3x+1 et 3x+P et Collatz
dans Shtam
Bonjour à toutes et tous
Je continue mes élucubrations sur la conjecture de Collatz en regardant ce qu'elle devient si on remplace 1 par P un nombre premier impair. Autrement dit soit P=7, on défini la suite de Collatz de la façon suivante ; on part d'un nombre entier positif impair a(1), on le multiplie par 3 et on ajoute 7, le nombre pair obtenu et divisé par deux autant de fois que nécessaire pour obtenir le nombre impair a(2) qui suit et ainsi de suite, on obtient une suite infinie qui ne dépend que de deux variables, le nombre premier P choisi et le nombre impair a(1) initial.
Si on remplace P par 1 on a bien sûr les suites dites de Collatz ou de Syracuse.
Ce que j'ai obtenu après étude des nombres premiers < 107 est résumé ici.
Pour P=3 les suites commençants par a(1) impair se terminent toutes par le cycle trivial unique 3, 12, 6, 3 répété indéfiniment quelque soit a(1).
Pour tous les autres nombres premiers P, 3<P<107, il existe toujours au moins deux cycles, le cycle trivial étant P, 4*P, 2*P, P et le ou les autres cycles commencent et finissent par un nombre premier différent de P.
Ci-joint le fichier Collatz qui donne les résultats pour 3x-1 et 3x+P
Bonne journée à toutes et tous.
Je continue mes élucubrations sur la conjecture de Collatz en regardant ce qu'elle devient si on remplace 1 par P un nombre premier impair. Autrement dit soit P=7, on défini la suite de Collatz de la façon suivante ; on part d'un nombre entier positif impair a(1), on le multiplie par 3 et on ajoute 7, le nombre pair obtenu et divisé par deux autant de fois que nécessaire pour obtenir le nombre impair a(2) qui suit et ainsi de suite, on obtient une suite infinie qui ne dépend que de deux variables, le nombre premier P choisi et le nombre impair a(1) initial.
Si on remplace P par 1 on a bien sûr les suites dites de Collatz ou de Syracuse.
Ce que j'ai obtenu après étude des nombres premiers < 107 est résumé ici.
Pour P=3 les suites commençants par a(1) impair se terminent toutes par le cycle trivial unique 3, 12, 6, 3 répété indéfiniment quelque soit a(1).
Pour tous les autres nombres premiers P, 3<P<107, il existe toujours au moins deux cycles, le cycle trivial étant P, 4*P, 2*P, P et le ou les autres cycles commencent et finissent par un nombre premier différent de P.
Ci-joint le fichier Collatz qui donne les résultats pour 3x-1 et 3x+P
Bonne journée à toutes et tous.
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Réponses
Avant de m’investir, je souhaite des précisions :
1)
« Pour P=3 les suites commençants par a(1) impair se terminent toutes par le cycle trivial unique 3, 12, 6, 3 répété indéfiniment quelque soit a(1). »
Est-ce un théorème ? Est-ce une conjecture ?
2)
« Pour tous les autres nombres premiers P, 3<P<107, il existe toujours au moins deux cycles, le cycle trivial étant P, 4*P, 2*P, P et le ou les autres cycles commencent et finissent par un nombre premier différent de P. »
Hum…
Le cycle P est le nombre premier P ?
Pour P=3 les suites commençants par a(1) impair se terminent toutes par le cycle trivial unique 3, 12, 6, 3 répété indéfiniment quelque soit a(1).
c'est un constat vérifié jusqu'à 10^9 et une conjecture au dela comme pour 3x+1 vérifié bien plus loin.
Pour tous les autres nombres premiers P, 3<P<107, il existe toujours au moins deux cycles, le cycle trivial étant P, 4*P, 2*P, P et le ou les autres cycles commencent et finissent par un nombre premier différent de P.
Par exemple pour P=7 le cycle trivial 7, 28, 14, 7 et un autre cycle 5, 22, 11, 40, 20, 10, 5 qui commence par 5 premier et fini par 5 premier, aucun autre cycle trouvé pou a(1) jusqu'à 10^7+1.
Les nombres premiers début d'un cycle pour P sont donnés dans le tableau joint COLLATZ.
J'espère avoir été clair, merci pour les questions.
Le cas P=3 ( $U_{n+1}= 3U_n+3$ ou $U_n/2$ ) conduit au cycle $(3,6,12,3)$ pour n'importe quel entier initial : c'est une conjecture, mais ça se démontre assez facilement.
Pour ta remarque 2, tu chipotes : il existe toujours au moins 2 cycles, le cycle trivial étant $(P,4P,2P,P)$
Je fais plus que des traitements informatiques, il m'arrive aussi d'apporter des réponses aux pourquoi cela ou ceci.
Pour tout P premier impair différent de 3 chaque nombre entier positif impair a(i) a une infinité de prédécesseurs possibles a(i-1) qui sont de la forme ((3*n-2)*22j-P)/3 et n impair ou ((3*n-1)*22j-1-P)/3 et n pair pour P 1 modulo3 et sinon
(3*n-2)*22j-1-P)/3 et n impair ou ((3*n-1)*22j-P)/3 et n pair pour P -1 modulo3
Cette propriété est générale pour 1 et tous les nombres premiers > 3.
Cette propriété impose qu'il existe au moins un cycle trivial et on remarque que tous les cycles non triviaux commencent et finissent par un nombre premier différent de P ou dans certains cas un cycle commençant et se finissant par 1.
Mea Culpa.
Je teste avec p=9001, qui est bien un nombre premier.
Je commence avec $U_0=275$ ; au bout de 900 itérations, je retombe sur ce 275. Et aucun des nombres rencontrés n'était plus petit que 275.
J'ai donc un cycle non trivial, qui commence par 275, alors que 275 n'est pas premier contrairement à ce que tu affirmes.
Reste à s'assurer de ce que tu appelles : 'cycle commençant par ...' ; parce que par construction, un cycle n'a pas vraiment de début ni de fin.
Supposons la propriété acquise jusqu'au rang $n-1$. Montrons quelle l'est pour $n$, supposé évidemment impair.
On a que, si $n+1 = 2^{\alpha}k$ avec $k$ impair, son successeur est $3k$.
Or ce dernier admet le prédécesseur $k-1$ qui est plus petit que $n$. Sa trajectoire finit par boucler selon l'hypothèse de récurrence, et donc celle de $n$ aussi.
La bise.
a(1)=275, P=9001
La suite de Collatz pour a(1)=275 et P=9001
Le premier nombre premier de la suite en 18 ème position est 647 comme le dernier et il précède 275.
@ lourrran 'Reste à s'assurer de ce que tu appelles : 'cycle commençant par ...' ; parce que par construction, un cycle n'a pas vraiment de début ni de fin'
C'est des maths ça ?
Je préfère les miennes !
[Préférer "joindre un fichier" à mettre in extenso 919 lignes dans le message ! AD]
Pour P =9001 le cycle trivial 9001, 36004; 18002, 9001, un autre cycle qui commence et fini par 41 et un dernier qui commence et fini avec 647
Bonne nuit
je n’y connais rien à la conjecture de Collatz mais j’ai lu un jour un article sur deux généralisations de cette conjecture.
Je n’ai pas de références à donner et je n’ai pas compris grand chose à l’article mais ça a l’air solide.
Bonne nuit.
PS: l’auteur de l’article n’est autre que le lauréat du prix Abel 2020.
…
Tu dis que ce cycle commence par 647. Soit.
Sur quel critère ?
Pour moi, un cycle est un cycle ; tous ses éléments ont des rôles parfaitement semblables. Seul le plus petit nombre de ce cycle joue un rôle un peu particulier. En l'occurrence 275.
Tu as une autre définition de 'Premier élément d'un cycle'. Peux-tu la partager avec nous, pour qu'on parle le même langage.
Il est sur qu(un cycle est un cycle mais il est facile de donner une définition précise.
Ma définition dans le contexte 3x+1 ou 3x+P et P premier différent de 3 est la suivant, le cycle commence par 1 et se termine par 1 si 1 est dans le cycle sinon le cycle commence et se termine par le plus petit nombre premier du cycle,
Dans tous les cycles que tu as identifiés, il y avait au moins un nombre premier. Ca ne garantit pas que ce sera toujours le cas. Et alors, il faudra revoir la définition de 'Premier élément d'un cycle'.
C'est pour cette raison que je préférais une définition plus universelle : le premier élément d'un cycle est le plus petit élément du cycle. Il se trouve d'ailleurs que le plus petit élément du cycle est souvent un nombre premier.
C'est justement ce qui est remarquable et peut faire l(objet d'une nouvelle conjecture, mais je pense que les experts en Mathématiques peuvent apporter la preuve à cette conjecture, et ce n'est pas mon cas.
Les cycles en question contiennent 20, 30, voire 50 nombres, des nombres qui ne sont jamais des multiples de 3, et qui sont souvent plus petits que 10000, (et même, beaucoup plus petits que 10000).
Donc des nombres qu'on "pioche" dans un univers où on a beaucoup de nombres premiers.
Le fait que dans chaque cycle, on ait au moins un nombre premier est statistiquement normal, pas remarquable.
Quand P devient plus grand, on tape sur des nombres plus grands (plus faible proportion de nombres premiers), mais avec des cycles plus longs... aura-t-on toujours au moins un nombre premier dans chaque cycle ?
J'ai fait une constatation remarquable (même si lourrran trouvera ça normal?), pour certains nombres premiers P 1 modulo 3 deux cycles différents existent, et seulement deux cycles, un commençant et finissant par 1 et bien sur le deuxième le cycle trivial P, 4P, 2P , P qui reste toujours très minoritaire pour les suites se terminant par le cycle trivial.
Le plus petit P trouvé est 43, cycle 1 = 1, 46, 23, 112, 56, 28, 14, 7, 64, 32, 16, 8, 4, 2,1
Les nombres premiers trouvés ayant cette propriété sont ci dessous.
43, 739, 1987, 2311, 3271, 3499, 3823, 4159, 4519, 5011, 5437, 7621, 9829, 13769, 14797, 15373, 16381, 17923, 18523, 21163, 31123, 43867
On est donc dans un cas semblable à 3x+1 où seul le cycle trivial existe car il commence par 1,4,2 pour se répéter indéfiniment.
Curieux non?
Bonne soirée
Je ne comprends pas ta question, peux tu être plus précis?
Sans dévoiler mes outils je vérifie mes résultats pour des nombres allant jusqu'à 106 à 107
Soit on démontre,
Soit on teste sur quelques nombres.
Mathématiquement : quel que soit l’entier $p$, $10^p$ c’est quelques nombres.
Quant à ta peur de « dévoiler tes outils », c’est un peu ridicule, non ?
Preuve ou quelques nombres (même $10^{100}$) ?
Rien que sur ce sujet : un coup "je ne suis pas capable de le montrer, je laisse ça aux mathématiciens expérimentés", puis l'autre "une définition rigoureuse ? C'est ça les maths ? Je préfère les miennes !".
Ne pas faire la différence entre conjecture et preuve c'est quand même une première. Rappelons aussi que l'individu a montré Syracuse dans un autre topic.
Une nouvelle découverte, pour les nombres premiers 41, 107, 113, 821, 1787 et probablement d'autres nombres premiers 2 modulo 3
deux cycles différents existent, et seulement deux cycles, un commençant et finissant par 1 et bien sur le deuxième le cycle trivial P, 4P, 2P , P qui reste toujours très minoritaire pour les suites se terminant par le cycle trivial.
Le plus petit P trouvé est 41, cycle 1 = 1, 44, 22, 11, 74, 37, 152, 76, 38, 19, 98, 49, 188, 94, 47, 182, 91, 314, 157, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2,1.
Les nombres premiers 2 modulo 3 trouvés ayant cette propriété sont ci dessous.
41,107, 113, 821, 1787 et sont relativement moins nombreux que les premiers 1 modulo 3 qui ont la même propriété à savoir 43, 739, 1987, 2311, 3271, 3499, 3823, 4159, 4519, 5011, 5437, 7621, 9829, 13769, 14797, 15373, 16381, 17923, 18523, 21163, 31123, 43867.
On est donc dans un cas semblable à 3x+1 où seul le cycle trivial existe car il commence par 1,4,2 pour se répéter indéfiniment.
Curieux non?
Absolument rien de remarquable?
C'était probablement connu par tous ici?
Bonne soirée
1)
Tu dis « deux cycles différents existent, et seulement deux cycles ».
As-tu vérifié sur quelques nombres (même que $10^{100}$) ou as-tu une preuve de cette affirmation ?
2)
Je n’ai pas suivi.
Qu’appelles-tu premier $k$ modulo 3 ?
J’attends de voir s’il comprend le fond de ma question bleue…
Prenons pour exemple les nombres premiers de Mersenne PM tels que 2^PM-1 est premier.
On commence une trajectoire de Collatz par a(1) et on utilise 3x+41.On obtient les résultats qui suivent.
Pour PM de 521 à 132049 soit 18 des valeurs de PM on trouve en partant da a(1)=2^PM-1 les valeurs qui suivent, en première position PM, en deuxième position le nombre d'étapes impaires avant d'obtenir 1; en troisième position l'antépénultième valeur impaire avant d'atteindre 1, en quatrième position la pénultième valeur avant d'atteindre 1 et enfin 1
A remarquer que pour PM = 132049 a(1) est > 10^39600
521,866,25,29,1,
607,1050,91,157,1,
1279,2488,91,157,1,
2203,4179,91,157,1,
2281,4184,91,157,1,
3217,6387,605,29,1,
4253,8414,91,157,1,
4423,8625,91,157,1,
9689,18633,25,29,1,
9941,19220,91,157,1,
11213,21848,91,157,1,
19937,38401,91,157,1,
21701,43078,91,157,1,
23209,44023,91,157,1,
44497,84023,605,29,1,
86243,168225,91,157,1,
110503,212881,91,157,1,
132049,251027,25,29,1,
Si tu trouves une erreur merci de me la signaler uniquement si tu peux en donner la preuve.
Bonne nuit
Décidément…
@Dom il a bien essayé avec la liste des nombres de Mersenne indiqués ... Mais que veux tu que cela prouve ....?
Il peut aller aussi loin qu'il veut, ce ne seront que des tests qui vérifient Syracuse...
Je ne sais pas s’il s’approprie bien les termes conjectures et démonstrations.
Il ne veut pas le reconnaître peut-être.
Il affirme « deux cycles ». Ou alors il ne sait communiquer avec le même dictionnaire que nous.
Je rappelle la règle, on part d'un nombre entier positif impair a(1), on le multiplie par 3 et on ajoute P nombre premier > 3; les nombres a(i) suivants sont divisés par 2 jusqu'à obtenir a(i) impair qui est ensuite multiplié par 3 et on ajoute P, cela conduit à des suites comparables aux suite de Collatz ou 3x+1.Por tous les nombres premiers on obtien unt cycle trivial P, 4P, 2P, P équivalent au cycle 1,4,2,1 et ensuite un ou plusieurs utre cycles.
La conjecture de PlP est la suivante et ne peut être démontrée fausse que si on peut trouver un contre exemple à savoir trouver un cycle différent du cycle trivial P, 4P, 2P, P ou d'un cycle commençant et se terminant par 1 pour les nombres premiers suivants :
41,107, 113, 821, 1787 et 43, 739, 1987, 2311, 3271, 3499, 3823, 4159, 4519, 5011, 5437, 7621, 9829, 13769, 14797, 15373, 16381, 17923, 18523, 21163, 31123, 43867
.et probablement beaucoup d'autres nombres premiers ont la même propriété.
J'attends un contre exemple.
Bonne journée
Je détiens le record de traversée de mon jardin. Vais-je le proclamer sur un forum ?
PlP = Pierre le prétentieux.
Bonne journée
Merci de m'avoir fait connaître cette publication qui généralise encore plus puisque elle étudie 3x+d avec d impair non divisible par 3 et non pas d premier >3.Une certaine différence au regard des mathématiques.
Il est toujours possible de redécouvrir ce qui était connu depuis bien bien longtemps et qui s'est perdu au fil du temps passé!
Merci et @plus
Cool.