Comment comprendre l'espace l^p ? (bis)

Bonjour,

Je me permets de répondre à la question du fil suivant, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2300988

Si je ne m'abuse,

- $ \ell^2 $ est l'espace universel de la catégorie $ \mathcal{Hilb} $, des espaces de Hilbert, dans le sens où, si pour tout $ \mathcal{H} \in \mathcal{Hilb} $, il existe un unique morphisme $ f \ : \ \mathcal{H} \to \ell^2 $, qui est l'inclusion. C'est à dire, $ \ell^2 $ est la borne supérieure qu'on appelle $ \mathrm{Ind} $ - objet de la catégorie $ \mathcal{Hilb} $, pour la relation d'inclusion si on munit cette catégorie d'une structure de treillis.

- $ \ell^p $ est l'espace universel de la catégorie $ \mathcal{Ban} $, des espaces de Banach, dans le sens où, si pour tout $ \mathcal{B} \in \mathcal{Ban} $, il existe un unique morphisme $ g \ : \ \mathcal{B} \to \ell^p $, qui est l'inclusion. C'est à dire, $ \ell^p $ est la borne supérieure qu'on appelle $ \mathrm{Ind} $ - objet de la catégorie $ \mathcal{Ban} $, pour la relation d'inclusion si on munit cette catégorie d'une structure de treillis.

Cordialement.