
E = 2.F
F = 5.G
G = 7.H
H = ( 7.11 ).J
J = 11.41
Donc,
A = 38 894 240 = 2.2.2.2.2.5.7.7.11.11.41
[size=large]38 894 240 = 25.5.72.112.41[/size] Ce qu'il fallait montrer.
Cordialement,
Pourriez-vous montrer, avec votre méthode, comment vous factorisez 233335657 ?
Merci d'avance.
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424 est un multiple de 8 donc 38 894 24 est divisible par 8 : 38 894 24 = 8*486178
486178 = 2*243089
243089 est divisible par 11 (critère de divisibilité) : 243089 = 11*22099 = 11*11*2009
On essaie de diviser par 7 : 2009=7*287=7*41
38 894 240=2*5*8*2*11*11*7*7*41=25*5*72*112*41
On faisait ça (avec divisions à la main) en collège vers 1950; en 2 ou 3 minutes, moins pour les bons calculateurs. Sans écrire une page de "calculs". Maple fait la factorisation en quelques millièmes de seconde.
Étant en 5e, je m’étais posé cette question***.
Par contre, les arithméticiens, je ne sais pas s’ils ont trouvé que cette notion est intéressante.
***Pour démontrer l’infinité des nombres premiers, on peut par exemple supposer qu’il en existe un plus grand, $N$ et considérer le nombre : $N(!)+1$.
Souvent, on voit la démonstration avec le nombre $N!+1$.
C’était à cette occasion que j’avais souhaité avoir une notation au lieu de $p_1p_2…p_N$.
Cordialement.
Peut-être aussi que la norme du "grand nombre" a évolué en même temps que la Loi de Moore.
Je veux dire, alors que le Big Data explose en Big Bang du traitement des données, le grand nombre d'aujourd'hui doit être "plus grand encore".
Quand, en Mathématiques, on écrit:
a << b pour signifier que b est très grand devant a, on utilise la notion de voisinage et d'adhérence.
Mais, concrètement, on devrait avoir déjà un ordre de grandeur du grand nombre qui serait, selon moi, de l'ordre du Téraoctet.
Vrai, faux, tiède, mi-chaud, mi-froid ?
Ces histoires de big data (volontairement avec les minuscules) sont incompréhensibles.
Les premières constatations de Mr Moore, revues quelques années plus tard, ont surtout servi de prophéties autoréalisatrices pour les constructeurs de composants.
Et cela fait déjà quelques années que la fameuse loi (telle qu'elle a été initialement établie) n'est plus maintenue que de manière purement artificielle par du parallélisme à outrance car de l'autre côté, on a atteint les limites de miniaturisation physique des composants, avant bien sûr la suprématie quantique, qui va avoir un effet de palier vis-à-vis de ces considérations bassement matérielles.
D'ailleurs, on retrouve actuellement des considérations quantiques dans les sens des oiseaux, histoire de faire bonne mesure.
Au passage, je n'ai toujours pas eu la réponse de Mr de Villemagne à ma demande de factorisation.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Tout vient à point qui sait attendre.
En ce moment, mon emploi du temps est surchargé et ne me permet pas de me consacrer comme je le voudrais à cette question.
Bien que la procédure soit écrite dans ma tête, je n'ai pas le temps de l'écrire : trop d'occupations m'occupent par ailleurs.
Croyez-bien que je ne remets pas ma réponse aux calendes grecques.
Bien à vous,
En quoi est-ce une avancée par rapport à la méthode dite "triviale" qui consiste à effectuer la division par les nombres premiers successifs (qui sont censés être connus dans la méthode suggérée !) ?
Quand tu auras adopté le système proposé, tu n'écriras plus 38894240, mais 4.19(!) + 0.17(!)+3.13(!) + 2.11(!) + 3.7(!) + 4.5(!) + 3.3(!) + 1.2(!)+ 0.(1!), ou en plus court 4.0.3.2.3.4.3.2.0
Et là, le fait que ce nombre est divisible par 2 est évident, puisque le dernier chiffre est 0.
Ce nombre n'est visiblement pas divisible par 3 à cause du 2.0 final.
Ce nombre est divisible par 5, puisque 3.3(!)+2(!) est divisible par 5, et tous les autres termes sont divisibles par 5.
J'attendrais donc. Merci pour cet espoir.
Pour Lourrran, si on utilise ce développement raccourci les autres opérations sont-elles plus naturelles ?
Par exemple, 2.3.0.1.1 + 4.2.0.1 = 2.7.2.2.0, cela ne me semble pas naturel, notamment l'addition des 1 entre eux pour former le 2 en deuxième position laisse penser à une sorte d'addition facile avec retenue or pour les positions d'après il n'y a plus trop de système de retenue, ce qu'on voit avec le 7 qui est bien l'addition de 4 et 3 (en fait il y a bien une retenue, mais elle est compliquée et dépend de la position, de plus on arrive vite à de grandes valeurs).
À bientôt.
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Permettez-moi de donner des précisions au sujet des interventions de gerard0, Médiat, Homo Topi, Math Coss et bisam.
Le commentaire que je ferais des vôtres est le suivant :
Il semble que les ordinateurs aient une grande place dans votre outillage mathématique.
Il semble qu'un grand nombre n'en soit pas un au regard des algorithmes actuels.
Il semble que vous vous contentez de ce qui existe pour calculer rapidement.
Il semble que vous trouvez long et compliqué ce que je vous présente.
Il semble que vous attendez que me présentation mette en valeur tout de suite une avancée que vous jaugez à la rapidité de calcul.
Personnellement, je travaille avec des nombres tout juste envisageables intellectuellement, avec l'intention de démonstration que ma façon de faire les prennent tous en considération.
La base factorielle de nombres premiers dont je me sert permet de qualifier des nombres de plus en plus grand quand "p" de p(!) augmente vers de hautes valeurs.
[size=large]1.1.1.51.1.1.1.38.1.1.1.1.1.1.0.1.2.3.0.0.5.6.3.7.0[/size] est un nombre très grand pour qu'il ne puisse être imaginé par notre intellect.
Néanmoins, cette notation en base factorielle permet de factoriser ce nombre sans avoir besoin de la méthode communément acquise.
En début d'article, je faisais mention du fait que j'avais factorisé un à un tous les nombres jusqu'à 407.
C'est un travail de longue haleine, qui est compliqué pour vous, certes.
Mais la recherche mathématique n'a jamais été une chose simple.
Chacun a ses acquis en mathématiques, et développe ses compétences. Vous le faîtes très bien au niveau auquel vous êtes parvenus.
Dreamer et Lourrran se sont intéressés à ma méthode, notamment sur la question de l'addition de deux nombres exprimés en base factorielle de nombres premiers.
C'est une question intéressante pour moi.
Mais Dreamer attend que je lui indique comment je factorise 233 335 657 .
Je vais lui répondre, mais il me fallait réagir à vos interventions, car le sujet qui me préoccupe n'est pas de faire long et compliqué, mais, comme je l'ai déjà écrit, de faire AUTREMENT. En effet, si les uns s'intéressent aux algorithmes qui tournent sur de puissants ordinateurs, d'autres analysent les propriétés des nombres selon des angles d'attaque originaux.
La mathématique n'est pas connue une fois pour toute : l'on peut en découvrir chaque jour.
Ma passion est d'étudier cette question des nombres premiers qui sont, dit-on, les fondements de l'arithmétique.
Je remercie Dreamer et Lourrran pour leur remarques constructives.
A présent, dans le prochain post, je vous présente sur quelques exemples de factorisation comment je suis arrivé au nombre 407, ce qui donnera l'organigramme pour atteindre 233 335 657.
Cordialement,
Vous écrivez 209 = 6.5(!) + 4.3(!) + 2.2(!) + 1, pourquoi ne pas l'écrire 209 = 3(!).5(!) + (2(!) .2(!)).3(!) + (2(!)).2(!) + 1(!) ?
Mais je vais quand même t'aider à jouer avec ce concept. En particulier, Il y a une méthode qui ressemble un peu à ce que tu fais, c'est ce qu'on appelle la base factorielle. Comme tu n'en parles pas, je pense que tu ne connais pas.
Essaie déjà d'explorer cette base factorielle. Voir les propriétés de cette notation, voir comment se notent les nombres jusqu'à 407 et bien au delà
Par exemple, dans ta méthode, le nombre 32 peut s'écrire 5.1.0, ou encore 1.0.1.0 ; ça ne te gêne pas ?
Je pensais aussi qu'il n'y avait pas unicité dans la représentation de Mr de Villemagne, mais je n'ai pas trouvé d'exemple de non unicité, l'exemple montré dans le message de Lourrran est mal construit dans sa première version.
Je suis aussi d'accord que les nombres dans cette représentation peuvent vite être très grands, mais j'ai du mal à comparer avec la notation de Knuth.
Par contre, je continue à attendre le résultat de la factorisation que j'ai demandée.
Le nombre que j'ai choisi ne l'a pas été au hasard.
À bientôt.
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Par contre on peut définir une décomposition unique en prenant le plus grand n(!) inférieur au nombre et ainsi, comme avec la partie entière, en gros, trouver les k(!) suivants, etc.
Mais on ne sait toujours pas la plus-value d’une telle décomposition.
Ou alors, on doit aussi considérer que (1), (01), (001) et (0001) sont des représentants différents de 1 dans l'écriture normale et qu'elle aussi ne possède pas d'unicité.
À bientôt.
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"1.1.1.51.1.1.1.38.1.1.1.1.1.1.0.1.2.3.0.0.5.6.3.7.0 est un nombre très grand pour qu'il ne puisse être imaginé par notre intellect."
Bizarre, tu viens de l'écrire, donc l'imaginer par ton intellect. Et puis il n'est pas si grand que ça, il est inférieur à 100! = 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000, qui a 158 chiffres
" Néanmoins, cette notation en base factorielle permet de factoriser ce nombre sans avoir besoin de la méthode communément acquise. " Je demande à voir. Maple le fait pour 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000 en un ou deux centième de seconde (*).
"En début d'article, je faisais mention du fait que j'avais factorisé un à un tous les nombres jusqu'à 407." Oui. Mais n'importe quel élève de troisième de 1970 savait le faire sans avoir entendu parler de primorielle. Et d'ailleurs, pourquoi s'arrêter à 407 ?
"C'est un travail de longue haleine, qui est compliqué pour vous, certes." Non ! Je sais factoriser à la main les petits nombres. Et ça n'a plus aucun intérêt.
Et ce n'est pas seulement compliqué pour nous cette méthode. C'est aussi compliqué pour De Villemagne, puisqu'elle n'a toujours pas permis la factorisation demandée par Dreamer ... elle demande apparemment nettement plus de temps que d'écrire des réponses non convaincantes.
En bilan : la promotion d'une méthode compliquée pour faire ce que les logiciels de calcul exact font mieux que nous. le seul intérêt est pour son auteur : c'est lui qui l'a trouvée.
Cordialement.
(*) et moi je factorise 100! en 2 ou 3 minutes, à la main.
Vouloir "faire autrement", ça peut être louable. Je dis bien "ça peut". Il existe plein de théorèmes pour lesquels on connait plusieurs démonstrations complètement différentes. Une seule démonstration suffit pour valider un résultat, mais, certaines personnes vont bloquer sur une démonstration alors qu'elles en comprendront facilement une autre. Souvent, ce qu'il se passe c'est que quelqu'un va simplifier une démonstration en apportant des nouvelles idées, auquel cas la démonstration devient abordable par plus de gens et donc le théorème devient un outil plus répandu. Dans ce genre de situation, "faire autrement" ça fait avancer les choses : on voit un nouvel angle d'attaque pour une question, on permet à plus de monde de s'approprier un résultat, on trouve des nouveaux résultats. Dans cette situation, "faire autrement", c'est louable.
Puis il y a ce que toi tu fais. La décomposition en facteurs premiers, c'est un résultat d'existence qu'on apprend au lycée et qu'on démontre en général en première année de supérieur. Un résultat d'existence, ça dit qu'il y a une méthode à trouver. Des méthodes de factorisation, on en connait plein, justement, il y a des algorithmes entiers qui sont hyper efficaces pour factoriser des nombres très très grands. Toi, tu rejettes ces algorithmes "pour le sport", pour que tu puisses réinventer la roue et la breveter à ton nom juste pour la célébrité d'avoir fait un truc. Sauf que les mathématiques n'en sont plus là, si tu prétends avoir quelque chose de nouveau qui est censé valoir quelque chose, c'est tout à fait naturel qu'on compare ton bazar à ce qui existe déjà. Il a été prouvé dans ce fil que ta technique est lente et compliquée à effectuer à la main, comparé à d'autres techniques qui sont plus simples à faire à la main et d'autant plus rapides quand on s'aide d'une machine... machine qui est étrangère à ton fonctionnement puisque personne ici, ni même toi, ne voit comment implémenter ta méthode dans un algorithme. Et quand je dis "algorithme", on s'en fout si c'est sur papier ou sur ordinateur : un algorithme, c'est juste un processus méthodique et structuré qui aboutit au résultat voulu en un temps fini. Tu ne sais pas transcrire ton bidouillage en une méthode claire, forcément qu'on va tailler ton travail en pièces si en plus de ça, c'est plus compliqué que les méthodes "standard", et si en plus, tu nous prends de haut alors que tu ne maîtrises pas ton propre discours. Tu peines déjà à nous montrer que tu as effectivement développé un truc, et tu n'arriveras pas à nous convaincre de son intérêt si tu te présentes comme ça.
Je n'ai pas dit que j'ai l'impression que tu fais ça "juste pour la célébrité d'avoir fait un truc" pour rien. Un matheux sérieux, avant de se jeter dans un travail mathématique, il regarde ce qui existe déjà, ce qui a déjà été fait, pour deux raisons : d'une part, pour avoir une meilleure maîtrise du sujet, et d'autre part, pour ne pas perdre du temps à refaire un truc qui a déjà été fait ou à suivre une piste dont on sait déjà qu'elle ne mène à rien. Toi, tu as pris un truc que tu connaissais vaguement (décomposition en facteurs premiers), tu t'es jeté tête baissée dans le sujet sans une grande maîtrise de l'arithmétique ou de la théorie des nombres, et tu espères faire un truc incroyable tout seul avec tes outils de débutant. En face, il y a des thésards et des chercheurs, qui ont plus de connaissances que toi, travaillent en groupe, échangent, s'entraident et s'autocritiquent et ont des tonnes de bouquins à disposition. Est-ce que tu comprends qu'on soit un poil dubitatif quant à ta production mathématique, si tu tiens compte de ce que je viens de dire ?
Cette phrase est à prendre avec des pincettes. Le problème de déterminer la factorisation d'un grand entier est notoirement difficile. La "méthode" (s'il y en a une) présentée dans ce fil ne simplifie certainement pas ce problème.
Plus sérieusement, oui, je sais bien.
Les réactions à mon précédent post nécessitent quelques mises au point de ma part.
Je vous présente mes excuses si vous pensez que je vous explique la recherche mathématique.
=> Je vous expose comment moi je fais de la recherche : apparemment je m'y prends mal... et l'on peut y voir, à tort, une certaine condescendance de ma part.
La question des nombres premiers est ouverte à tous : je suis l'un de ceux qui s'y intéressent, sans me croire au-dessus des autres. J'ai trouvé quelques théorèmes qui ne sont pas dans les manuels, et que j'ai publiés ici.
Ecrire, s'est s'exposer à la critique, et c'est une bonne chose que de pouvoir discuter dans ce forum.
Pousser celui qui écrit dans ses retranchements, au bout de ses raisonnements, est une excellente chose.
Il y a erreur, je n'essaie pas de vous donner de leçon.
Je crois bien que votre question est ironique, aussi je n'y répondrai pas.
Dom m'encourage par-là à présenter la façon dont je procède pour définir la composition unique en factorielles de nombres premiers.
Prenons l'exemple de 209.
7(!) ) = 2.3.5.7 = 210 est trop élevée
Il nous faudra travailler avec :
5(!) = 2.3.5 = 30
6.30 = 180 est le maximum pour ne pas dépasser 209,
et 209 - 180 = 29 => ce nombre est à décomposer, non pas avec 5(!) = 30 qui lui est supérieur, mais avec 3(!) = 2.3 = 6
4.6 = 24 est le maximum pour ne pas dépasser 29,
et 29 - 24 = 5
Nous avons pour l'instant 209 = 6.5(!) + 4.3(!) + 5
Il reste à décomposer 5 :
2.2 = 4 est le maximum pour ne pas dépasser 5,
et 5 - 4 = 1 et 5 = 4 + 1 <= la décomposition est terminée et nous avons au final : 209 = 6.5(!) + 4.3(!) + 2.2(!) + 1
En un ou deux centièmes de seconde...
=> Pour moi la notion de temps ne fait pas partie de mon travail de recherche : je n'ai pas l'ambition de calculer plus vite. Je n'ai pas d'ambition par rapport à vous, ni par rapport à personne. Le travail que je me suis donné est de trouver des relations entre les nombres entiers.
Tous les nombres entiers dépendent des nombres premiers.
Les nombres composés dépendent des nombres premiers, je ne vous l'apprend pas.
Les nombres premiers dépendent des nombres premiers.
Il est certain que, lisant les articles que j'écris dans le forum, vous ne savez pas quelle est la globalité du travail que j'effectue, car il y a des choses que je ne vous partage pas.
Par ma méthode 32 s'écrirait 5.1.0 ...
Voyons :
32 = 5.3(!) + 2(!) + 0 [size=x-small]<= Dans ma méthode, je laisse tomber le "0"[/size]
ou
32 = 5.(2.3) + 2 <= Or je n'écris jamais cela, car c'est une transition pour obtenir
32 = 2.3.5 + 2
ou
32 = 5(!) + 2(!) ou, selon une écriture de base factorielle que tu me rappelles :
32 = 1.0.1.0
Cela ne me gêne pas que nous parlions le même langage...
...je continue à attendre le résultat de la factorisation que j'ai demandée.
Eh oui, mon bon monsieur, ça discute sur le forum... J'y viens.
Vous n'avez pas choisi le nombre A = 233 335 657 au hasard, en effet,
A = 23(!) + 19(!) + 17(!) + 13(!) + 11(!) + 7(!) + 5(!) + 3(!) + 1
par évidence :
non multiple de 2,
non multiple de 3,
...ni multiple de 5.
A n'est pas un nombre premier. "D" l'ensemble des diviseurs de A est
D = { 229 , 307 , 3 319 } , ce qui donne pour A la décomposition en facteurs premiers :
A = 233 335 657 = 229.307.3 319
J'ai trouvé ces diviseurs grâce à un outil que je me suis créé pour, à partir d'un nombre comme A, et d'un nombre B = A + 2n [size=x-small]avec n > 0 et limité dans une certaine mesure[/size] opérer comme il est décrit dans mon article Nouveau crible nombres premiers la découverte de nombres premiers supérieurs à A sans caractérisation par division successives des nombre premiers inférieurs à la racine carrée des B trouvés.
[size=x-small]=> Je rappelle ce que je disais à gerard0 : vous ne connaissez pas l'ensemble de mon travail. Celui-ci est comme une mosaïque que l'on met en place. On voit quelques carreaux de couleur... on se demande ce que cela peut représenter... Et puis, la mosaïque achevée, on découvre l'oeuvre tout entière. Je publie sur ce forum des résultats qui jalonnent mon travail. Sans plus.[/size]
Au passage, j'ai remarqué la primalité de certaines factorielles de nombres premiers contenues en poupées russes dans le nombre A.
A = 23(!) + 19(!) + 17(!) + 13(!) + 11(!) + 7(!) + 5(!) + 3(!) + 1 = 233 335 657 = 229.307.3 0319
B = 19(!) + 17(!) + 13(!) + 11(!) + 7(!) + 5(!) + 3(!) + 1 = 10 242 787 , nombre premier
C = 17(!) + 13(!) + 11(!) + 7(!) + 5(!) + 3(!) + 1 = 543 097 , nombre premier
D = 13(!) + 11(!) + 7(!) + 5(!) + 3(!) + 1 = 32 587 , nombre premier
E = 11(!) + 7(!) + 5(!) + 3(!) + 1 = 2 557 , nombre premier
F = 7(!) + 5(!) + 3(!) + 1 = 247 = 13.19
G = 5(!) + 3(!) + 1 = 37 , nombre premier
H = 3(!) + 1 = 7 , nombre premier
J = 1 , nombre premier <= premier dans la logique de mon crible de nombres premiers et non par pure convention [ Merci de ne pas réagir ici sur ce 1 premier, car j'écrirai un article étayé là-dessus. Présentement, le sujet du fil est la décomposition en facteurs premiers. ]
Sur les 9 décompositions en factorielles de nombres premiers imbriquées, seules 2 sont des nombres composés.
Je ne fais qu'observer : c'est mon boulot. Comme rien se fait par hasard, je mets dans un coin de ma caboche cette observation, que je pourrai corréler avec d'autres. Et, observant également les décompositions en factorielles de nombres premiers pour les 80 nombres premiers que j'ai repérés jusqu'à 407 [size=x-small][ 1 y compris ][/size], il m'apparaît petit à petit des pistes d'explications entre les décompositions, selon ma méthode, des nombres composés comme des nombres premiers.
J'ai écrit au début de cet article que j'avais établi les décompositions en facteurs premiers de tous les nombres depuis le début de la numération jusqu'à 407.
Quelqu'un a posé la question : Pourquoi seulement jusqu'à 407 ?
La réponse partielle se trouve en visionnant le PDF Décompositions.Page.1
En effet, on peut y voir les 31 décompositions selon les factorielles de nombres premiers que j'ai effectuées de 1 à 31.
On passe d'une ligne à l'autre, en ajoutant 1 unité à la décomposition factorielle précédente,
on factorise, et
on inscrit à droite le nombre concerné :
- soit sous la forme de la décomposition unique en facteurs premiers, pour les nombres composés,
- soit sous la forme d'un doublet ( A , B ) où les nombres compris dans A et dans B sont premiers entre eux, pour les nombres premiers.
Les nombres cerclés de rouge sont les 12 nombres premiers dans l'intervalle [ 1 , 31 ]
Leurs doublets ( A , B ) sont soulignés en rouge, pour signifier qu'il répondent à la définition des nombre premiers donnée par mon premier théorème de génération de nombres premiers,
à savoir que, connaissant le plus grand nombre premier p de la liste ininterrompue des nombres premiers contenus dans le doublet ( A , B ), et si p' est le nombre premier immédiatement supérieur à p,
le nombre q est premier si q = | A +ou- B | < p'²
En effet, puisque les nombres inclus dans A et dans B sont premiers entre eux, le premier composé trouvé sera de la forme p'.n avec n un nombre supérieur à ceux contenus dans A et B, car aucune factorisation n'est possible.
Au mieux, n = p'.
Ainsi donc, le premier composé sera p'.p' = p'²
=> q = | A + B | peut générer selon ce théorème les nombres de l'intervalle ] p , p'² [ lesquels sont de facto premiers.
Vous le voyez dans le PDF :
q = 19 => q = ( 2.3² + 1 ) avec p = 3, p' = 5 et p'² = 5² = 25 , 19 < 25 => 19 premier
Pour illustrer le théorème, mais ne se trouve pas dans le PDF :
r = | 2² - 3².5 | = | - 41 | = 41 , avec p = 5, p' = 7 et p'² = 7² = 49 , 41 < 49 => 41 premier
Voilà pour le commentaire de ce premier PDF.
Vous venez de voir la page 1 de mon cahier de calcul ; il y en a bien d'autres.
Arrêtons-nous à celle où figure le nombre 371, dont, par incrémentation d'une unité pour chaque nombre suivant, nous pouvons visionner la décomposition en factorielle de nombres premiers.
371 = 7(!) + 5.5(!) + 3(!) +2.2(!) + 1
De toute évidence, même si l'on a 2.2(!) + 1 = 2.2 + 1 = 4 + 1 = 5,
il n'est pas possible de factoriser par 5 parce que 3(!) = 2.3 ne comporte pas 5 comme facteur.
Pas moyen de factoriser avec 3, ni avec 2.
C'est pas de chance ! 370 = 7(!) + 5.5(!) + 3(!) +2.2(!) se factorisait très facilement, eu égard au fait que 3(!) + 2.2(!) = 10 = 2.5
Alors, que fait-on ?
=> On calcule la racine carrée de 371. Racine(371) = 19,...
Les nombres qui vont nous intéresser font partie de l'ensemble N = { 7 , 11 , 13 , 17 , 19 }
De deux choses, l'une :
- soit 371 est premier,
- soit 371 est composé.
On va le savoir en en soustrayant tour à tour les nombres premiers contenus dans N.
Commençons par 7.
371 - 7 = 364 => 364 est un nombre qui fait partie de ma table de calculs. Je connais la décomposition trouvée, mais on peut en donner le détail :
364 = 7(!) + 5.5(!) + 2.2(!)
...... = 2.3.5.7 + 5.2.3.5 + 2.2
...... = 2.[ ( 3.5.7 ) + ( 3.5.5 ) + 2 ]
...... = 2.[ 105 + 75 + 2 ]
...... = 2.182 => ce nombre fait aussi partie de ma table, mais on donner le détail de la décomposition :
182 = 6.5(!) + 2
...... = 2.3.2.3.5 + 2
...... = 2.[ ( 2.3².5 ) + 1 ]
...... = 2.[ 90 + 1 ]
...... = 2.91 => la décomposition de 91 a déjà été trouvée dans ma table, mais on peut donner le détail.
91 = 3.5(!) +1 => aucune factorisation possible, alors on s'intéresse aux nombres premiers inférieurs à sa racine carrée.
Racine( 91 ) = 9,... les diviseurs premiers sont N = { 2 , 3 , 5 , 7 }
De toute évidence, et de par sa décomposition en factorielles de nombres premiers,
91 n'est pas divisible par 2, ni par 3, ni par 5
De mémoire, nous savons que c'est un nombre composé, mais nous appliquons la méthode :
Nous soustrayons 7 à 91.
91 - 7 = 84 et
84 = 2.5(!) + 4.3(!)
.... = 2.2.3.5 + 2.2.2.3
.... = 2.2.3.[ 5 + 2 ]
.... = 2.2.3.7
.... = 2².3.7
Si l'on remet les choses dans l'ordre pour 364 :
364 = 2.182
182 = 2.91
..91 = 84 + 7
..84 = 2².3.7
=> 91 = 2².3.7 + 7
......... = 7.[ ( 2².3 ) + 1 ]
......... = 7.[ 12 + 1 ]
......... = 7.13
=> 182 = 2.91 = 2.7.13
=> 364 = 2.182 = 2.2.7.13 = 2².7.13
364 = 2².7.13
On remet les choses en place pour 371 :
371 = 364 + 7
...... = 2².7.13 + 7
...... = 7.[ ( 2².13 ) + 1 ]
...... = 7.[ 52 + 1 ]
...... = 7.53
371 = 7.53
Intéressons-nous au nombre 389 pour trouver une décomposition en facteurs premiers par ma méthodes de factorisation selon l'écriture unique en factorielles de nombres premiers, et ainsi le qualifier comme premier ou composé.
389 = 7(!) +5.5(!) + 4.3(!) +2.2(!) + 1 <= à première vue 389 n'est ni divisible par 2, ni par 3, ni par 5.
Racine( 389 ) = 19,...=> Nous intéressent, les membres de N = { 7 , 11, 13, 17, 19 }
Soustrayons ces nombres tour à tour de 389.
389 - 7 = 382 = 2.191 selon ma table => pas de facteur 7 dans 382, donc 389 n'est pas multiple de 7
389 - 11 =378 = 2.33.7 selon ma table => pas de facteur 11, donc 389 n'est pas multiple de 11
389 - 13 = 376 = 23.47 selon ma table => pas de facteur 13, donc 389 n'est pas multiple de 13
389 - 17 = 372 = 2².3.31 selon ma table => pas de facteur 17, donc 389 n'est pas multiple de 17
389 - 19 = 370 = 2.5.37 selon ma table => pas de facteur 19, donc 389 n'est pas multiple de 19.
Ainsi, 389 n'est multiple d'aucun nombre premier inférieur à sa racine carrée.
=> 389 est premier
Voilà, mon cher Dreamer, comment je procède pour trouver la décomposition en facteurs premiers des nombres composés, et pour qualifier de premiers les nombres qui le sont dans ma table qui évoluent par incrémentation d'une unité de nombre à nombre.
C'est ainsi que j'ai établi ma table de calculs jusqu'à 407.
Vous savez comment faire, et je ne vais pas le faire pour vous, pour décomposer votre nombre 233 335 657, car vous devez être bien outillé.
Certains diront que ce que je fais ne sert à rien. FAUX
De la qualification des nombres premiers par cette méthode, je peux édicter une loi.
Les nombres premiers s'écrivent sous la forme d'une quantité donnée de doublets ( A , B ) liée aux arrangement des factorielles de nombres premiers les unes avec les autres, et tels que les nombres premiers de A et de B sont bien sûr premiers entre eux.
Par exemple :
73 = 2.5(!) + 2.3(!) + 1 ne peut s'écrire en doublets ( A , B ) que de trois façons, pas moins, pas plus :
a- A = 2.5(!) et B = [ 2.3(!) + 1 ] => A = 2.2.3.5 et B = 13 , ainsi 73a = ( 2².3.5 ) + 13
b- A = 2.3(!) et B = [ 2.5(!) + 1 ] => A = 2.2.3 et B = ( 2.2.3.5 + 1 ) = 61 , ainsi 73b = ( 2².3 ) + 61
c- A = [ 2.5(!) + 2.3(!) ] et B = 1 => A = [ ( 2.2.3.5 ) + ( 2.2.3 ) ] = [ 2.2.3.( 5 + 1 ) ] = 2.2.3.2.3 = 23.32 = 72
.......................................................B = 1 , ainsi 73c = 23.32 + 1
Nous verrons dans le prochain post comment comptabiliser les quantités d'arrangements pour donner exactement le nombre de doublets ( A , B ) d'écriture des nombres premiers.
Cordialement,
Oubli du fichier PDF.
Cordialement
Je suis aussi content que vous ayez remarqué certaines choses dans l'exemple que je vous ai demandé.
J'attire juste votre attention sur un point de détail (je n'ai pas encore tout lu) : votre ensemble D n'est pas l'ensemble des diviseurs mais celui des facteurs premiers. Cela a une certaine importance car si c'est bien l'ensemble des diviseurs, il n'est pas complet.
[Édit : Si j'ai bien compris, vous passez par une factorisation classique quand votre méthode ne donne pas de résultat évident ?
Il serait intéressant que vous preniez en compte le nombre de fois où ce cas se présente.
Édit2 : Je trouve que le document que vous avez mis en lien gagnerait à être dactylographié.]
À bientôt.
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Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
233335657.233335763(!), c'est peut-être trop grand pour vous ?
En fait, pure réaction de mathématicien.
Aux modérateurs : Puisque l'auteur lui-même dit qu'il ne vient pas ici faire des maths, mais raconter ses jeux, il serait temps de fermer le fil.
Cordialement.
Voici l'écriture méthode 'Villemagne' de tous les nombres jusqu'à 2309.
Ça t'évitera de passer des heures à gratter du papier, pour faire la même chose.
[Préférer joindre un fichier que balancer 2300 lignes dans un message ! AD}
Juste pour savoir si j’ai compris l’idée.
* Factorielle d'un nombre ... c'est connu.
* Ecriture dun nombre en base factorielle : peu connu, mais étudié.
* Primo-factorielle d'un nombre n : on peut définir ça comme étant le produit de tous les nombres premiers inférieurs à n. Pourquoi pas. Avec le problème que c'est une fonction en escalier, pas très prometteuse. Ou on définit cette fonction uniquement pour les nombres premiers, ce qui ne change pas fondamentalement les choses.
* Et du coup, écriture d'un nombre en base primo-factorielle.
2309 = 10.6.4.2.1
2309 = (3(!) + 2(!).2(!))7(!) + 3 (!).5(!) + 2(!).2(!).3(!) + 2(!).2 (!) + 1 (!)
On ne manipule alors plus que des zéros et des uns, c'est par contre un peu acrobatique.
À bientôt.
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@de VILLEMAGNE
Pourquoi donc, ne pas utiliser tes tables et en profiter, pour nous indiquer parmi tes 5 facteurs premiers P ci-dessus, qui ne divisent pas 389 = Premier :
Quels sont ceux qui vérifient que 389 + 1 est somme de deux nombres premiers P + q = 290; car à vue de nez, c'est simple, il y en a trois ... il suffit simplement de calculer le reste R de 390 par P.
Ou si tu préfères : 390%7 == .. ; 390%7 == .. ; 390%11 == .. ; 390%13 == .. ; 390%17 == .. ; 390%19 == .. ;
Connaissant ces 5 résultats, tu en déduits les trois solutions ...! Mais qu'est ce que cela donne en utilisant tes tables et les factorielles ?
En plus, tu fais d'une pierre deux coups...