Pas de cycle long dans les suites de Collatz

Wilfrid
Wilfrid
dans Shtam
Bonjour,

En recherchant ce qui se disait sur les cycles, je suis tombé sur un document dont l'auteur prétend avoir démontré l'impossibilité d'en trouver un (hors trivial) : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-03195174v4/document

Qu'en pensez-vous ?

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Je pense que les gens (en particulier les non spécialistes) devraient arrêter de faire une fixette sur ce problème.
  • LEG
    LEG
    Bonjour

    @Wilfrid il n'y a rien de nouveau de ce qui est déjà connu sur ce site, depuis plusieurs années concernant les nombres impairs de la forme $2^n -1$ dont l'ascension est constante jusqu'à un rang pair donné par l'exposant.

    Par exemple pour le vol i impair $2^{61}-1$ il ne peut commencer a descendre qu'à partir du rang d'itération 61 (itérations paires) dont la valeur paire à ce rang 61 vaut : $6*3^{61-1} -2$ = 254346949651297221085766599204 ; trente chiffres.

    On sait qu'un nombre de Mersenne peut se simplifier en un nombre de Wagstaff '"donc divisible par 3""
    Exemple : $(2^{61}+1) / 3 = 768614336404564651$ qui est un nombre de Wagstaff premier .. Rien de nouveau à l'horizon 2021 voir plus:)o

    Comme l'exposant tend vers l'infini,...on n'a pas fini d'avoir des vol i de plus en plus long....X:-(
  • Wilfrid
    Wilfrid
    Poirot a écrit:
    les gens devraient arrêter de faire une fixette sur ce problème.

    Dans ces conditions, pourquoi ne pas arrêter de faire une fixette sur tous les problèmes non résolus ?
    LEG a écrit:
    Comme l'exposant tend vers l'infini, on a pas fini d'avoir des vol i de plus en plus long....

    Je ne suis pas certain que là soit le propos de l'auteur de ce papier. Ce que pour ma part j'y vois est, en gros, qu'on distingue deux types de suites de Collatz : les suites partielles, qui débutent par un nombre impair non multiple de 3 (et donc possède une infinité de prédécesseurs), et les suites entières, dont le premier terme est un multiple de 3 impair (et donc ne possède aucun prédécesseur). Il est évident que toute suite partielle appartient à une suite entière au moins, aussi longue soit-elle. L'avantage de cette approche est qu'elle permet d'éliminer les 2/3 des nombres impairs en tant que premier terme d'une suite de Collatz.

    Sachant qu'un cycle ne peut pas apparaître dans une suite entière, puisque son premier terme est par définition un multiple de 3, et en admettant que seul existe ce type de suite, on arrive à la conclusion – par un simple raisonnement – qu'il ne peut pas exister de cycle.

    Reste à démontrer que toute suite entière converge (aboutit à 1), et à mon avis c'est ce à quoi l'auteur du papier s'est attelé.

    EDIT : je rappelle que parmi l'infinité de prédécesseurs d'un nombre impair, au sens de Collatz, un sur trois est un multiple de 3. Par conséquent, toute suite partielle appartient à une infinité de suites entières.
  • Poirot
    Poirot
    Wilfrid a écrit:
    Dans ces conditions, pourquoi ne pas arrêter de faire une fixette sur tous les problèmes non résolus ?

    Ce problème n'a aucun intérêt mathématique, contrairement à bien d'autres problèmes ouverts. Sa malédiction est d'être compréhensible de tous, ce qui attire des milliers de zozos shtameurs.
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    J'avoue, cherchez plutôt Goldbach !
  • Wilfrid
    Wilfrid
    Poirot a écrit:
    ... ce qui attire des milliers de zozos shtameurs

    Du point de vue de Paul Erdös, qui à propos du problème de Collatz disait que "les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour le résoudre", quelle différence y a-t-il entre un zozo shtameur et un docteur en mathématiques ?

    Mais bon, j'aurais été étonné qu'un sujet du Shtam ne tourne pas à la négativité et à l'affrontement...
  • Poirot
    Poirot
    Je n'ai jamais dit que tous les gens qui s'intéressaient à Collatz étaient des zozos shtameurs, mais visiblement les implications logiques restent un problème pour ceux-ci...
  • Dom
    Dom
    Bon, on a bien compris ce que voulait dire Poirot.

    Et dans les derniers échanges, on a une piste de recherche.
    Quelles sont les conséquences de la conjecture ? Quelles sont les conséquences si elle est fausse ?


    Ça, ça peut « étoffer » l’intérêt.
  • Wilfrid
    Wilfrid
    Dom a écrit:
    Ça, ça peut « étoffer » l’intérêt

    L'intérêt est dans le premier message de ce fil.
  • lourrran
    lourrran
    Mais, tu as lu l'étude en question ?
    Et ça ne t'a pas suffi pour juger par toi-même ?

    Pour moi, le plus intéressant dans cette étude, c'est ce qui est cité dans le paragraphe références...
    Soit c'est un magnifique clin d'oeil de la part de l'auteur, qui saurait donc pertinement le manque d'intérêt de son travail.
    Soit c'est involontaire, et c'est assez révélateur.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Wilfrid
    Wilfrid
    @lourran, si tu parles de la phrase "Ce qui précède n'a pour ambition que la présentation d'une nouvelle interprétation de la suite de Collatz et n'a pas la prétention de montrer que la conjecture de Collatz s'avère exacte.", non je ne l'avais pas lue, j'avais arrêté ma lecture bien avant, préférant laisser les spécialistes donner leur avis.

    En même temps, l'interprétation en question est à mon avis un coup de génie. Personne jusqu'à présent n'avait envisagé le problème sous cet angle, à savoir que toute suite de Collatz débute par un nombre impair multiple de 3, ce qui élimine les 2/3 des impairs. Et puisqu'on ne s'occupe pas des nombres pairs, on a du coup éliminé 5 entiers sur 6.

    Si ce document n'a pas d'intérêt mathématique, au moins il ouvre une nouvelle piste de réflexion.

    EDIT : et comme, je le répète, chacun sait qu'un cycle ne peut pas apparaître dans une suite débutant par un multiple de 3, on est en droit de sérieusement douter d'en trouver un.
  • LEG
    LEG
    Quelle piste de réflexion... ?

    $2^4 -1 = 15$ multiple de 3 ; finit sur le cycle 4,2,1 ; il y a 4 itérations paires avant de tomber sur le multiple de $4 = 6*3^{4-1} -2$.

    $2^5-1 = 31$ non multiple de 3 ; finit sur le cycle 4,2,1 ; il y a 5 itérations paires avant de tomber sur le multiple de $4 = 6*3^{5-1} -2$.

    Tu parles d'une avancée... puisque tu peux éliminer tous les impairs compris entre $2^n-1$ et $2^{n+1} -1$, qui finissent tous sur le cycle 4,2,1.
    En commençant par l'exposant n=3.
  • lourrran
    lourrran
    "on est en droit de sérieusement douter d'en trouver un".
    On est en droit de douter,
    On est à peu près convaincu ...

    Oui on est d'accord. Et Collatz a déjà dit la même chose quand il a lancé cette conjecture il y a quelques décennies.

    Quand on répète ce qu'a dit Collatz, on ne dit pas trop de bêtises. Mais ça ne fait pas avancer le schmilblick.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Dom
    Dom
    Autre démarche :
    Trouver des conditions suffisantes qui impliquent la conjecture.

    Cela dit, c’est en effet un problème « simple » dans son énoncé.
    Comme le coureur solitaire ou le théorème des 4 couleurs.

    Je comprends qu’on s’y essaye.
    Shtam n’a a priori rien de déshonorant, mais on y a trouvé tellement de zozos*…


    *pour reprendre le terme utilisé plus haut
  • Wilfrid
    Wilfrid
    @LEG,

    La suite de 31, non multiple de 3, est une suite partielle (voir définition ci-dessus). Les 9 premiers prédécesseurs de 31 sont 41, 165, 661, 2645, 10581, 42325, 169301, 677205, 2708821. Parmi ces nombres, 165, 10581 et 677205 sont des multiples de 3.

    Résultat : la suite de 31 appartient à celle de 165, 10581, 677205, etc., qui forment des suites entières. Par conséquent, si 165 etc. converge, la suite de 31 et celle de tous les termes qui la composent converge également.

    Autrement dit, si on peut démontrer que la suite de tout multiple impair de 3 converge (soit un entier sur six), alors la conjecture de Collatz est démontrée.

    Y a-t-il quoi que ce soit de contestable là-dedans ?
  • Wilfrid
    Wilfrid
    [suite du précédent]

    En fait le problème est encore plus simple. Pour reprendre l'exemple de 31, il suffit de démontrer que son plus petit prédécesseur multiple de 3, à savoir 165, converge. Un seul multiple de 3 parmi une infinité !

    EDIT : ceci dit, je suis conscient que cette approche est loin de régler le problème. Démontrer qu'une suite débutant par un multiple de 3 converge n'est pas plus facile que dans le cas de toute autre suite. Il suffirait d'ailleurs de comprendre pourquoi une seule suite converge pour en terminer une bonne fois pour toutes avec Collatz. L'intérêt de cette approche doit plutôt être recherchée du côté des algorithmes de recherche exhaustive d'éventuels cas particuliers. En éliminant d'office 2 entiers impairs sur 3 on gagnerait énormément en temps de calcul. C'est également un sérieux progrès par rapport aux histoires d'altitude et de durée de vol dont on nous rebat les oreilles depuis environ 80 ans.
  • LEG
    LEG
    @Wilfrid :

    Pourquoi veux tu commencer à l'envers ? autrement dit tu pars d'un nombre X qui tend vers l'infini pour savoir si 31 appartient à cette suite X..?
    ça n'a aucun sens ..
    Jusqu'à preuve du contraire on a commencé par 3,5,7.....etc et non de X.

    Toute suite supérieur à la dernière tester, s'arrête dès l'instant ou un de ses terme appartient à une des suite inférieur ayant boucler sur le cycle 4.2.1. ou encore dès qu'un terme passe sous le premier terme de départ...
    Aucun calcul n'a permis de démontrer que cela serra toujours le cas.

    Quand aux histoire d'altitude ou de durée de vol c'est pour amuser la galerie, puisque l'exposant $n$ des vol $i$ impair de la forme $2^n - 1$ tend vers l'infini, donc aussi bien en durée de vol qu'en altitude...les autres sont des vols intermédiaires .

    Conclusion pour en rester là, dans les entiers relatif non nul : Suppose un vol Z infini ou un vol Z avec un autre cycle que le cycle 4.2.1 il est évident qu'aucun terme de cette suite Z ne peut appartenir aux vols des suites de Syracuse., puisque jusqu'à preuve du contraire ils sont tous fini sur la boucle 4.2.1.
    Et dans les entiers relatif négatif : ce vol Z ne pourrait avoir aucune une relation avec les termes des suites négatives qui ont trois boucles afin de relier trois vols $i,i',i''$ par le même rang d'itération.

    Il est évident qu'aucun terme de cette suite Z ne peut appartenir aux vols des suites de Syracuse ni avoir une relation avec les vols négatifs de Syracuse., puisque jusqu'à preuve du contraire ils sont tous fini sur la boucle 4.2.1. et pour les vol $-i$ ils finisse sur une des trois boucles connues.

    Je te laisse imaginer la forme qu'aurait cette impossible suite Z.

    Il vaut mieux en rester sur son indécidabilité puisqu'un tel vol $X\rightarrow+\infty$ ne pourrait être vérifié ...de même, pour un vol $i$ dont l'exposant $n\rightarrow+\infty$
  • lourrran
    lourrran
    On sait tous qu'il suffit de montrer que pour tout entier $i$, le chemin passe par un autre entier inférieur à $i$.
    Si on démontre ça, la conjecture est démontrée.

    On va se partager le travail. Je prends la moitié du travail , et je demande à quelqu'un de faire l'autre moitié. C'est équitable.
    Moi, je me charge des entiers pairs. Qui se charge des entiers impairs ?

    Je veux bien faire un effort effort, et je prends en plus la moitié des impairs, tous les impairs de la forme $4k+1$. Je fais donc les 3 quarts du travail. Qui se charge des entiers de la forme $4k+3$ ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • depasse
    depasse
    Bonjour,

    exercice 1:
    montrer qu'il suffit qu'existe une progression arithmétique (non constante (:P)) dont chaque terme converge (au sens de Collatz) vers $1$ pour que tout naturel non nul fasse de même.

    exercice 2:
    montrer qu'il suffit qu'existe une progression géométrique (dont les termes ne sont pas des puissances de $2\ \ $) (de raison non puissance de $2$ (:P)) dont chaque terme converge (au sens de Collatz) vers $1$ pour que tout naturel non nul fasse de même.

    cordialement

    Paul

    EDIT: rectification coquille
  • Wilfrid
    Wilfrid
    Résumé et clarification de mes précédents messages. Dans ce qui suit il n'est question que d'entiers positifs impairs, les termes d'une suite impaire de Collatz. Pour simplifier je noterai

    $m$ : tout terme multiple de 3. Il ne possède aucun prédécesseur.
    $nm$ : tout terme non multiple de 3. Il possède une infinité de prédécesseurs.
    suite $m$ (ou $nm$) : une suite dont le premier terme est $m$ (ou $nm$).

    Tout comme on trouve un multiple de 3 sur trois dans la suite des entiers impairs, la suite des prédécesseurs de $nm$ est composée d'un $m$ sur trois : ${\color{red}m}, nm, nm, {\color{red}m}, nm, nm, {\color{red}m}, ...$. Le premier d'entre eux figure en 1ère, 2ème ou 3ème position.

    Le fait que tout $nm$ possède une infinité de prédécesseurs $m$ entraîne que
    • Toute suite débute ou peut débuter par $m$.
    • L'ensemble des suites $m$ inclut celui des suites $nm$.
    Le concept de cycle ne repose pas sur une hypothèse étayée mais sur la manière dont on se représente les suites de Collatz. Il en existe deux :
    • Puisque deux suites sur trois débutent par $nm$, il est envisageable qu'un cycle apparaisse.
    • Si toutes les suites débutent par $m$ il ne peut exister aucun cycle.
    Les deux propositions sont vraies, mais on ne peut pas subordonner l'existence d'un cycle à l'angle sous lequel on considère les suites. Le principe de parcimonie suggère par ailleurs que les hypothèses suffisantes les plus simples doivent être préférées. Or, la seconde proposition ne fait pas d'hypothèse mais énonce un fait. Illustration avec la suite 61, 23, 35, 53, 5, 1. On peut la décomposer comme suit (le prédécesseur $m$ – le plus petit – est en rouge) :

    81, 61, 23, 35, 53, 5, 1
    15, 23, 35, 53, 5, 1
    93, 35, 53, 5, 1
    141, 53, 5, 1
    3, 5, 1
    21, 1

    Ces suites sont représentatives de l'ensemble des suites $m$, dans lequel il n'existe aucun cycle (hors trivial).
  • Wilfrid
    Wilfrid
    La discussion se poursuit dans ce sujet.
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