Immense découverte en topologie algébrique

Bonsoir à tous,

Je viens de faire une découverte inimaginable qui bouleverserait peut etre toute la topologie algébrique.
Voici la remarque que j'ai fait,

Première étape,
Soit $ X $ un espace topologique localement compact. Cette condition permet de considérer légitimement l'espace des fonctions continues $ C_0 (X) $ s'annulant à l'infini.
On note par $ \mathrm{Rev} (X) $ la catégorie des revêtements sur $ X $.
Soit $ f \ : \ Y \to X \in \mathrm{Rev} (X) $ un revêtement sur $ X $.
On lui associe le morphisme de $ C^* $ - algèbres $ \pi (f) \ : \ C_0 (X) \to \Gamma (X , Y ) $, où $ \Gamma (X,Y) $ est l'espace des sections du revêtement $ f \ : \ Y \to X $.
Soit $ \mathrm{Mod} ( C_0 (X) ) $ la catégorie des $ C_0 (X) $ - modules sur la $ C^* $ - algèbre $ C_0 (X) $.

- Conjecture 1,
Sous certaines conditions restrictives, le morphisme de catégorie, $ \pi \ : \ \mathrm{Rev} (X) \to \mathrm{Mod} (C_0 (X) ) $ est une équivalence de catégories ( i.e : $ \mathrm{Rev} (X) \simeq \mathrm{Mod} (C_0 (X) ) $.

Seconde étape :
Soit $ x \ : \ \star \to X $ un point géométrique de $ X $,
On lui associe un foncteur fibre $ \omega_x \ : \ \mathrm{Rev} (X) \to \mathrm{Ens} $ défini par $ \omega_x ( p : Y \to X ) = p^{-1} (x) $.
L'image de $ x \ : \ \star \to X $ par, $ \pi $ est le point $ \pi (x) \ : \ \mathbb{C} \to C_0 (X) $ qu'on nommera, point de la $ C^* $ - algèbre $ C_0 (X) $.
On associe à ce point de $ C^* $ - algèbre, le foncteur fibre $ \pi ( \omega_x ) = \omega_{ \pi (x) } ' \ : \ \mathrm{Mod} (C_0 (X)) \to \mathrm{Ens} $ défini par $ \pi (\omega_x ) ( \rho : C_0 (X) \to \Gamma (X , Y) ) = \Gamma (X , p^{-1} (x)) $.
Ensuite, on construit l'application : $ g : \pi_1 ( X , x , y ) \to \mathrm{Iso} ( \omega_{x} , \omega_{y} ) $ définie par :
Si $ \gamma \ : \ x \to y $ est un chemin dans $ \Omega ( X , x , y ) $ espace des loops de $ X $ à extrémités $ x $ et $ y $, alors, pour tout $ s \in p^{-1} (x) $, on peut relever $ \gamma $ dans $ Y $, en un chemin $ \tilde{\gamma} \ : \ s \in p^{-1} ( x ) = \omega_x ( p : Y \to X ) \to t \in p^{-1} ( y ) = \omega_y ( p : Y \to X ) $. Non ?
Cette construction ne dépend pas de $ \gamma $, d'où : $ g $ est définie par : $ g( [ \gamma ] ) = \tilde{\gamma} \in \mathrm{Iso} ( \omega_{x} , \omega_{y} ) $
En particulier, lorsque $ x = y $ ( i.e : $ \gamma $ est un lacet ), alors : $ g : \pi_1 ( X , x ) \to \mathrm{Aut} ( \omega_{x} ) $ qui est un isomorphisme.
Par passage à $ \pi $, on construit l'application : $ g : \delta_1 ( C_0 (X) , \pi (x) , \pi (y) ) \to \mathrm{Iso} ( \pi (\omega_{x}) , \pi (\omega_{y}) ) $ définie par :
Si $ \pi (\gamma) \ : \ \pi(x) \to \pi(y) $ est un $ C^* $ - chemin dans $ \Omega ( C_0(X) , \pi(x) , \pi(y) ) $ espace des $C^* $ - loops de $ C_0 (X) $ à extrémités $ \pi(x) $ et $ \pi(y) $, alors, pour tout $ \pi (s) \in \Gamma ( X , p^{-1} (x) ) $, on peut relever $ \pi (\gamma) $ dans $ \Gamma (X,Y) $, en un $ C^* $ - chemin $ \pi ( \tilde{\gamma} ) \ : \ \pi (s) \in \Gamma (X, p^{-1} ( x ) ) = \pi (\omega_x) ( \pi (p) : C_0 (X) \to \Gamma ( X,Y ) ) \to \pi (t) \in \Gamma ( X,p^{-1} (y)) =\pi ( \omega_y ) ( \pi (p) : C_0 (X) \to \Gamma ( X,Y ) ) ) $.
Cette construction ne dépend pas de $ \pi (\gamma) $, d'où : $ \pi(g) $ est définie par : $ \pi (g) ( [ \pi (\gamma ) ] ) = \pi ( \tilde{\gamma} ) \in \mathrm{Iso} ( \pi ( \omega_{x} ) , \pi (\omega_{y}) ) $.
En particulier, lorsque $ \pi (x) =\pi ( y ) $ ( i.e : $ \pi (\gamma) $ est un $ C^* $ - lacet ), alors : $ \pi (g) : \delta_1 ( C_0 ( X) , x ) \to \mathrm{Aut} ( \pi (\omega_{x}) ) $ qui est un isomorphisme.
J'ai ainsi construit le dual par $ \pi $ du groupe fondamental $ \pi_1 (X,x ) $ que j'ai appelé $ \delta_1 ( C_0 (X) , \pi (x) ) $.
En faisant varier $ \pi (x) $ dans $ C_0 (X) $, on obtient, $ \delta_1 ( C_0 (X) ) = \mathrm{Rep} ( C_0 (X) ) $.
$ \mathrm{Rep} ( C_0 (X) ) $ est la catégorie des représentations $ \Gamma (X,Y) $ de la $ C^* $ - algèbre $ C_0 (X) $.

- Conjecture 2 ,
Le groupe fondamental dual $ \delta_1 ( C_0 (X) ) = \mathrm{Rep} ( C_0 (X) ) $ a une structure de $ C^* $ algèbre.

- Conjecture 3 ,
Il existe un pairing $ \varphi_x \ : \ \delta_1 (C_0 (X), \pi (x)) \times\pi_1 (X,x) \to \mathbb{C} $ qui est parfait.

Résumé,
J'ai réussi à construire le dual du groupe fondamental $ \pi_1 (X,x) $ de $ X $, qui est $ \delta_1 (C_0 (X) , \pi (x) ) $, que j'ai appelé $ C^* $ - groupe fondamental de $ C_0 (X) $.